[考纲解读]
一、描述圆周运动的物理量
1. 线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量. Δs 2πr v ＝.
Δt T
2. 角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量.
Δθ2πω＝＝Δt T
3. . 2πr 1T T ＝.
f
4. . v 24π22
a n ＝＝rω＝ωv ＝r .
r T
2π
5. 相互关系：(1)v ＝＝＝.
T v 24π22
(2)a n ＝rω＝ωv ＝＝4π2f 2r .
r T 6. 常见的三种传动方式及特点
(1)皮带传动：如图1中甲、乙所示，皮带和两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即v A ＝v B .
(2)摩擦传动：如图丙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即v A ＝v B .
(3)同轴传动：如图丁所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA ＝ωB
.
图1
二、匀速圆周运动的向心力
1. v 24π2r 2
2. 大小：F ＝m ＝mrω＝m mωv ＝m ·4π2f 2r .
r T 3. 4. 供.
三、离心现象
1. 定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，所做的沿切线飞出或逐渐远离圆心的运动现象.
2. 受力特点(如图2所示
)
图2
(1)当F n ＝mω2r . (2)当F n ＝0时，物体沿切线方向飞出.
(3)当F n mω2r . 四、万有引力定律
1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比. m 1m 2
2. 表达式：F ＝G
r G 为引力常量：G ＝6.67×103. 适用条件
(1). 当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点.
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r . 五、环绕速度 1. 三个宇宙速度 (1)第一宇宙速度
v 1＝7.9km/s，卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，又称环绕速度. (2)第二宇宙速度
v 2＝11.2km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度，又称脱离速度. (3)第三宇宙速度
v 3＝16.7km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度，也叫逃逸速度. 2. 第一宇宙速度的推导 v 1Mm
方法一：由G ＝m 得v 1R R v 21
方法二：由mg ＝m
R v 1gR ＝7.9×103m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周
2
－11
N·m 2/kg2.
＝7.9×103m/s. R
期最短，T min ＝
5075s ≈85min. g
1.(2013·浙江6月学考) 如图3所示，小强正在荡秋千. 关于绳上a 点和b 点的线速度和角速度，下列关系正确的是(
)
图3
A. v a ＝v b B. v a >v b C. ωa ＝ωb D. ωa
解析 绳子绕O 点转动，a 、b 两点角速度相等，ωa ＝ωb ，D 错，C 对. 因r a v a ，A 、B 均错.
2. 如图4所示，质量为m 的木块从半径为R 的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么(
)
图4
A. 加速度为零 B. 加速度恒定
C. 加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心 D. 加速度大小不变，方向时刻指向圆心 答案 D
解析 木块做的是匀速圆周运动，加速度大小不变，但方向时刻指向圆心，加速度时刻改变，故选项A 、B 、C 错误，D 正确.
3.(2016·诸暨市期末) 如图5所示，拱形桥的半径为40m ，质量为1.0×103kg 的汽车行驶到桥顶时的速度为10m /s，假设重力加速度为10 m/s 2，则此时汽车对桥的压力为(
)
图5
A.1.0×104N B.7.5×103N C.5.0×103N D.2.5×103N 答案 B
v 2
解析 对汽车由牛顿第二定律得mg －F N ＝m 得F N ＝7.5×103N ，
R 又由牛顿第三定律知汽车对轿的压力也为7.5×103N.
4. 如图6所示为某行星绕太阳运行的椭圆轨道，其中F 1和F 2是椭圆轨道的两个焦点，已知该行星在A 点的速率比在B 点的大，则太阳是位于下列哪一位置(
)
图6
A. F 1 B. F 2 C. O
D. 在F 1与F 2之间 答案 A
解析 v A >v B ，由开普勒定律知，太阳处于椭圆轨道的焦点F 1处.
5.2013年6月11日17时38分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员王亚平进行了首次太空授课. 在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小( ) A. 等于7.9km/s
B. 介于7.9km /s和11.2 km/s 之间 C. 小于7.9km/s
D. 介于7.9km /s和16.7 km/s 之间 答案 C
解析 卫星在圆形轨道上运动的速度v ＝确
. 由于r >R ，所以v
＝7.9km/s，C
正R
.
圆周运动中的动力学分析
1. 向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力. 2. 向心力的确定
(1)先确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置.
