数字信号处理报告
数学与信息科学学院
信息与计算科学
学号：41312261
姓名：高萌瑶
数字信号处理
信号处理的问题在各个领域都非常普遍，信号的表现形式也多种多样。若将信号看作自变量时间影响的因变量，则也可细分为如下几种：信号的自变量和函数值均取连续值，称之为模拟信号或时域离散信号；若自变量取离散值，而函数值取连续值，则称此信号为时域离散信号；若自变量和函数值均取离散值，则称为数字信号。
1. 模拟信号数字处理方法
在现实生活中及工程技术领域中涉及的信号一般都是模拟信号，即在时域与频域均连续的信号。对模拟信号的处理是通过一些模拟器件，如：晶体管、电阻、电容等，完成对信号的处理。模拟信号处理时改变参数时不具备一些灵活性，而且在计算精度方面也不能得到较高的精度，故处理模拟信号时我们更倾向于将其经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理。最后，如果需要，则可以将数字信号再转换为模拟信号，进行恢复。
图1 模拟信号数字处理框图
1.1采样间隔与采样信号表示
对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S 。假设电子开关每隔周期T 合上一次，每次合上的时间为τ
^采样信号x a (t ) 。该电子开关的作用等效成一宽度为τ，周期为T 的矩形脉冲串P τ(t ) 相乘的结果。
如果电子开关合上的时间τ→0，则形成理想采样，此时上面的脉冲串变成单位冲激串，用P δ(t ) 表示。P δ(t ) 中每个单位冲激处在采样点上，强度为1。理想采样则是x a (t ) 与P δ(t ) 相乘的结果。
用公式表示为：
P δ(t ) =
n =-∞∑δ(t -nT )
n =-∞∞ ^x a (t ) =x a (t ) ⋅P δ(t ) =∑x (t ) δ(t -nT ) a ∞
其中上式中δ(t ) 是单位冲激信号，在上式中只有当t =nT 时，才可能有非零值，因此将采样信号表示为下式：
x (t ) =^
a
n =-∞∑x (nT ) δ(t -nT ) a ∞
1.2采样速率与模拟信号最高频率的关系
为了使采样信号不失真的恢复原模拟信号，需寻找速率f s 与模拟信号最高频率f c 之间的关系。在傅里叶变换中，两个信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积，因此：
X a (j Ω) =FT[x a (t)]
X a (j Ω) =FT[x a (t)]
P δ(j Ω) =FT[Pδ(t)]∧∧
由P δ(j Ω) =
k =-∞∑2πa k δ(Ω-k Ωs ) 和a k =∞1T ⎰T /2
-T /2δ(t ) e -jk Ωt d t =s 1，可得： T
2π∞
P ∑δ(Ω-k Ωs ) δ(j Ω) =T k =-∞
∧1X a (j Ω) =X a (j Ω)*P δ(j Ω) 2π 1∞
=∑X a δ(j Ω-jk Ωs ) T k =-∞
因此，采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率Ωs 重复出现一次，即进行周期延拓而成的。
将原模拟信号的频谱称为基带频谱，如果满足Ωs ≥2Ωc ，或者用频率表示该
式，即满足f s ≥2f c ，基带谱与其它周期延拓形成的谱不重叠，可以用理想低通
滤波器G (j Ω) 从采样信号中不失真地提取原模拟信号；如果选择采样频率低，或者说信号截止频率高，使f s
1⎧T , Ω
⎪0, Ω≥1Ωs ⎪⎩2
Y a (j Ω) =FT [y a (t )]=X a (j Ω) ⋅G (j Ω)
y a (t ) =F -1T [Y a (j Ω)]
1Ωs 2
1y a (t ) ≠x a (t ), Ωc >Ωs 2y a (t ) =x a (t ), Ωc ≤∧
1.3采样定理
对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性延拓形成的。设连续信号x a (t ) 属带限信号，最高截止频率为Ωc ，如果采样角频率Ωs ≥2Ωc ，那么让采样信号x a (t)通过一个
1增益为T ，截止频率为Ωs 的理想滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号x a (t ) 。2
否则Ωs
1.4 模拟信号的恢复
模拟信号x a (t ) 经过理想采样，得到采样信号x a (t)，x a (t ) 和x a (t)之间的关系
^
a
n =-∞∧∧∧为x (t ) =∑x (nT ) δ(t -nT ) 。如果选择采样频率f a ∞s 满足采样定理，x a (t)的频谱∧
没有混叠现象，可以用一个理想低通滤波器G (j Ω) ，不失真的把原模拟信号x a (t ) 恢复出来，这是一种理想恢复，在此不做详细讨论。
2. 序列的傅里叶变换、Z 变换以及拉普拉斯变换的关系
