1．分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a ＝a (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a
m n
m n
＝
1a a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分
数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r s ，(a r ) s ＝a rs ，(ab ) r ＝a r r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .
＋
2．指数函数的图象与性质
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)a ＝(a ) n ＝a .( × )
m
(2)分数指数幂a 可以理解为个a 相乘．( × )
n (3)(－1) ＝(－1) ＝－1.( × ) (4)函数y ＝a x 是R 上的增函数．( × )
－
m n
2412
(5)函数y ＝a
x 2＋1
－1
(a >1)的值域是(0，＋∞) ．( × )
(6)函数y ＝2x
是指数函数．( ×
)
1．若a ＝(23) 1，b ＝(2－3) 1，则(a ＋1) 2＋(b ＋1)
－
－
－
－2
的值是( )
12
A ．1B. 423答案 D
解析 ∵a ＝(23) 1＝2－3，b ＝(23) 1＝2＋3，
－
－
∴(a ＋1) 2＋(b ＋1) 2＝(3－3) 2＋(3＋3) 2
－
－
－
－
＝
112
.
12－312＋33
1
2．函数f (x ) ＝a x －(a >0，
a ≠1) 的图象可能是( )
a
答案 D
解析 函数f (x ) 的图象恒过(－1,0) 点，只有图象D 适合． 3．(教材改编) 已知0.2m ”或“
解析 设f (x ) ＝0.2x ，f (x ) 为减函数， 由已知f (m )n .
4．若函数y ＝(a 2－1) x 在(－∞，＋∞) 上为减函数，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (－，－1) ∪(12)
解析 由y ＝(a 2－1) x 在(－∞，＋∞) 上为减函数，得0
5．函数y ＝8－23x (x ≥0) 的值域是________．
－
答案 [0,8)
解析 ∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴0
－
－
∴函数y ＝8－23x 的值域为[0,8)．
－
题型一 指数幂的运算
例1 化简：(1)
a 3b 2ab 14
12
4
-1
3
(a b )a
2
1
b
1
3
(a >0，b >0)；
(2)(－27) -3＋(0.002)-2－2) －1＋0.
8
+
-1+1+-2-(a b a b )－26333
解 (1)原式＝＝a b ＝ab 1. 11
32
1
32312
31111
ab a
2
-
3
b 3
-1
2-271⎫2
(2)原式＝(－) 3＋⎛1 ⎪8500⎝⎭
2
1⎫2
＝(－8) 3＋⎛＋1 ⎪2)
27⎝500⎭
1
4167＝＋10－
10－20＋1＝－99
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
(1)[(0.064)
1
－
1
5
－2.5
]－
23
3
3－π0＝_______________________________. 8
(4ab )31-2
1________. 4
－－
(0.1)1·(a 3·b 3)28
答案 (1)0 5
1⎧⎪⎡64⎫5解析 (1)原式＝⎨⎢⎛1000⎪⎝⎭⎩⎣
⎤
⎥⎦
-
52
11521
⎫2(-) ⨯⎪274353
⎬3－⎛3－1＝⎡⎛3⎤523－⎡3⎤3－1＝－－1＝0.
⎝8⎣⎝10⎦⎣2⎦22⎪⎭
2×4×a b
(2)原式＝33
10a b
2
-2
3
232
-
32
8. 5
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)函数f (x ) ＝a x 正确的是( ) A ．a >1，b 1，b >0 C ．00 D ．0
(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 答案 (1)D (2)[－1,1] 解析 (1)由f (x ) ＝a x 函数f (x ) ＝a x
－b
－b －b
的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论
的图象可以观察出，函数f (x ) ＝a x
－b
在定义域上单调递减，所以0
的图象是在f (x ) ＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b
(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．
思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象
入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(1)如图，面积为8的平行四边形OABC ，对角线AC ⊥CO ，
AC 与BO 交于点E . 某指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1) 经过点E ，B ，则a 等于( ) A. 2 C ．2
3 D ．3
(2)已知函数f (x ) ＝|2x －1|，a f (c )>f (b ) ，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a
－
B ．a 0 D ．2a ＋2c
答案 (1)A (2)D
解析 (1)设点E (t ，a t ) ，则点B 坐标为(2t, 2a t ) ．因为2a t ＝a 2t ，所以a t ＝2. 因为平行四边形OABC 的面积＝OC ×AC ＝a t ×2t ＝4t ，又平行四边形OABC 的面积为8，所以4t ＝8，t ＝2，所以a 2＝2，a ＝2. 故选A.