(2)再分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力. 3. 解决圆周运动问题的主要步骤
(1)审清题意，确定研究对象；明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环；
(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度是否变化、轨道平面、圆心位置、半径大小等； (3)分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源； (4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程.
例1 摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车. 当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，抵消离心力的作用；行走在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样. 假设有一超高速列车在水平面内行驶，以360km /h的速度拐弯，拐弯半径为1 km ，则质量为50 kg 的乘客，在拐弯过程中所受到的火车给他的作用力为(g 取10 m/s 2)( )
2ND.0 答案 C
v 2
解析 乘客所需的向心力：F n ＝m ＝500N ，而乘客的重力为500N ，故火车对乘客的作用力
R 大小为5002N ，C 正确
.
解决动力学问题的三个分析
(1)几何关系的分析：确定圆周运动的圆心、半径等. (2)运动分析：确定圆周运动的线速度、角速度.
(3)受力分析：利用力的合成与分解知识，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力. 变式题组
1. 如图7所示，质量相等的a 、b 两物体放在圆盘上，到圆心的距离之比是2∶3，圆盘绕圆心做匀速圆周运动，两物体相对圆盘静止，a 、b 两物体做圆周运动的向心力之比是(
)
图7
A.1∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.9∶4 答案 C
解析 a 、b 随圆盘转动，角速度相同，由F n ＝mω2r 知向心力正比于半径，C 正确. 2.(2016·诸暨市调研) 如图8所示，半径为r 的圆筒，绕竖直中心轴OO ′旋转，小物块a 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力与滑动摩擦力相同，要使a 不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为(
)
图8
A. μgr r
μg μr
答案 D
解析 对物块受力分析知F f ＝mg ，F n ＝F N ＝mω2r ，又由于F f ≤μFN ，所以解这三个方程得角速度ω，
D 选项正确. μr
3.(多选) 公路急转弯处通常是交通事故多发地带. 如图9，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势. 则在该弯道处(
)
图9
A. 路面外侧高内侧低
B. 车速只要低于v ，车辆便会向内侧滑动
C. 车速虽然高于v ，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动 D. 当路面结冰时，与未结冰时相比，v 的值变小
答案 AC
解析 当汽车行驶的速度为v 时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高内侧低，选项A 正确. 当速度稍大于v 时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项C 正确. 同样，速度稍小于v 时，车辆不会向内侧滑动，选项B 错误. v 的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与地面的粗糙程度无关，D 错误.
竖直面内圆周运动的临界问题
1. 在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等) ，称为“绳(环) 约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等) ，称为“杆(管) 约束模型”. 2. 绳、杆模型涉及的临界问题
例2 一辆质量m ＝2t 的轿车，驶过半径R ＝90m 的一段凸形桥面，g 取10m/s2，求： (1)轿车以10m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？ (2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？ 答案 (1)1.78×104N (2)15
解析 (1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示 v 2
合力F n ＝mg －F N ，由向心力公式得mg －F N ＝m
R
v 2102
故轿车受到桥面的支持力大小F N ＝mg －m (2000×10－2000×≈1.78×104N
R 90根据牛顿第三定律，轿车在桥的顶点时对桥面压力的大小为1.78×104N.
v ′2
(2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力F n ′＝mg －F N ′＝0.5mg ，而F n ′＝m R 所以此时轿车的速度大小v ′0.5gR ＝0.5×10×90m/s＝15
2m/s.
竖直面内圆周运动类问题的解题技巧
1. 定模型：首先判断是绳模型还是杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同. 2. 确定临界点：抓住绳模型中最高点v gR 及杆模型中v ≥0这两个临界条件. 3. 研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况. 4. 受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F 合＝F 向.
5. 过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.
变式题组
4. 如图10所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m 的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是(
)
图10
A. 过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来 B. 人在最高点时对座位不可能产生大小为mg 的压力 C. 人在最低点时对座位的压力等于mg D. 人在最低点时对座位的压力大于mg 答案 D
v 2
解析 人在最高点时，由牛顿第二定律和向心力公式可得：F ＋mg ＝m ，由此可知，当v ＝
R
gR 时，人只受重力作用；当v gR 时，重力和座位对人向下的压力提供向心力；当v
受到重力和支持力，由牛顿第二定律和向心力公式可得：F －mg ＝m F ＝mg ＋m mg ，
R R 故选项C 错误，D 正确.
