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这说明λ为S 的上确界. ﹡§2 上极限和下极限 171
同理可证：若S 为非空有下界数集，则必存在下确界.
习 题
1. 证明数集⎨1n ⎧(-1)+⎫⎬有且只有两个聚点ξ1=-1和ξ2=1. n ⎩⎭
2. 证明：任何有限数集都没有聚点.
3. 设{(a , b )}是一个严格开区间套，即满足 n n
且lim a 1
a n
4. 试举例说明：在有理数集上，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立.
5. 设H ⎧⎛11⎫⎫=⎨ , ⎪n =1,2, ⎬. 问
⎩⎝n +2n ⎭⎭
1⎫⎛1⎫，（ii ）,1⎪? ⎪ 2⎭⎝100⎭ (1)H能否覆盖（0,1）? (2)能否从H 中选出有限个开区间覆盖（i ） 0, ⎛
⎝
6. 证明：闭区间
7. 设[a , b ]的全体聚点的集合是[a , b ]本身. {x n }为单调数列. 证明:若{x n }存在聚点，则必是唯一的，且为{x n }的确界。
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8. 使用有限覆盖定理证明聚点定理.
9. 使用聚点定理证明柯西收敛准则.
10. 用有限覆盖定理证明根的存在定理.
11. 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理.
﹡ §2 上极限和下极限
定义1 若在数a 的任一领域内含有数列{x n }的无限多个项，则称a 为{x n }的一个聚点①.
和1五个聚点；例如，数列⎨n ⎫n ⎧⎧n π⎫-1, -有聚点-1与1；数列有-1+sin ()⎬⎨⎬22n +1⎭4⎭
⎩⎩
数列⎨⎧1⎫⎬只有一个聚点0；常数列{1,1, ⎩n ⎭
___________________________ ,1, }只有一个聚点1.
[键入文字] ﹡§2 上极限和下极限 171 ① 本结中同前面一样，不区分实数与数轴上的点，因此点列的聚点等同于数列的聚点. 数列或点列的聚点也称为极限点.