(2)作出函数f (x ) ＝|2x －1|的图象，如图， ∵a f (c )>f (b ) ，结合图象知 00， ∴0
∴f (a ) ＝|2a －1|＝1－2a
∴1f (c ) ，∴1－2a >2c －1， ∴2a ＋2c
题型三 指数函数的图象和性质
命题点1 比较指数式的大小
例3 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73B ．0.61>0.62
－
C ．0.8
－0.1
>1.250.2D ．1.70.3
2
3
35
⎛25，c ＝⎛25，则a ，b ，c 的大小关系是________． (2)设a ＝⎛，b ＝⎝5⎝5⎝5答案 (1)B (2)a >c >b
解析 (1)A中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数， 2．5
B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－10.62，正确；
－
2
C 中，∵(0.8)1＝1.25，
－
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1
－0.1
D 中，∵1.70.3>1,00.93.1，错误．故选B. 2⎫x
(2)∵y ＝⎛⎝5⎭为减函数， 25⎛25∴⎛⎝5
3
2
⎛352
3a ⎝55>⎛3⎫0＝1， 又＝
c 222⎝2⎭⎛5⎝52
∴a >c ，故a >c >b .
命题点2 解简单的指数方程或不等式
1⎫x ⎧⎪⎛－7，x
1⎫a
⎛1⎫a －3，此时－3
命题点3 和指数函数有关的复合函数的性质
例5 设函数f (x ) ＝ka x －a x (a >0且a ≠1) 是定义域为R 的奇函数．
－
B ．(1，＋∞)
D ．(－∞，－3) ∪(1，＋∞)
(1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x ) ＋f (x －4)>0的解集；
3－
(2)若f (1)g (x ) ＝a 2x ＋a 2x －4f (x ) ，求g (x ) 在[1，＋∞) 上的最小值．
2解 因为f (x ) 是定义域为R 的奇函数，
所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1，f (x ) ＝a x －a x .
－
1
(1)因为f (1)>0，所以a －>0，
a 又a >0且a ≠1，所以a >1.
因为f ′(x ) ＝a x ln a ＋a x ln a ＝(a x ＋a x )ln a >0，
－
－
所以f (x ) 在R 上为增函数，原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x ) ， 所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0， 所以x >1或x
所以不等式的解集为{x |x >1或x
(2)因为f (1)＝a －＝，
2a 2
1
即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－(舍去) ．
2所以g (x ) ＝22x ＋2
－
－2x
－4(2x －2x )
－
－
＝(2x －2x ) 2－4(2x －2x ) ＋2.
3－
令t (x ) ＝2x －2x (x ≥1) ，则t (x ) 在(1，＋∞) 为增函数(由(1)可知) ，即t (x ) ≥t (1)＝，
2所以原函数为ω(t ) ＝t 2－4t ＋2＝(t －2) 2－2，
所以当t ＝2时，ω(t ) min ＝－2，此时x ＝log 2(12) ．
即g (x ) 在x ＝log 2(12) 时取得最小值－2. 思维升华 指数函数的性质及应用问题解题策略
(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1) 法．
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性) 相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．
(1)已知函数f (x ) ＝2|2x
的取值范围是________．
(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，a ≠1) 在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为( ) 1A. 3C ．3
答案 (1)(－∞，4] (2)D
m m
解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[∞) 上单调递增，在区间(－∞上单调
22递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x ) ＝2|2x 即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]． (2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1) 2－2.
1
当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈a ]，
a 1⎤
又函数y ＝(t ＋1) 2－2在⎡⎣a ，a ⎦上单调递增， 所以y max ＝(a ＋1) 2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去) ． 1当0
a 1
又函数y ＝(t ＋1) 2－2在[a ，]上单调递增，
a 11
则y max ＝＋1) 2－2＝14，解得a ＝(负值舍去) ．
a 31
综上知a ＝3或a ＝.