5.(多选) 如图11所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r ＝0.4m ，最低点处有一小球(半径比r 小很多) ，现给小球一水平向右的初速度v 0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v 0应当满足(取g ＝10m/s2)(
)
图11
A. v 0≥0 C. v 0≥25m/s 答案 CD
m v 2
解析 当v 0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg ≤r 11
又根据机械能守恒定律有v 2＋2mgr v 2，得v 0≥25m/s，C 正确. 当v 0较小时，小球不
220能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处时速度恰好减为零，根1
据机械能守恒定律有mgr ＝m v 2，得v 0≤2m/s，D 正确.
20
万有引力定律的理解和应用
1. 解决天体(卫星) 运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 v 2Mm 4π2r 2
G ＝ma n ＝m mωr ＝m r r T
Mm
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G ＝mg (g 表示天体表面的
R 重力加速度).
2. 天体质量和密度的估算
(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .
B. v 0≥4m/s D. v 0≤22m/s
Mm gR 2
由于G mg ，故天体质量M ＝
R G M M 3g
天体密度ρ＝＝V 434πGR
πR 3
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .
Mm 4π24π2r 3
①由万有引力等于向心力，即G ＝m r ，得出中心天体质量M ；
r T GT ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 M M 3πr 3
ρ＝＝V 43GT R πR 3
3. 卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
例3 “嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为h 的圆形轨道上运行，运行周期为T . 已知引力常量为G ，月球的半径为R . 利用以上数据估算月球质量的表达式为( ) 4π2R 3A. GT 4π2(R ＋h )2GT 答案 D
4π2(R ＋h )Mm
解析 “嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得G ＝m ，解
T (R ＋h )4π2(R ＋h )3
得月球的质量为M ＝D 正确
.
GT
应用万有引力定律时应注意的问题
1. 估算天体质量和密度时应注意的问题
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质
4π2(R ＋h )B. GT 4π2(R ＋h )3D.
GT
量，并非环绕天体的质量.
(2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R ；计算天体密度4
时，V ＝πR 3中的R 只能是中心天体的半径.
3
2. 运动参量a n 、v 、ω、T 均与卫星质量无关，只由轨道半径r 和中心天体质量共同决定. 所有参量的比较，最终归结到半径的比较. 变式题组
6.(2016·浙江10月学考·12) 如图12所示，“天宫二号”在距离地面393km 的近圆轨道运行. 已知万有引力常量G ＝6.67×10
－11
N·m 2/kg2，地球质量M ＝6.0×1024kg ，地球半径R ＝
6.4×103km. 由以上数据可估算(
)
图12
A. “天宫二号”的质量 B. “天宫二号”的运行速度 C. “天宫二号”受到的向心力 D. 地球对“天宫二号”的引力 答案 B
7.(2016·浙江4月选考)2015年12月，我国暗物质粒子探测卫星“悟空”发射升空进入高为5.0×102km 的预定轨道. “悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为匀速圆周运动. 已知地球半径R ＝6.4×103km. 下列说法正确的是( ) A. “悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小 B. “悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小 C. “悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小 D. “悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小 答案 C
Mm m v 解析 地球同步卫星距地心的距离大于“悟空”卫星距地心的距离，由G 可得，v
r r ＝
Mm
“悟空”的线速度大，所以A 错. 由G mω2r 可知，“悟空”的角r r
2
Mm
速度大，即周期小，由G ma n 可知，“悟空”的向心加速度大，因此C 对.
r
图13
8.(2015·浙江10月选考) 在同一轨道平面上绕地球做匀速圆周运动的卫星A 、B 、C ，某时刻恰好在同一过地心的直线上，如图13所示，当卫星B 经过一个周期时( ) A. A 超前于B ，C 落后于B B. A 超前于B ，C 超前于B C. A 、C 都落后于B
D. 各卫星角速度相等，因而三颗卫星仍在同一直线上 答案 A
Mm 4π2
解析 由G ＝mr T ＝2π
r T
，故轨道半径越大，周期越大. 当B 经过一个周期时，GM
A 已经完成了一个多周期，而C 还没有完成一个周期，所以选项A 正确，B 、C 、D 错误.
