§11.3 几何概型
2014高考会这样考 1. 以小题形式考查与长度或面积有关的几何概型；2. 和平面几何、函数、向量相结合考查几何概型，题组以中低档为主．
复习备考要这样做 1. 准确理解几何概型的意义，会构造度量区域；2. 把握与古典概型的联系和区别，加强与数学其他知识的综合训练．
1．几何概型
事件A 发生的概率与d 的测度成正比，与d 的形状和位置无关，这样的概率模型称为几何概型．
2．几何概型中，事件A 的概率计算公式为
d 的测度P (A ) ＝.
D 的测度3．几何概型试验的两个基本特点
(1) (2)[难点正本 疑点清源]
1．几何概型的试验中，事件A 的概率P (A ) 只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积) 成正比，而与A 的位置和形状无关．
2．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解． 3．几何概型的两种类型
(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．
(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．
1．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0，1]的概率为________．
1答案
3
|CD |1
解析 如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P ＝.
|AB |3
2．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长
度小于1的概率为________．
2答案
3解析 如图可设l
2
则其概率是3
AB
＝1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，
3．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率是________．
2答案
5
解析 区域D 为区间[－2,3]，d 为区间(1,3]，而两个区间的长度分别为5,2. 故所求概率P 2＝54．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是________．
2答案
5
302
解析 以时间的长短进行度量，故P ＝＝.
755
5．(2012·湖北改编) 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．
2答案 1π
解析 方法一 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图， 连结OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.
π1
在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝×1×1－
42
⎛π11×1⎫＝1， ⎝42⎭所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.
1
又因为S 扇形OAB ＝×π×22＝π，
4所以阴影部分面积为S 3＝π－2.
π－22
所以P ＝＝1－ππ
方法二 连结AB ，由S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC 可求出空白部分面积． 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝
2.
由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC ，
1
所以S 空白＝S △OAB ＝×2×2＝2.
21
又因为S 扇形OAB ＝×π×22＝π，
4所以S 阴影＝π－2.
S 阴影π－22
所以P ＝1－.
ππ
S 扇形OAB
题型一 与长度有关的几何概型
3
例1 在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋m ＋1＝0无实根}中随机地取一元素m ，恰使
4
式子lg m 有意义的概率为________．
思维启迪：通过转化集合A 和lg m 有意义将问题转化成几何概型．
4答案
5
3⎫解析 由Δ＝m 2－44＋1⎭
由lg m 有意义知m >0，即使lg m 有意义的范围是(0,4)， 4－04
故所求概率为P ＝.
4－(－1)5
探究提高 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长) 之比．
在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则
弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．
1答案
2
解析 记事件A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F 为OE 中点) ，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型公式得：
1221P (A ) ＝.
22题型二 与面积有关的几何概型
例2 设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝
0.
(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
思维启迪：(1)为古典概型，利用列举法求概率．
(2)建立a －b 平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型． 解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．
当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .
(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个
93
基本事件，事件A 发生的概率为P (A ) ＝＝.
124(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，
13×222
22
b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为P (A ) ＝＝.
33×2探究提高 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，通用公式：
构成事件A 的区域的测度
P (A ) ＝试验的全部结果所组成的区域的测度
抛掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面
中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标． (1)求点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10内的概率；
(2)若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率．
解 (1)以0、2、4为横、纵坐标的点P 共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C 内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个，
4
∴所求概率为P ＝9
(2)∵区域M 的面积为4，而区域C 的面积为10π，
42
∴所求概率为P ＝＝.
10π5π
题型三 与角度、体积有关的几何概型
例3 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD 3，
在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM
解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°， 在Rt △ABD 中，AD 3，∠B ＝60°，
AD
所以BD ＝＝1，∠BAD ＝30°.
tan 60°
记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM
30°2由几何概型的概率公式，得P (N ) ＝75°5
探究提高 几何概型的关键是“测度”，如本题条件若改成“在线段BC 上找一点M ”， 则相应的测度变成线段的长度．
一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过
程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为________．
1
答案
27
解析 由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何
3101
概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为.
3027
转化与化归思想在概率中的应用
典例：(14分) 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y ) ．
(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．
审题视角 (1)向量a ∥b 转化为x ＝2y ，而x 、y 的值均为有限个，可以直接列出，转化为古典概型问题；(2)和(1)中条件类似，但x 、y 的值有无穷多个，应转化为几何概型问题． 规范解答
解 (1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .
