分数还原问题
新课引入：
有一位老人说：“把我的年龄加上12，再用4除，再减去15后乘以10，恰好是100岁。”这位老人有多少岁呢？
解这个题目要从所叙述的最后结果出发，利用已给条件一步步倒着推算，同学们不难看出，这位老人的年龄是
（100÷10＋15）×4—12＝88（岁）。
从这一例子可以看出，对于有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法解决的问题叫做还原问题。
新课讲授：
例1． 国庆期间，小明准备用3天时间完成老师布置的作业。第一天做完113了，第二天做完余下的多3道，第三天上午做了又余下的，这时还剩1324
道题没做。老师一共布置了多少道题？
解题思路：这道题中的单位“1”比较多，而且难以统一，我们可以采用还3原法解答。根据“第三天上午做了又余下的，这时还剩1道题没做”，可以求4
31出第二天做完后剩下的题数：1÷(1-)=4（道）；再由“第二天做完余下的多42
13道，还剩4题”，可以求出第一天做完后剩下的题数：(4+3)÷(1-)=14（道）；2
1最后由“第一天做完了，还剩14题”，可以求出老师布置的题目数量。 3
上面的分析过程是还原法的一般解题思路，我们可以运用线段图帮助理解（如下图）。
“1”
“1”
“”
311解：1÷(1-)=4（道），(4+3)÷(1-)=14（道），14÷(1-)=21（道） 423
答：老师一共布置了21道题。
做练习题。
例2．有一群猴子分一堆桃子，第一只猴子分了全部桃子的1，第二只猴10
11子分了剩下桃子的，第三只猴子分了这时剩下桃子的，„„第九只猴子分了98
1第八只猴子分后剩下桃子的，最后剩下10个桃子给第十只猴子。这堆桃子共2
有多少个？
解题思路一：采用还原法，根据“第九只猴子分了第八只猴子分后剩下桃子11的，剩下10个桃子”，可求出第八只猴子分后剩下的桃子10÷(1-)=20（个）；22
依此类推，可以分别求出第七只、第六只、„„第一只猴子分后剩下的桃子数，和原有桃子的个数。 1111解：1÷(1-)÷(1-)÷(1-)÷ ÷(1-)=100（个） 23410
答：这堆桃子共有100个。
解题思路二：我们可以先统一单位“1”，看看其中的规律。把桃子总数看作
1111单位“1”，第一只猴子分了总数的，第二只猴子分了总数的(1-)⨯=， 1010910
111第三只猴子分了总数的(1-⨯2)⨯=，„„，第十只猴子分了总数的10810
1111-⨯9=。我们惊奇的发现，每只猴子都分得总数的，问题容易解决了。 101010
1解：10÷=100（个） 10
答：这堆桃子共有100个。
例3．甲乙两筐苹果共有112个，如果从甲筐中拿出一半苹果放入乙筐，再1从乙筐中拿出现有苹果的放入甲筐，结果两筐中的苹果一样多。甲筐中原有苹5
果多少个？
解题思路：可以借助表格进行还原。
1现在，都有两筐中的苹果一样多，112÷2=56（个），即乙筐拿出后还剩5
1156个，乙筐拿出前有56÷(1-)=70（个），这时甲筐有苹果112-70=42（个），55
即甲筐中拿出一半后还有42个苹果，很容易求出甲筐中原有苹果多少个。
11解：112÷2=56（个），56÷(1-)=70（个），(112-70)÷(1-)=84（个）。 52
答：甲筐中原有苹果84个。
做练习题、比一比的题目。
总结：运用还原法的要点是：从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步进行逆运算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，直到退回最初的出发点。对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，这样既能理清数量关系，又便于验算。
习题答案：
1. 解：［（15＋7—10）×2＋3］/(1—1/4)＝36（米）
答：这捆电线原有36米。
2. 分析：利用还原法。因为把个位上的5看成9，所以多加了4；又因为把十位上的8看成3，所以少加了50。在用还原法做题时，多加了的4应减去，多减了的50应加上。
解：123-4＋50＝169。
答：正确的结果应是169。
3. 解：[(12-4)/(1-1/9)+5]/(1-1/3)=21(升)
答：原有盐水21升。
4． 解：12/(1/7)=84（只）,84*2/7=24（只）
答： 第一天和第二天猴子所吃桃子的总数是24只。
5． 解： （5+30）÷（1-4/5）=175（千米）
（175-25）÷（1-1/3）=225（千米）
（225+40）÷（1-3/8）=424（千米）
答：甲乙两地的路程是424千米。
6．分析：我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。只要解一个“和差问题”就知道：哥哥挑“（26+2）÷2=14”块，弟弟挑“26-14=12”块。
解：（26+2）÷2=14（块） 26-14=12（块） 14-5=9（块）
9÷（1/2）=18（块） 26-18=8（块） （26-18）÷（1/2）=16（块） 答：最初弟弟准备挑16块。
7．解：见到第4个人的时候还有:0.5+0.5=1（个）
见到第3个人的时候还有:(1+0.5)*2=3 （个）
见到第2个人的时候还有:(3+0.5)*2=7 （个）
见到第1个人的时候还有:(7+0.5)*2=15（个）
答：篮中蛋数为15个。