信号和系统的分析分两种，一种是时域分析方法，一种是频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量t 的函数来表示，系统则用微风方程描述。为了在频率域进行分析，用拉普拉斯变换或傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。而在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，系统则用差分方程描述，频域分析采用Z 变换或傅里叶变换作为数学工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但有类似的性质。
3.1傅里叶变换
傅立叶分析：建立以时间为自变量的“信号”和以频率为自变量的“频谱函数”之间的某种关系, 在1822年, 由法国科学家 Fourier 提出, 其基本思想为：任意函数可分解为无穷多个不同频率正弦信号的和, 即频谱分析。
一般情况下，定义
X (e ) =jw
n =-∞∑x (n ) e ∞-jwn
为序列x (n ) 的傅里叶变换，也可记作FT 变换。其充分条件是序列x (n ) 满足绝对可和的条件，即满足：
n =-∞∑∞x (n )
用e i ω乘等式的两边，并在-π~π内对ω进行积分，可得
1πx (n ) =X (e jw ) e jw d w ⎰2π-π
即为傅里叶的逆变换，也称为FT 的逆变换。并与傅里叶变换组成一对傅里叶变换公式。
傅里叶变换具有线性性、对称性、周期性，并且当序列分为实部和虚部两部分时，实部对应的FT 具有共轭对称性，虚部和j 一起对应的具有共轭反对称性。
3.2 Z变换
定义序列x (n ) 的Z 变换为：
X (z ) =
n =-∞∑x (n ) z ∞-n
式中的z 是一个复变量，它所在的复平面称为z 平面。Z 变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即
n =-∞∑∞x (n ) z -n
使该式成立的变量取值域称为收敛域，一般收敛域用环状域表示，即
R x -
当已知序列的Z 变换及其收敛域，求序列则称为求逆Z 变换，其逆Z 变换表示为：
1 n -1x (n ) =X (z ) z dz ，c ∈(R x -, R x +) 2πj ⎰c
3.3序列的傅里叶变换、Z 变换以及拉普拉斯变换的关系
我们学过拉普拉斯变换，作为连续时间傅里叶变换的一种推广，做这中推广的部分原因是由于拉普拉斯变换比傅里叶变换有着更广泛的适用范围，有许多信号，其傅里叶变换不存在，但却有拉普拉斯变换，比如一个不稳定的线性时不变
系统的傅里叶变换不存在，但它的拉普拉斯变换却存在，运用拉普拉斯变换可以对系统的不稳定性作分析，从而找出使系统稳定的措施或找出系统不稳定的原因。
对于离散系统表述系统和信号的数学抽象是序列，其变量为离散变量，因此拉普拉斯变换已不适用。作为序列的傅里叶变换的推广就是z 变换。作为一种重要的数学工具，它把描述离散系统的差分方程，变换成代数方程，使其求解过程得到简化。还可以利用系统函数的零、极点分布，定性分析系统的时域特性、频率响应、稳定性等，是离散系统分析的重要方法。Z 变换在离散系统的作用与地位，与拉氏变化在连续时间系统相当。
拉普拉斯变换和z 变换分别在求解连续时间系统的微分方程和离散时间系统差分方程起了一定作用。其实拉普拉斯变换和z 变换的作用远不止此，系统的单位冲激响应h (t ) 反映了连续时间系统的时域特性，而单位抽样响应h (n ) 反映了离散时间系统的时域特性，它们都取决于系统的结构和参数。显然连续时间系统和离散时间系统的系统函数也取决于系统的结构和参数，它是系统的复频域描述函数。特定系统具有不同的特性（如高通、低通、带通等），但所有物理可实现系统都要满足稳定性和因果性。即系统的稳定性和因果性是物理系统的最基本特性。
3. 离散傅里叶变换
对于有限长序列，可以用序列的傅里叶变换和z 变换来分析和表示，但还有一种方法更能反映序列的有限长这个特点，即离散傅叶里变换。这就是我们这一章要讨论的问题。离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。
1822年，法国工程师傅里叶(Fourier)指出，任意一个函数X (t ) 均可分解为无穷多个不同频率正弦信号的和，这即是谐波分析的基本概念。在数字计算机时代，模拟信号所携带的信息均被处理为基于0和1的二值离散数据。模拟信号通过A ／D 变换为离散的数字信号。连续函数X (t ) 因此被抽样为离散的有限长序列X (nT s ) （n=0，1，2，„，N-1,T s 为采样周期) 。离散傅里叶变换(DFT)将离散的
时域信号X(nTs ) 与离散的频率点结合，使谱分析得以在数字计算机上实现。根据
DFT 理论，X (t ) 的N 个抽样点的频谱为：
kn X (k ) =∑x (n ) W N ,(n =0,1,2...., N -1)
n =0N -1
当已知X (k ) 时，可得其傅里叶逆变换IDFT 为：
1N -1-kn x (n ) =∑X (k ) W N ,(n =0,1,2...., N -1) N n =0
离散傅里叶变换的性质与傅里叶变换相似，也有线性性质、循环移位性质以及共轭对称性。
通过一学期对数字信号处理的学习，我只是学习到了一些肤浅的关于处理信号的知识，以及数学方法在处理信号时的灵活应用，此外，示波器的“扫盲”性的实验也加厚了我对这门课的兴趣，这门课的学习对以后继续学习其他课程也会有很大帮助。