基本事件空间为Ω＝{(－1，－1) ，(－1,0) ，(－1,1) ，(0，－1) ，(0,0)，(0,1)，(1，－1)
，
(1,0)，(1,1)，(2，－1) ，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；[3分] 其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．
211
则P (A ) a ∥b 的概率为[6分]
1266
(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b
⎧⎪－1≤x ≤2⎫⎪⎪⎧
⎬Ω＝⎨(x ，y )⎪⎨
⎪⎪－1≤y ≤1⎪⎩⎭⎩
，
⎧⎫⎧⎪⎪⎪－1≤y ≤1⎪B ＝⎨(x ，y )⎨
⎪⎪2x ＋y
⎭⎩⎪⎩x ≠2y ⎪
－1≤x ≤2
，
[12分]
1⎛13×2μ2⎝221
则P (B ) ＝，
μΩ33×2
1
即向量a ，b . [14分]
3
温馨提醒 (1)对含两个变量控制的概率问题，若两个变量取值有限个，可转化为古典概型；若取值无穷多个，则可转化为几何概型问题．
(2)本题错误的主要原因是不能将问题化归为几何概型问题，找不到问题的切入点．所以要注意体会和应用转化与化归思想在解决几何概型中的作用
.
方法与技巧
1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个． 2．转化思想的应用
对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式． 失误与防范
1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；
2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．
A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)
一、填空题(每小题5分，共35分)
1．(2012·辽宁改编) 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C . 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为________．
2答案
3解析 设AC ＝x ，CB ＝12－x ，
所以x (12－x )8.
4＋42
所以P ＝123
⎧⎪0≤x ≤2，
2．(2012·北京改编) 设不等式组⎨表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个
⎪0≤y ≤2⎩
点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．
4－π答案 4
解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概
4－π率是4
3．点P 在边长为1的正方形ABCD 内部运动，则点P 到顶点A 的距离|P A |
π答案
4解析 由题意可知，点P 到顶点A 的距离|P A |
ππ
圆的四分之一，它对应的面积为44
πx 12
4．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sin 之间的概率为________．
422
5答案
6
ππx π
解析 ∵－1≤x ≤1，∴≤444
1πx 2ππx π由－≤sin ≤≤
242644
21＋352
即－≤x ≤1. 故所求事件的概率为3265．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是
________．
1答案
3
解析 如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任
1
何一条平行线相碰，故所求概率为.
3
p 1
6．设p 在[0,5]上随机地取值，则方程x 2＋px ＋＋0有实根的概率为________．
42
3答案
5
p 1⎫
解析 一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，而Δ＝p 2－4⎛⎝42⎭＝(p ＋1)(p －2) ，解得p ≤－1
[0，5]∩{(－∞，－1]∪[2，＋∞)}的长度3
或p ≥2，故所求概率为P ＝.
5[0，5]的长度7．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x ) ＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为________．
3答案
4
解析 根据函数f (x ) ＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点得4a 2－4(π－b 2) ≥0，即a 2＋b 2≥π，建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD 及其内部，使函数f (x ) 有零点的区域为图中阴影部分，且S 阴影＝4π2－π2＝3π2.
S 阴影3π23
故所求概率为P ＝＝S 正方形4π4二、解答题(共27分)
8．(13分) 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥
1
M －ABCD 的体积小于的概率．
6解 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1. 设M －ABCD 的高为h ， 11则S ABCD ×h
1
又S ABCD ＝1，∴h
2即点M 在正方体的下半部分，
12正方体1
∴所求概率P ＝.
