变量之间的关系
知识点睛
一、知识框架
二、变量、自变量、因变量
1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。 3、自变量与因变量的确定：
①自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。
②自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。 ③利用具体情境来体会两者的依存关系。 三、表格
1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。 ①首先要明确表格中所列的是哪两个量；
②分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；③结合实际情境理解它们之间的关系。 2、绘制表格表示两个变量之间关系
①列表时首先要确定各行、各列的栏目；②一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量； ③写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；
④在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。
⑤一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。 四、关系式
1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。 2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。 3、求两个变量之间关系式的途径：
①将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并写成关系式的形式。 ②根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式； ③根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式； ④根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。 4、关系式的应用：
①利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值； ②同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；
③根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。 五、图象
1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。 2、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。
3、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。 4、图象上的点：
①对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值； ②过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。
③由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个点作横轴的垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。 ④把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。 5、图象理解
①理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量； ②看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）；
③从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。
6、常见的图像
六、三种变量之间关系的表达方法与特点：
七、具体实例
（1）、小车下滑的时间
教学目标：通过分析小车在斜坡上下滑时高度与时间数据之间的联系，使学生体会小车下滑时间随着
高度变化而变化，从而了解变量、自变量和因变量的意义，了解可以用列表示两个变量之间的关系，培养学生分析问题的能力与归纳思维的能力。 教学重点： 能从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况。 （2）、变化中的三角形
教学目标：1、经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，
发展符号感。
2、能根据具体情景，用关系式表示某些变量之间的关系。
3、能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系。
教学重点：1、找问题中的自变量和因变量。
2、根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系。 （3）、温度的变化
教学目标：1、经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之间的关系。
2、结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义。
3、能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述。
教学重点：结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义。
并能从图象中获取变量之间关系的信息，
（4）、速度的变化
教学目标：通过速度随时间变化的实际情境，进一步经历从图中分析变量之间关系的过程，加深对图象
表示的理解，进一步发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力。 教学重点：通过速度随时间变化的实际情境，能分析出变量之间关系。 教学难点：现实中变量的变化关系，判断变化的可能图象。 4-1、速度图象
1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间； 2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
①上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；
②水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止； ③下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。 4-2、路程图象
1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间； 2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
①上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）； ②水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；
③下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。
典例分析
题型一、选择题
1.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，因变量是（ ） A、沙漠 B、体温 C、时间 D、骆驼
2．明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（ ）
A．明明 B．电话费 C． 时间 D．爷爷
3．某地海拔高度h与温度T的关系可用T=21-6h来表示（其中温度单位℃，海拔高度单位为千米），则该地区某海拔高度为2000米的山顶上的温度为（ ） A．15℃ B．9℃ C．3℃ D．-11979℃
4．一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为xm的一部分（如图），与剩余木板的面积
y（m2）与x（m）的关系式为（0≤x＜5）（ ） A．y=2x B．y=5x C．y=10-2x D．
y=10-x
5、根据图示的程序计算变量y的对应值，若输入变量x的值为
3
，则输出的结果为（ ）
2
输入x的值
y=x+2-2x
-1x1输出y的值
A.
72
B.
94
C.
12
D.
32
1
6.下表是我国从1949年到1999年的人口统计数据（精确到0.01亿）
从表中获取的的信息错误的是（ ）
A.人口随时间的变化而变化，时间是自变量，人口是因变量 B.1969～1979年10年间人口增长最快
C.若按1949～1999这50年的增长平均值预测，我国2009年人口总数为14亿 D.从1949～1999这50年人口增长的速度逐渐加大 7．图6—40中，哪一图象是表示下述情况的 (
)
一人骑自行车从家里出发，先加速行驶一段路程后，又匀速骑了一段路程，路中遇一熟人，减速后停下来，讲了一阵话，后又加速行驶到一定速度后匀速行驶，接着又减速行驶到目的地．
8.星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s（米）与散步所用的时间t（分）之间的关系，依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ）
A.从家出发，到了一个公共阅读报栏， 看了一会儿报，就回家了.