宇宙航行
1. 宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v 发＝时，卫星绕地球做匀速圆周运动.
(2)7.9km/s
(4)v 发≥16.7km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间. 2. 地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24h ＝86400s. (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同.
3Mm 4π24
(4)高度一定：据G m 得r 卫星离地面高度h ＝r －R ≈6R (为4.23×10km ，r T 4π恒量).
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致.
例4 天文学家近日在银河系发现一颗全新的星球——“超级地球”. 它的半径是地球的2.3倍，而质量却是地球的17倍，科学家们认为这颗星球可能是由岩石组成. 它的发现将有助于探索地球之外是否存在生命. 这颗“超级地球”的第一宇宙速度约为( ) A.3km /s
B.15 km/s
C.21km /s 答案 C
D.28 km/s
解析 在地球上第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，根据万有引力提供圆周运动向心力有：v 2Mm
G ＝m v ＝R R
7.9km/s. R
GM ′
＝R ′
G ·17M
≈2.72×7.9km /s≈21.5 2.3R
据此关系知，超级地球的第一宇宙速度v ′＝km/s ，故C 正确，
A 、B 、D 错误.
对宇宙速度的三点理解
1. 第一宇宙速度v 1＝7.9km/s，既是卫星的最小发射速度，又是卫星绕地球运行的最大环绕速度.
2. 由第一宇宙速度的表达式v gR 可以看出：第一宇宙速度由中心天体的质量和半R
径或由天体表面的重力加速度和天体的半径决定. 3. 第二宇宙速度、第三宇宙速度也都是指发射速度. 变式题组
9.(2016·杭州学考模拟) 如图14所示，由我国自主研发的北斗卫星导航系统，空间段计划由35颗卫星组成，包括5颗静止轨道卫星、27颗地球轨道卫星、3颗倾斜同步轨道卫星. 目前已经实现了覆盖亚太地区的定位、导航和授时以及短报文通信服务能力，预计到2020年左右，将建成覆盖全球的北斗卫星导航系统. 关于其中的静止轨道卫星(同步卫星
) ，下列说法中正确的是( )
图14
A. 该卫星一定不会运动到杭州正上方天空
B. 该卫星处于完全失重状态，卫星所在处的重力加速度为零 C. 该卫星若受到太阳风暴影响后速度变小，它的轨道半径将变大 D. 该卫星相对于地球静止，其运行速度等于地球赤道处自转的线速度 答案 A
解析 根据同步卫星的定义知，它只能在赤道上空，故A 项正确；卫星处于完全失重状态，重力加速度等于向心加速度，故B 错；速度变小后，万有引力大于所需向心力，卫星的轨道半径将变小，C 项错；卫星相对地球静止是指角速度等于地球自转角速度，由v ＝ωr知，其
运行速度大于地球赤道处自转的线速度，故D 项错.
10. 宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h 处释放，经时间t 后落到月球表面(设月球半径为R ). 据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为( ) 22Rh Rh Rh A. C.
t t t 2t 答案 B
1
解析 设月球表面的重力加速度为g ′，由物体“自由落体”可得h ′t 2，飞船在月球表
2v Mm GMm 2Rh
面附近做匀速圆周运动可得＝m mg ′＝，联立得v R R R t 故B 正确.
2
1. 若认为行星绕太阳做圆周运动，则关于行星对太阳的引力的说法正确的是( ) A. 太阳对行星的引力就是行星运动的动力
B. 太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比 C. 太阳对行星的引力是由实验得出的
D. 太阳对行星的引力规律是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来 答案 D
2.(2016·杭州学考模拟) 嫦娥三号远离地球飞近月球的过程中，地球和月球对它的万有引力F 1、F 2的大小变化情况是( ) A. F 1、F 2均减小 C. F 1减小、F 2增大 答案 C
Mm
解析 根据万有引力定律F ＝G F 1减小、F 2增大，故选C.
r
3.(2016·浙江10月学考·5) 在G20峰会“最忆是杭州”的文艺演出中，芭蕾舞蹈演员保持如图1所示姿式原地旋转，此时手臂上A 、B 两点角速度大小分别为ωA 、ωB ，线速度大小分别为v A 、v
B ，则( )
B. F 1、F 2均增大 D. F 1增大、F 2减小
图1
A. ωA ωB C. v A v B 答案 D
2π
解析 由于A 、B 两处在人自转的过程中周期一样，所以根据ωA 、B 两处的角速
T 度一样，所以A 、B 选项错误. 根据v ＝rω可知A 处转动半径大，所以A 处的线速度大，即选项D 正确.