V 正方体2
9．(14分) 已知关于x 的一元二次函数f (x ) ＝ax 2－4bx ＋1.
x ＋y －8≤0⎧⎪
设点(a ，b ) 是区域⎨x >0内的随机点，求函数y ＝f (x ) 在区
⎪⎩y >0间[1，＋∞) 上是增函数
的概率．
2b
解 因为函数f (x ) ＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝f (x ) ＝ax 2－4bx ＋1在区
a
2b
间[1，＋∞) 上为增函数，当且仅当a >01，即2b ≤a .
a 依条件，可知试验的全部结果所构成的区域为 a ＋b －8≤0⎧⎪⎧⎪
⎨(a ，b )⎪⎨a >0
⎩b >0⎪⎪⎩
⎫
⎬. ⎭2b
⎧1⎪a ⎪
构成所求事件的区域为⎨(a ，b )⎪a >0
⎪⎪b >0⎩
⎫⎪
⎬. ⎪⎭
a ＋b －8＝0，⎧⎪168⎫， 由⎨a 得交点坐标为⎛33⎭⎝b ＝，⎪⎩218
8231
所以所求事件的概率为P ＝138×82
B 组 专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x ) ＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为________．
3答案
4解析 要使该函数无零点，只需a 2－4b 20，∴a －2b
作出⎨0≤b ≤1，
⎪⎩a －2b
11
1－×1×223
易得该函数无零点的概率P ＝41×1
2. 如图所示，设M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN 2R 的概率为________．
的可行域，
1
答案
2
解析 如图，在圆上过圆心O 作与OM 垂直的直径CD ，则MD ＝MC ＝2R ，当点N 不
πR 1
在半圆弧CMD 上时，MN >R ，故所求的概率P (A ) ＝2πR 2
3．(2012·陕西改编) 如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的流程图，P 表示估计结果，则
图中空白框内应填入____________．
4M 答案 P ←1 000
解析 ∵x i ，y i 为0～1之间的随机数，构成以1为边长的正方形面，
12
当x 2i ＋y i ≤1时，点(x i ，y i ) 均落在以原点为圆心，以1为半径且在第一象限的圆内，当4
2x 2i ＋y i >1时对应点落在阴影部分中(如图所示) ．
π1－4N
∴有N π＝4M －M π，
M π
4
4M
π(M ＋N ) ＝4M ，π＝1 000
4．在区间[0,1]上随意选择两个实数x ，y x ＋y ≤1成立的概率为________．
π答案
4解析 D 为直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝1x ＋y ≤1，即x 2＋
1
×124
y 2≤1(x ≥0，y ≥0) 知d 为单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆) ，1×
1
π＝4
5．(2011·江西) 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若
11此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；24
否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________． ．
13答案 16
1π×12－π×()223解析 ∵去看电影的概率P 1＝＝， 4π×11π×(241去打篮球的概率P 2 16π×13113∴不在家看书的概率为P ＝41616
6．如图所示，在单位圆O 的某一直径上随机地取一点Q ，则过点
Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率是________．
3答案 1 23解析 弦长不超过1，即|OQ |≥Q 点在直径AB 上是随2
机的，事件A ＝{弦长超过1}． 223由几何概型的概率公式得P (A ) ＝. 22
3∴弦长不超过1的概率为1－P (A ) ＝1－. 2
二、解答题(共28分)
7．(14分) 设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外) ，将线段AB 分成了三条线段，
(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；
(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率． 解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角
1形的概率为P 3
(2)设其中两条线段长度分别为x 、y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为
⎧0
所表示的平面区域为△OAB .
若三条线段x ，y, 6－x －y 能构成三角形，
x ＋y >6－x －y ⎧⎪则还要满足⎨x ＋6－x －y >y ，
⎪⎩y ＋6－x －y >x
x ＋y >3⎧⎪即为⎨y
所表示的平面区域为△DEF ，
S △DEF 1由几何概型知，所求概率为P ＝. S △AOB 4
8．(14分) 已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .
(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；
m ＋n －1≤0⎧⎪(2)实数m ，n 满足条件⎨－1≤m ≤1
⎪⎩－1≤n ≤1
的概率．
解 (1)抽取的全部结果的基本事件有
(－2，－2) ，(－2,3) ，(－1，－2) ，(－1,3) ，(1，－2) ，(1,3)，(2，－2) ，(2,3)，(3，－2) ，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有(1，－
632) ，(1,3)，(2，－2) ，(2,3)，(3，－2) ，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A ) ＝. 105
，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过第一、二、三象限
m ＋n －1≤0⎧⎪(2)m 、n 满足条件⎨－1≤m ≤1
⎪⎩－1≤n ≤1 的区域如图所示．
要使函数的图象过第一、二、三象限，则m >0，n >0，故使函数图象过第一、二、三象
121限的(m ，n ) 的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P ＝. 77
2