初中数学竞赛辅导资料（20）
代数恒等式的证明
内容提要
证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种
1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形
式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边－右边＝0可得左边＝右边。4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，
例题
例1求证：3n+2－2n ＋2＋2×5n+2＋3n －2n ＝10（5n+1+3n －2n-1）
证明：左边＝2×5×5n+1＋（3n+2+3n ）＋（－2n+2－2n ）
＝10×5n+1＋3n (32+1)－2n-1(23＋2)
＝10（5n+1+3n －2n-1）=右边
又证：左边＝2×5n+2＋3n （32＋1）－2n (22+1)
＝2×5n+2＋10×3n －5×2n
右边＝10×5n+1+10×3n －10×2n-1
＝2×5n+2＋10×3n －5×2n
∴左边＝右边
例2己知:a+b+c=0求证：a 3+b3+c3=3abc
证明：∵a 3+b3+c3－3abc ＝（a+b+c）（a 2+b2+c2－ab －ac －bc ）(见19例1)
∵:a+b+c=0
∴a 3+b3+c3－3abc ＝0即a 3+b3+c3=3abc
又证：∵:a+b+c=0∴a=－（b+c）
两边立方a 3=－（b 3+3b2c+3bc2+c3）
移项a 3＋b 3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc
再证：由己知a=－b －c 代入左边, 得
（－b －c ）3+b 3+c3＝－（b 3+3b2c+3bc2+c3）+b3+c3
＝－3bc(b+c)=－3bc(－a) ＝3abc
111=b +=c +,a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=111b -c b -c 证明：由己知a-b=-=∴bc=-11c -a c -a a -b b-c=∴ca=同理ab=-=a c ca b -c c -a a -b b -c c -a ∴ab bc ca ＝＝1即a 2b 2c 2=1---例3己知a+
例4己知:ax2+bx+c是一个完全平方式（a,b,c 是常数）求证：b 2－4ac=0
证明：设:ax2+bx+c＝（mx+n）2，m,n 是常数
那么:ax2+bx+c＝m 2x 2+2mnx+n2
⎧a =m 2
⎪根据恒等式的性质得⎨b =2mn ⎪2⎩c =n ∴:b 2－4ac ＝（2mn ）2－4m 2n 2=0
练习20
1．求证：①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab ②（x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2) 2③(x-2y)x3－(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3④3n+2+5n+2―3n ―5n =24(5n +3n-1) ⑤a 5n +an +1=(a3n －a 2n +1)(a2n +an +1)
2. 己知：a 2+b2=2ab
3. 己知：a+b+c=0
求证：①a 3+a2c+b2c+b3=abc
4. 己知：a 2=a+1
5. 己知：x ＋y －z=0
6. 己知：a 2+b 2+c2=ab+ac+bc
7. 己知：a ∶b=b∶c
8. 己知：abc ≠0，ab+bc=2ac9．己知：②a 4+b4+c4=2a2b 2+2b2c 2+2c2a 2求证：a=b求证：a 5=5a+3求证：x 3+8y3=z3－6xyz 求证：a=b=c求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)求证：x y z ==---1111-=-a b b c 求证：x+y+z=0
10. 求证：（2x －3）（2x+1）(x2－1) ＋1是一个完全平方式11己知：ax 3+bx2+cx+d能被x 2+p整除求证：ad=bc