4.(2016·绍兴市模拟) 如图2所示，质量相等的A 、B 两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的有(
)
图2
A. 线速度v A T B
C. 它们受到的摩擦力F f A >F f B D. 筒壁对它们的弹力F N A >F N B 答案 D
解析 由于两物体角速度相等，而r A >r B ，所以v A ＝r A ω>v B ＝r B ω，A 项错；由于ω相等，则T 相等，B 项错；因竖直方向受力平衡，F f ＝mg ，所以F f A ＝F f B ，C 项错；弹力等于向心力，故F N A ＝mr A ω2>F N B ＝mr B ω2，D 项对.
5.(多选) 如图3所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮P 和Q 靠摩擦传动，两轮的半径R ∶r ＝2∶1. 当主动轮Q 匀速转动时，在Q 轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在Q 轮边缘上，此时Q 轮转动的角速度为ω1，木块的向心加速度为a 1；若改变转速，把小木块放在P 轮边缘也恰能静止，此时Q 轮转动的角速度为ω2，木块的向心加速度为a 2，则(
)
图3
ω2A. ＝ ω22
ω2B. ＝ ω21
a 1a 21答案 AC
a 1D. ＝a 22
解析 根据题述，a 1＝ω2ma 1＝μmg，联立解得μg＝ω2小木块放在P 轮边缘也恰能静止，1r ，1r ，ω2a 1μg＝ω2R ＝2ω2r ，ωR＝ω2r ，联立解得，选项A 正确，B 错误；a 2＝μg＝ω2R ＝ω22a 21选项C 正确，D 错误.
6. 一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，如图4所示，则下列说法正确的是(
)
图4
A. 小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B. gR
C. 小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D. 小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 答案 A
解析 轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v ＝gR 时，杆所受的弹力等于零，A 正确，B 错误；若v
球的弹力竖直向上，mg －F ＝m v 增大，F 减小，若v gR ，则杆在最高点对小球的弹
R v 2
力竖直向下，mg ＋F ＝m v 增大，F 增大，故C 、D 均错误.
R
7. 如图5所示，光滑固定的水平圆盘中心有一个光滑的小孔，用一细绳穿过小孔连接质量分别为m 1、m 2的小球A 和B ，让B 球悬挂，A 球在光滑的圆盘面上绕圆盘中心做匀速圆周运动，角速度为ω，半径为r ，则关于r 和ω关系的图象正确的是(
)
图5
答案 B
m g 11
解析 根据m 2g ＝m 1rω2得：r ＝r 与成正比，与ω2成反比. 故A 错误，B 正
m 1ωω1m 21
确. 因为＝，则ω2成正比. 故C 、D 错误.
r m 2g r
8.(多选)(2015·浙江·19) 如图6所示为赛车场的一个水平“U ”形弯道，转弯处为圆心在O 点的半圆，内外半径分别为r 和2r . 一辆质量为m 的赛车通过AB 线经弯道到达A ′B ′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O ′为圆心的半圆，OO ′＝r . 赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为F max . 选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大) ，则(
)
图6
A. 选择路线①，赛车经过的路程最短 B. 选择路线②，赛车的速率最小 C. 选择路线③，赛车所用时间最短
D. ①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等 答案 ACD
解析 由几何关系可得，路线①、②、③赛车通过的路程分别为：(πr ＋2r ) 、(2πr ＋2r ) 和2πr ，可知路线①的路程最短，选项A 正确；圆周运动时的最大速率对应着最大静摩擦力提供向心v 2
力的情形，即μmg＝，可得最大速率v μgR，则知②和③的速率相等，且大于①的速
R (π＋2)r 2r (π＋1)s
率，选项B 错误；根据t ＝①、②、③所用的时间分别为t 1，t 2＝，
μgrμgrt 3＝
2r π
，其中t 3最小，可知线路③所用时间最短，选项C 正确；在圆弧轨道上，由牛顿第2μgr
二定律可得：μmg＝ma n ，a n ＝μg，可知三条路线上的向心加速度大小均为μg，选项D 正确. 9.(2015·浙江10月选考)2015年9月20日“长征六号”火箭搭载20颗小卫星成功发射. 如图7所示，在多星分离时，小卫星分别在高度不同的三层轨道被依次释放. 假设释放后的小卫星均做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
图7
A.20颗小卫星的轨道半径均相同 B.20颗小卫星的线速度大小均相同 C. 同一圆轨道上的小卫星的周期均相同 D. 不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同 答案 C
v 22π2Mm
解析 三层轨道高度不同，故r 不同，A 错；由G ＝m ＝mω2r ＝m ⎝T r 可知，轨道半r r 径不同，线速度大小、角速度不同，B 、D 错；同一轨道，轨道半径相同，周期相同，C 正确.
