排列组合公式

排列组合公式

排列与组合都是计算“从n 个元素中任取r 个元素”的取法总数公式，其主要区别在于：如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式，否则用排列公式。而所谓讲究元素间的次序，可以从实际问题中得以辨别，例如两个人相互握手是不讲次序的；而两个人排队是讲次序的。

排列与组合公式的推导都基于如下两条计数原理：（1）乘法原理（分步）

如果某件事需经k 个步骤才能完成，做第一步有m 1种方法，做第二步有m 2种方法„„做第k 步有m k 种方法，那么完成这件事共有m 1⨯m 2 ⨯m k 种方法。譬如，甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游线路，那么从甲城经乙城去丙城共有3⨯2=6条旅游线路。（2）加法原理（分类）

如果某件事可由k 类不同途径之一去完成，在第一类途径中有m 1种完成方法，在第二类途径中有m 2种完成方法„„在第k 类途径中有m k 种完成方法，那么完成这件事共有m 1+m 2 +m k 种方法。

譬如，由甲城到乙城去旅游有3类交通工具：汽车、火车和飞机。而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲到乙共有5+3+2=10个班次供旅游者选择。

计算公式：（1）排列

从n 个不同元素中任取r （r ≤n ）个元素排成一列（考虑元素先后出现次序），称此为一个排列，此种排列的总数记为P n r 。

按乘法原理，取出的第一个元素有n 种取法，取出的第二个元素有n -1种取法„„取出的第r 个元素有n -r +1种取法，所以有

P n =n ⨯(n -1) ⨯ ⨯(n -r +1) =

n ！(n -r ) ！

（A n r ）

若r =n ，责称为全排列，记为P n ，全排列P n =n ！（A n r A n n =n ！）

例如：A 42=4⨯(4-2+1) =

A 4=4⨯3⨯2⨯1

4⨯3⨯2⨯1

2⨯1

例：把4个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子放一个球，有多少种放法？答：A 44=4⨯3⨯2⨯1

（2）重复排列

从n 个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r 次所得的排列称为重复排列，此种重复排列数共有n r 个。

（3）组合

从n 个不同元素中任取r （r ≤n ）个元素并成一组（不考虑元素间的先后次序），

⎪C 称此为一个组合，此种组合的总数记为或。 n ⎪

⎛n ⎫⎝r ⎭

P n

r ！

n (n -1) (n -r +1)

r ！

n ！

r ！(n -r ) ！

PS. 规定0！=1与C n 0=1 例如：C 42=

4⨯32⨯1

例：孙佳在自助餐厅就餐，这只超级能吃的猪准备挑选三种肉类中的一类，四种

蔬菜中的两种，以及四种点心中的一种。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少种不同的选择方法？

121

⨯C 4⨯C 4=72 答：C 3

（4）重复组合

从n 个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r 次所得的组合称为重复组合，此种重复组合总数为 PS. 这里的r 允许大于n 。

⎛n +r -1⎫

⎪⎪个。 r ⎝⎭