第6讲 正弦定理和余弦定理
【2014年高考会这样考】
1．考查正、余弦定理的推导过程．
2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 【复习指导】
1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．
2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．
基础梳理
a b c
1sin A ＝sin B sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；
(2)a ＝b ＝，c ＝；
a b c
(3)sin A ＝2R ，sin B ＝2R sin C ＝2R 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－b 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－b 2
cos A 2bc cos B 2ac ，cos C a 2＋b 2－c 2＝2ab 111abc 1
3．S △ABC ＝2sin C 2sin A 2sin B ＝4R 2a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径) ，并可由此计算R ，r .
4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则
一条规律
在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两类问题
在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
双基自测
1．(人教A 版教材习题改编) 在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( ) ． A ．52 106C. 3
B ．102 D ．56
解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， a c
由正弦定理得：sin A sin C ， 即
10c 106∴c ＝3. 3222
答案 C
sin A cos B
2．在△ABC 中，若a ＝b B 的值为( ) ． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析 由正弦定理知：
sin A cos B
.
sin A sin B sin B ＝cos B ，∴B ＝45°答案 B
3．(2011·郑州联考) 在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( ) ． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° b 2＋c 2－a 21＋4－31解析 由余弦定理得：cos A ＝2bc ＝＝，
2×1×22∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C
1
4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝3，则△ABC 的面积为( ) ． A ．33 B ．23 C ．3 D. 3 1
解析 ∵cos C ＝30＜C ＜π， 22
∴sin C ＝3， 1
∴S △ABC ＝2sin C
122
＝2×2×23×343. 答案 C
5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， a 2＋b 2－c 23∴cos C ＝2ab ＝－2， 故C ＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°
考向一 利用正弦定理解三角形
【例1】►在△ABC 中，a 3，b 2，B ＝45°. 求角A ，C 和边c .
[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．
a b 32解 由正弦定理得sin A sin B ，sin A sin 45°， ∴sin A ＝
3
2
∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.
当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， 6＋2b sin C
c ＝sin B ＝2；
当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， 6－2b sin C
c ＝sin B ＝2.
(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代
入求解即可．
(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
π
【训练1】 (2011·北京) 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.
解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， sin A
且cos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1， 5
联立解得sin A ＝5， a b
再由正弦定理得sin A sin B ，
代入数据解得a ＝210.
答案
5
5210
考向二 利用余弦定理解三角形
cos B b
【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos C ＝－.
2a ＋c (1)求角B 的大小；
(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
cos B b
[审题视点] 由cos C
2a ＋c a 2＋c 2－b 2
解 (1)由余弦定理知：cos B ＝
2ac a 2＋b 2－c 2
cos C ＝2ab .
cos B b
将上式代入cos C 得：
2a ＋c a 2＋c 2－b 22ab b
＝－， 2ac a ＋b －c 2a ＋c 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . a 2＋c 2－b 2－ac 1∴cos B ＝2ac ＝2ac 2. 2∵B 为三角形的内角，∴B ＝3 (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，
2
B ＝3π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c ) 2－2ac －2ac cos B ， 1⎛
∴13＝16－2ac 1－2，∴ac ＝3.
⎝⎭13
∴S △ABC ＝2sin B ＝4.
(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解
答本题的关键．
(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．
【训练2】 (2011·桂林模拟) 已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分A
别为a ，b ，c ，且2cos 2 2＋cos A ＝0. (1)求角A 的值；
(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． A
解 (1)由2cos 2 2＋cos A ＝0， 得1＋cos A ＋cos A ＝0， 1
即cos A ＝－2 2π
∵0＜A ＜π，∴A ＝3. (2)由余弦定理得，
2π
a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝3， 则a 2＝(b ＋c ) 2－bc ， 又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4， 1
故S △ABC ＝2bc sin A ＝3.
考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状
【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B ) ＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．
[审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断． 解 由已知(a 2＋b 2)sin(A －B ) ＝(a 2－b 2)sin C ， 得b 2[sin(A －B ) ＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]， 即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，
即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cos B sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ， 由于A ，B 是三角形的内角． 故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， π
即A ＝B 或A ＋B ＝2.
故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统
一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．
a b c
【训练3】 在△ABC 中，若cos A cos B cos C ；则△ABC 是( ) ． A ．直角三角形 C ．钝角三角形
B ．等边三角形 D ．等腰直角三角形
解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径) ．
sin A sin B sin C ∴cos A ＝cos B cos C .
即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B
考向三 正、余弦定理的综合应用
【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，πC ＝3.
(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；
(2)若sin C ＋sin(B －A ) ＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．
[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A ) ＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题． 解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.
1
又因为△ABC 的面积等于3，所以2ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组
22
⎧a ＋b －ab ＝4，⎧a ＝2，⎨解得⎨ ab ＝4，b ＝2. ⎩⎩
(2)由题意，得sin(B ＋A ) ＋sin(B －A ) ＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A .
ππ
当cos A ＝0，即A ＝2B ＝6 323a ＝3b ＝3
当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，得b ＝2a .
22
⎧a ＋b －ab ＝4，
联立方程组⎨
⎩b ＝2a ，
23⎧a ＝⎪3，解得⎨
43⎪b ＝⎩3.
13所以△ABC 的面积S ＝2a b sin C 3.
正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这
些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．
【训练3】 (2011·北京西城一模) 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，4
b ，c ，且cos B ＝5，b ＝2. (1)当A ＝30°时，求a 的值；
(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 43解 (1)因为cos B ＝5，所以sin B ＝5. a b a 10
由正弦定理sin A sin B ，可得sin 30°3 5所以a ＝313
(2)因为△ABC 的面积S ＝2ac ·sin B ，sin B ＝5 3
所以10ac ＝3，ac ＝10.
由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，
8
得4＝a 2＋c 2－5＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.
所以(a ＋c ) 2－2ac ＝20，(a ＋c ) 2＝40. 所以a ＋c ＝210.
阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错
【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.
【示例】►(2011·安徽) 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a 3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C ) ＝0，求边BC 上的高． 错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根． 实录 由1＋2cos(B ＋C ) ＝0， 1π知cos A ＝2A ＝3， a b
根据正弦定理sin A sin B 得： sin B ＝
b sin A 2π3π
＝，∴B a 24或4.
以下解答过程略．
正解 ∵在△ABC 中，cos(B ＋C ) ＝－cos A ， π
∴1＋2cos(B ＋C ) ＝1－2cos A ＝0，∴A ＝3a b
在△ABC 中，根据正弦定理sin A ＝sin B ∴sin B ＝
π5
∵a ＞b ，∴B 4，∴C ＝π－(A ＋B ) ＝12π. ∴sin C ＝sin(B ＋A ) ＝sin B cos A ＋cos B sin A 6
＋22123
＝22224.
b sin A 2
＝. a 2
6＋23＋1
∴BC 边上的高为b sin C ＝2×42【试一试】 (2011·辽宁) △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2 A ＝2a . b (1)求a ；
(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . [尝试解答] (1)由正弦定理得， sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即 sin B (sin2A ＋cos 2A ) ＝2sin A . b
故sin B 2sin A ，所以a 2.
(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3) a 2.
12
可得cos 2B ＝2cos B ＞0，故cos B ＝2，所以B ＝45°.
(1＋3)a
2c