10. a 、b 、c 、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星. 其中a 、c 的轨道相交于P ，b 、d 在同一个圆轨道上，b 、c 的轨道在同一平面上. 某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图8所示，下列说法中正确的是(
)
图8
A. a 、c 的加速度大小相等，且大于b 的加速度 B. b 、c 的角速度大小相等，且小于a 的角速度 C. a 、c 的线速度大小相等，且小于d 的线速度 D. a 、c 存在P 点相撞的危险 答案 A
v 2Mm 4π22
解析 由G ＝m ＝mωr ＝m r ＝ma n 可知，选项A 正确，B 、C 错误；因a 、c 的轨道
r r T 半径相同，周期相同，只要图示时刻不撞，以后就不可能相撞了.
11.(2016·诸暨市期末) 月球是地球以外人类亲身到过唯一的自然天体. 假设月球表面重力加速度为g ，月球半径为R ，引力常量为G ，则月球质量表达式为( ) A. M ＝gR 2 gR 2
B. M ＝G
G C. M ＝
gR gR D. M ＝G 答案 B
12. 如图9，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a 、b 到地心O 的距离分别为r 1、r 2，线速度大小分别为v 1、v 2，则(
)
图9
v 1A. 2v 1v 2
2 r 1 r 2
v 1r () 2 v 2r 1v 1r D. () 2 v 2r 2答案 A
Mm
解析 由题意知，两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据G r v 2
m v r
v 1＝r 2
2
，故A 正确，B 、C 、D 错误. r 1
13.(2016·湖州市调研) 在高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍.
(1)如果汽车在这种高速公路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
(2)如果高速公路上设计了圆弧拱形立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱形立交桥的半径至少是多少？(取g ＝10m/s2) 答案 (1)150m (2)90m
解析 (1)汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力由车与路面间的静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大值时，由向心力公式可知这时的半径最小，有F max ＝0.6mg v 2
＝m ，由速度v ＝108km /h＝30 m/s 得，弯道半径r min ＝150m.
r min
(2)汽车过圆弧拱桥，可看做在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，根据向心力公式
v 2v 2有：mg －F N ＝m 为了保证安全通过，车与路面间的弹力F N 必须大于等于零，有mg ≥m R R 则R ≥90m.
14.(2016·诸暨市期末) “水上乐园”中有一巨大的水平转盘，人在其上随盘子一起转动，给游客带来无穷乐趣. 如图10所示，转盘的半径为R ，离水平面的高度为H ，可视为质点的游客的质量为m ，现转盘以角速度ω匀速转动，游客在转盘边缘保持相对静止，不计空气阻力
.
图10
(1)求转盘转动的周期；
(2)求游客受到摩擦力的大小和方向；
(3)若转盘突然停止转动，求游客落水点到转动轴的水平距离.
2π答案 (1)(2)mω2R ，沿半径方向指向圆心O ω
(3)R 1 g
2π解析 (1)转盘转动的周期：T ＝ω
(2)游客受到摩擦力的大小：F f ＝mω2R
游客受到摩擦力的方向沿半径方向指向圆心O .
(3)游客转动时的线速度，即平抛运动的初速度：v ＝ωR
游客落水的时间：t ＝ g
2H g 游客做平抛运动的水平位移：x ＝游客落水点到转动轴的距离：s ＝x ＋R ＝1. g