B.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一 会儿报，继续向前走了一段后，然后回家了. C.从家里出发，一直散步（没有停留），然后回家了 D.从家里出发，散了一会儿步，就找同学去了，
9、某校举行趣味运动会，甲、乙两名学生同时从A地到B地，甲先骑自行车到B地后跑步回A地，乙则是先跑步到B地，后骑自行车回A地(骑自行车速度快于跑步速度)，最后两人恰好同时回到A地；已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，若学生离开A地的距离S与所用时间t的关系用图象表示(实线表示甲的图象，虚线表示乙的图象)，则图中正确的是
( )
A B C D 10、如图，下图是汽车行驶速度（千米／时）和时间（分） 的关系图，下列说法其中正确的个数为（ ）
（1）汽车行驶时间为40分钟；
（2）AB表示汽车匀速行驶； （3）在第30分钟时，汽车的速度是90千米／时； （4）第40分钟时，汽车停下来了
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11. 如图2，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的关系，下列说法中错误的是 （ ）
A.第3分时汽车的速度是40千米/时 B.第12分时汽车的速度是0千米/时 C.从第3分到第6分，汽车行驶了120千米
D.从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时
12．某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往．如图，a，b分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y（千米）与所用时间x（分钟）之间的函数图象，则下列判断错误的
图2
是（ ）
A．骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟 B．步行的速度是6千米/小时
C．骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟 D．骑车的同学和步行的同学同时到达目的地
13、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓缓爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉。当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还时先到达了终点„„。用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A B C
14. 向高为10厘米的容器中注水，注满为止，若注水量V（厘米）与水深h（厘米）之间的关系的图象大致如图3所示，则这个容器是下列四个图中的 【 】.
3
图3
15、某市1960年只有5%的成年工作者在家工作，至1970年在家工作的人数增 到8%，1980年大约有15%的人在家工作，而在1990年则有30%，试问图6—4中（ ）是这种情形的最佳说明。
(A)
时间(B)
时间(C)时间(D)
时间
图6—4
16、地向一个如图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水的过程中水面的高度h随时间t变化的
函数图象大致是（ ）
A B C D
17．生产某种产品每小时可生产100件，生产前没有积压，生产3小时后安排工人装箱，每小时可装150件，未装箱的产品数量为y（件）与时间t（时）的关系可用下面的图象来准确反映的是（ ）
A． B． C． D．
18、如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路线为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y．则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A、
B、
C、 D、
题型二、填空题
1、如图1，在一个半径为18cm的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化．
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如挖去的圆半径为x（cm），圆环的面积y（cm2）与x的关系式是_________；
（3）当挖去圆的半径由1cm变化到9cm时，圆环面的面积由_________cm2变化到_________cm2．
图1
2．如图，在空中，自地面算起，每升高1千米，气温下降若干度（℃）．某地空中气温t（℃）与高度h（千米）间的图象如图所示，观察图象，可知：
（1）该地面气温为_________ ℃．
（2）当高度h=____________ 千米时，气温为0℃．
3．甲，乙两人工程队分别同时开挖两段河道，所挖河道的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如
图所示，则根据图象所提供的信息可知：开挖6h时甲队比乙队多挖了
_______m.
4．如图所示的是一根蜡烛燃烧时剩余的长度h（厘米）与燃烧时间t（小时）之间的关系的图象，则蜡烛点燃后每小时燃烧___________ 厘米。
5．下面四幅图象表示某汽车在行驶过程中，速度与时间之间的关系在不同状态下的表现．请把图象的序号填在相应语句后的横线上．
（1）汽车起动速度越来越快________ ；
（2）汽车在行驶中遇到一坑地速度逐步降下来，越过地坑地起速度加大_______ ； （3）行驶过程中速度保持不变________ ；
（4）汽车到达目的地，速度逐步减小最后停下来_________ ． （每一种状态都在某段时间里）
6．某图书出租屋，有一种图书的租金y（元）与出租的天数x（天）之间的关系图象如图所示，则两天后，每过一天，累计租金增加_____________ 元．
题型三、解答题
1.将若干张长为20厘米、宽为10厘米的长方形白纸，按图9所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为2厘米． （1）求4张白纸粘合后的总长度；
（2）设x张白纸粘合后的总长度为y厘米，写出y与x之间的关系式，并求当x＝20时，y的值．
图9
2、弹簧挂上物体后会伸长,已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表：
(1) (2) 当物体的质量为3kg时,弹簧的长度怎样变化? (3) 当物体的质量逐渐增加时,弹簧的长度怎样变化?
