沪科版七年级数学第一章知识点复习以及例题讲解
1、平方根
（1）定义：一般地, 如果一个数的平方等于a, 那么这个数叫做a 的平方根, 也叫做a 的二次方根。
“根号a”）
对于正数a
负的平方根用
”表示（读做“负根号a” ）
如果x 2=a ，则x 叫做a
的平方根，记作“a 称为被开方数）。
（2）平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
②0只有一个平方根，它就是0本身；
③负数没有平方根.
（3）开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a
（5
a ≥0。
（6）公式：⑴
2=a（a ≥0）；
2、立方根
（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根) 。
即X 3=a,把X 叫做a 的立方根。数a 的立方根用符号
表示，读作“三次根号
a ”。
（2）立方根的性质：
正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求.
3、规律总结
（1）平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
（2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
二、平方根、立方根例题。
例1、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由
① （-3）2 ② 0 2 ③ -0.01 2
（2） 下列说法对不对？为什么？
① 4有一个平方根 ② 只有正数有平方根
③ 任何数都有平方根
④ 若 a ＞0，a 有两个平方根，它们互为相反数
解：（1） （-3）2 和0 2有平方根，因为（-3）2 和0 2是非负数。- 0.01 2没有平方根，因为-0.01 2是负数。
（2）只有④对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
例2、求下列各数的平方根： 116(1) 9 (2) (3) 0.36 (4) 49例3、设
A.
C. ，则下列结论正确的是（ ）
B.
D.
，所以选B 解析：（估算）因为
举一反三：
【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________. 3）
___________.
【答案】1）；___________，
___________，.2）-3. 3），
，
【变式2】求下列各式中的
（1） （2） （3）
【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4
例4、判断下列说法是否正确
（1）的算术平方根是-3； （2）
的平方根是±15. （3）当x=0或2时，
解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.
故
（2）
故表示225的算术平方根，即的平方根是. =15.实际上，本题是求15的平方根，
（3）注意到，当x =0时，
=，显然此式无意义，发生错误
=0. 的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x ≠0，所以当x =2时，
x
例5
、求下例各式的值：
（1） 27 （2） 27 （3） 10 （4） -64-2 2764
三、实数知识复习。
1、实数的分类
无理数：无限不循环的小数称为无理数。 2、绝对值
(1)一个正数的绝对值是它本身， ⎧a a >0一个负数的绝对值是它的相反数， ⎪a =⎨0a =0零的绝对值是零。 ⎪-a a
（3）注意： ⎧a a >0 ⎪2a =a =⎨0a =0 ⎪-a a
例6、当a
A 0 B -1 C 1 D ½
例7、化简下列各式：
(1) |
(3) |-1.4| (2) |π-3.142| -| 的结果是( )
分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
解：(1)
∵
∴|=1.414„＜1.4 -1.4|=1.4-
(2) ∵π=3.14159„＜3.142
∴|π-3.142|=3.142-π
(3)
∵＜, ∴|-|=
-
【变式1】化简：
3、有关实数的非负性 2≥0(a ≥0) a ≥ 0 a
注意：(1)任何非负数的和仍是非负数；
(2)若几个非负数的和是0，那么这几个非负数均为0.
例8、已知(x-6)2+
解：∵(x-6)2+
且(x-6)2≥
0, +|y+2z|=0，求(x-y)3-z 3的值。 +|y+2z|=0 ≥0, |y+2z|≥0,
几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。
∴ 解这个方程组得
∴(x-y)3-z 3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65
【变式2】已知
4、实数比较大小的方法
1、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字：
2≈___________ 7≈___________ 那么a+b-c的值为___________ 3≈___________ 5≈___________ 6≈___________
2、方法一：差值比较法
差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。当a-b ＝0，得到a=b。
3、方法二：商值比较法
商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。a a a 当＜1时，a ＜b ；当＞1时，a ＞b ；当=1时，a=b。来比较a 与b 的大小。 b b b
4、方法三：平方法
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由a 2＞b 2得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。
5、方法四：估算法
估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。
选择适当的方法比较下列数的大小。
（1）比较1-2与1-的大小。 （2）比较-31与的大小。 88
1（3）比较2与3的大小 （4）当0 x 1时，x 2，x ，的大小顺序是x
______________。
（1）解 ∵（1-2）-（1-）=-2＞0 ， ∴1-2＞1-3。
（2）解：∵3＜＜4 ∴-3＜1 ∴-31＜ 88
（3）解：∵27=22∙7=28，33=32∙3=27。
又∵28＞27， ∴27＞3。
111（4）解：取x =，则：x 2=，=2。 24x
111 ∵＜＜2，∴x 2＜x ＜。 42x