中学数学教学参考 1999年第4期
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谈谈周期函数
江西省宁都中学 曾建国
周期性是函数的一条特殊而有趣的性质, 在高中数学教材中并未作重点讨论. 本文拟谈谈周期函数的几个问题, 供教学时参考.
一、关于周期函数的概念1. 周期函数定义域的特征先看周期函数的定义:
对于函数y =f (x ) , 如果存在一个不等于0的常数T , 使得对定义域内任意的自变量x , 都有f (x +T ) =f (x ) , 那么函数y =f (x ) 叫做周期函数, T 是它的一个周期.
从定义我们可以推得周期函数定义域的特征. 根据定义容易看出, 若T 是f (x ) 的一个周期, 则kT (k ∈Z , k ≠0) 也是f (x ) 的周期, 进而可知, x 属于f (x ) 的定义域, 则x +kT (k ∈Z) 也在其定义域内, 由此可得:
命题1 周期函数的定义域是一个无限数集, 在数轴上可向两方无限延伸.
这一性质是周期函数的一个必要条件, 利用它很方便地判断非周期函数.
例1 下列函数是否为周期函数:(1) y =sin
x ; (2) y =sin x , x ∈[2P , 4P ].
解:(1) 中定义域为[0, +∞) . 因两个函数的定义域都不具备周期函数定义域的特征, 故它们都不是周期函数.
2. 周期函数不一定有最小正周期
我们知道, 对于周期函数f (x ) , 在它的所有周期中若存在一个最小正数, 这个最小正数称为f (x ) 的最小正周期. 教材中还特声明:若无特殊说明, 求函数周期只需求出最小正周期.
但是, 周期函数不一定有最小正周期.
例2 常量函数f (x ) =a (x ∈R, a 为常数) 是周期函数, .
0(x ∈Q ) ,
例3 f (x ) = 是周期函数, 它的周
1(x ∈.
以上两个周期函数都没有最小正周期. 二、关于求解三角函数周期的问题
, 如y =sin(X x
之外, 还常遇到三角函数的复合函数及带绝对值符号的三角函数. +U ) 的周期有公式T =
1. 三角函数的复合函数的周期关于复合函数的周期有如下的命题:
命题2 若三角函数g (x ) 是以T 为周期的函数, 且复合函数y =f [g (x ) ]也是周期函数, 那么, T 仍是函数y =f [g (x ) ]的周期.
由f [g (x +T ) ]=f [g (x ) ]即可知命题2为真. 例如 y =2sin x 的周期T =2P ; y =
2-co s2x 的周期T =P ; y =sin (cos x ) 的周期T =2P ;
. y =arcsin (co s x ) 的周期T =2P 2. 含绝对值符号的三角函数的周期
若y =f (x ) 是最小正周期为T 的三角函数, 对于函数y =ûf (x ) û, 因为它也是复合函数, 由命题2知, T 也是y =ûf (x ) û的周期.
值得注意的是, 在某些特殊情形下, y =ûf (x ) û的
T
最小正周期会变成, 即等于y =f (x ) 的最小正周期
2
的一半.
例如, y =ûsin x û的周期是T =P ,
y =ûco s(2x +) û的周期是.
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但必须指出, 不能因为某些特殊情形而误认为ûf (x ) û的周期都是f (x ) 的周期的一半. 具体解题时, 必须根据周期函数的定义, 结合其图象变化, 综合分析后确定最小正周期.
例4 求下列函数的最小正周期:
(1) y =ûsin x û+ûco s x û; (2) y =ûsin x û-ûco s x û; (3) y =ût g x û; ∴y =
(4) y =û3sin2x +1û.
略解:(1) ∵y 2=1+ûsin 2x û, y >0,
1+ûsin2x û, 由命题2知它的周期等于
P ; 2
(2) T =P ; (∵f (x +P ) =ûsin x û-ûco s x û=f (x ) ) (3) T =P ; (4) T =P .
ûsin2x û的周期T =