(4) 如果物体的质量为xkg,弹簧的长度为ycm,根据上表写出y与x的关系式; (5) 当物体的质量为2.5kg时,根据(4)的关系式,求弹簧的长度
3、一位旅行者在早晨8时出发到乡村，第一个小时走了5千米，然后他上坡，1个小时只走了3千米，以后就休息30分钟；休息后平均每小时走4千米，在中午12时到达乡村。根据右图回答问题： （1）旅行者9时、10时、10时30分、11时离开城市的距离为多少？ （2）他停下来休息时离开城市的距离是多少？（3）乡村离城市有多少路程？ （4）旅行者离开城市6千米、10千米、12千米、14千米的时间分别为多少？
4. 小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图像。
（1）根据图像回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？ （2）求小明出发两个半小时离家多远？
（3）求小明出发多长时间距家12千米？
5、甲、乙两地相距80千米，A骑自行车，B骑摩托车沿相同路线由甲地到乙地行驶，两人行驶的路程y(千米)与时间x(时)的关系如图6—45所示，请你根据图象回答或解决下面的问题：
(1)谁出发较早?早多长时间?谁到达乙地较早?早多长时间? (2)两人在途中行驶的速度分别是多少?
(3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的路程y(千米)与时间x(小时)的关系式．(不要求写出自
变量x的取值范围)
(4)指出在什么时间段内两辆车均行驶在途中(不包括端点).
在这一时间段内，请你按下列条件列出关于时间x的方程或不等式(不要化简，也不要求解)： ① 自行车行驶在摩托车的前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车的后面.
6、受潮汐的影响，近日每天24小时港内的水深变化大体如下图：
一般货轮于上午7时在该港码头开始卸货，计划当天卸完货后离港．已知这艘货轮卸完货后吃水深度为2.5m（吃水深度即船底离开水面的距离）．该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5m时，才能进出该港． 根据题目中所给的条件，回答下列问题：
（1）要使该船能在当天卸完货并安全出港，则出港时水深不能少于 m，卸货最多只能用 小时；
（2）已知该船装有1200吨货，先由甲装卸队单独卸，每小时卸180吨，工作了一段时间后，交由乙队接着单独卸，每小时卸120吨．如果要保证该船能在当天卸完货并安全出港，则甲队至少应工作几小时，才能交给乙队接着卸？
7、下页这张曲线图(图6—12)表示某人骑摩托车旅行情况，他上午8:00离开家，请仔细观察曲线图，回答以下问题：
(1)他从家到达终点共骑了多少千米?何时到达终点?
(2)摩托车何时开得最快?
(3)摩托车何时第一次停驶?此时离家多远?
(4)摩托车第二次停驶了多长时间?
(5)摩托车在11:00到12:00这段时间内的平均速度是多少?
(6)求摩托车在全部行驶时间内的平均速度?
8、一位农民带上若干千克自产的土豆进城出售．为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系，如图，结合图象回答下列问题：
（1）农民自带的零钱是多少？（2）求出降价前每千克的土豆价格是多少？
（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，试问他一共带了多少千克土豆？
9、某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）加油飞机的加油油箱中装载了 吨油，将这些油全部加给运输飞机需 分钟． （2）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用？请说明理由．
10、某文具店出售书包和文具盒，书包每个定价30元，文具盒每个定价5元．该店制定了两种优惠方案；①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的9折(总价的90％)付款，某班学生需购买8个书包、文具盒若干(不少于8个)，如果设文具盒数x(个)，付款数为y(元)．
(1)分别求出两种优惠方案中y与x之间的关系式．(2)购买文具盒多少个时，两种方案付款相同，购买文具盒数大于8时，两种方案中哪一种更省钱?
11. 某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/小时、100千米/小时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：
注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费。 （1）设该批发商待运的海产品有x（吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1
（元）和y2（元），试求y1与x的函数关系和y2与x的函数关系； （2）通过计算说明当待运的海产品有100吨时，选择哪种货运公司更省钱？
12、某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房80套,该公司所筹资金不少于2090万元,但不超过2096万元,且所筹资金全部用于建房,两种户型的建房的成本和售价如下表：
(2)该公司选用哪种建房方案获得利润最大？最大利润是多少？
(3)根据市场调查,每套B型住房的售价不会改变,而每套A型住房的售价将会提高m万元(m＞0),且所建的两种住房可完全售出,该公司又将选用哪种建房方案获得利润最大？
13、如图,长方形ABCD的边长分别为AB=12cm,AD=8cm,点P、Q都从点A出发，分别沿AB-CD运动，且保持AP=AQ，在这个变化过程中，图中的阴影部分的面积也随之变化．
当AP由2cm变到8cm时，图中阴影部分的面积是增加了，还是减少了？增加或减少了多少平方厘米？
14、如图，长方形ABCD中，当点P在边AD（不包括A、D两点）上从A向D移动时，有 的线段的长度和三角形的面积始终保持不变，而有些则发生了变化。
（1）试分别列举出长度变化与不变化线段的长度、以及面积变化与不变化的三角形；
（2）假如长方形的长AD为10㎝，宽CD为4㎝，线段AP的长度为x㎝，分别写出线段PD的长度y（㎝）、△PCD的面积S（cm）与x（㎝）之间的关系式，并指出自变量x的取值范围。
2
P
A
D
B
C
15．在直角三角形ABC中，BC=6，AC=8，点D在线段AC上 从C向A运动。若设CD=x,△
ABD的面积为
y。
（1）、请写出y与x的关系式；
（2）、当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？此时点D在什么位置？
（3）、当△ABD的面积是△ABC的面积的
1
时，点D在什么位置？ 3
A
C
课后作业
1．小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：
A.
8888 B. C. D. 61676365
2．一辆轿车在公路上行驶，不时遇到各种情况，速度随之改变，先加速，再匀速又遇到情况而减速，过后再加速然后匀速，下公路、上小路，到达目的地．图6—43哪幅图象可近似描述上面情况 ( )
3、如图1所示，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动 的路程与时间的关系图象，图中S和t分别表示运动路程 和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快 （ ）
A、2.5m B、2m C、1.5m D、1m
4、如图，L甲、L乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的关系，则它们的平均速度的关系是（ ）
A．甲比乙快 B．乙比甲快 C．甲、乙同速 D．不一定
5、向一个容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h（㎝）随时间t(s)的变化规律如图所示，（图中OABC为一折线），这个容器的形状是图中的（ ）
A B C D 6．某音像公司对外出租光盘的收费方法是：每张光盘出租后的前2天每天收费0.8元，以后每天收费0.5元，那么一张光盘在出租后第n天（n＞2且为整数）应收费____________ 元．
7．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，某户居民每月交水费y（元）与月用水量x（吨）的关系如图所示，请你通过观察图象，回答自来水公司的收费标准：若月用水量不超过5吨，水费为__________ 元/吨；若月用水量超过5吨，超过的部分水费为____________ 元/
吨。
8．某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，那么这种汽油的单价是每升________ 元．
9、某中学校长决定带领市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社承诺：“如果校长买全票一张，则学生可享受半价优惠”；乙旅行社承诺：“包括校长在内所有人按全票的6折优惠”，若全票价甲乙旅行社均为240元。
(1) 设学生为x，甲乙旅行社收费分别为y甲(元)和y乙(元)，分别写出两个旅行社收费的关系式； (2) 哪家旅行社收费更优惠？
10、某单位急需用车，但又不想买车，他们准备和一个私营车主或一个国营出租车公司签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，应付给私营车主的月费用是y1元，应付给国营出租车公司的月费用是y2元，y1,y2分别与x之间的函数关系如图6—46所示，观察图象回答下列问题：
(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国营公司的车合算? (2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同?
(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米，那么这个单位租哪家的车合算?
11、动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据下图回答问题： (1)机动车行驶几小时后加油？加了多少油？
(2)试求加油前油箱余油量Q（L）与行驶时间t（h）之间的函数关系式；
(3如果加油站离目的地还有230公里，车速为40公里/小时，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由 .