3
4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用
－m |
－m |
(m 为常数) ，若f (x ) 在区间[2，＋∞) 上是增函数，则m
B ．1 1或3 3
m
在[2，＋∞) 上单调递增，则有≤2，
2
1x ⎛1⎫x
典例 (1)函数y ＝⎛⎝4－⎝2⎭＋1在区间[－3,2]上的值域是________．
1－x 2＋2x ＋1(2)函数f (x ) ＝⎛的单调减区间为________________________________． ⎝21⎫x 思维点拨 (1)求函数值域，可利用换元法，设t ＝⎛⎝2⎭，将原函数的值域转化为关于t 的二次函数的值域．
(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求． 解析 (1)因为x ∈[－3,2]， 1⎫x
⎡1，8⎤， 所以若令t ＝⎛，则t ∈⎝2⎭⎣4⎦13
t －2＋故y ＝t 2－t ＋1＝⎛⎝24
13
当t ＝时，y min ＝；当t ＝8时，y max ＝57.
243
，57⎤. 故所求函数值域为⎡⎣4⎦(2)设u ＝－x 2＋2x ＋1， 1u
∵y ＝⎛⎝2在R 上为减函数，
1－x 2＋2x ＋1∴函数f (x ) ＝⎛的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间． ⎝2又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x ) 的减区间为(－∞，1]． 3
，57⎤ (2)(－∞，1] 答案 (1)⎡⎣4⎦
温馨提醒 (1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．
[方法与技巧]
1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值，再进行比较． 2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1) 的性质和a 的取值有关，一定要分清a >1与0
1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来．
2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．
3．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0) 形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．
A 组 专项基础训练
(时间：35分钟)
1．函数f (x ) ＝2|x －
1|的图象是(
)
答案 B
解析 ∵|x －1|≥0，∴f (x ) ≥1，排除C 、D. 又x ＝1时，|f (x )|min ＝1，排除A. 故选项B 正确． 2．函数f (x ) ＝a x －
2＋1(a >0且a ≠1) 的图象必经过点( )
A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0) D ．(2,2)
答案 D
解析 ∵a 0＝1，∴f (2)＝2，故f (x ) 的图象必过点(2,2)．
3．已知a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝1
2) 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a >c >b B ．c >a >b C ．b >a >c D ．a >b >c
答案 D
解析 a >20＝1，b ＝1，c
2
) 0＝1，∴a >b >c .
4．若函数f (x ) ＝a |2x －
4|(a >0，a ≠1) ，满足f (1)＝19f (x ) 的单调递减区间是(A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2] )
答案 B
11
解析 由f (1)＝a 2＝，
99
111－
所以a ＝或a ＝－(舍去) ，即f (x ) ＝() |2x 4|.
333
由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞) 上递增， 所以f (x ) 在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞) 上递减．故选B.
5．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1) 有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞) 答案 D
解析 方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1) 有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点． 1
①当0
2
B ．(0,1) 10， D. ⎛⎝2
②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．
1
综上，0
2
3-17013
6
．计算：() ⨯(-) ＋84________.
26答案 2
2⎛2⎫3＝2. 44
解析 原式＝⎛×1＋2×2－⎝3⎝3⎭
7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x ) ＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n ) ，则m 、n 的大小关系为________． 答案 m >n
解析 ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍) ． 函数f (x ) ＝3x 在R 上递增，由f (m )>f (n ) ，得m >n .
3
1
1
⎧⎪f (x )，x ≥0，18．已知函数f (x ) ＝2，函数g (x ) ＝⎨则函数g (x ) 的最小值是________． 2⎪f (－x )，x
答案 0
1解析 当x ≥0时，g (x ) ＝f (x ) ＝2x －为单调增函数，所以g (x ) ≥g (0)＝0；当x g (0)＝0，所以函数g (x ) 的最小值是0. 2
1⎫ax 2－4x ＋39．已知函数f (x ) ＝⎛. ⎝3⎭
(1)若a ＝－1，求f (x ) 的单调区间；
(2)若f (x ) 有最大值3，求a 的值．
1－x 2－4x ＋3解 (1)当a ＝－1时，f (x ) ＝⎛， ⎝3令g (x ) ＝－x 2－4x ＋3，
1⎫t 由于g (x ) 在(－∞，－2) 上单调递增，在(－2，＋∞) 上单调递减，而y ＝⎛ ⎝3⎭在R 上单调递减，
所以f (x ) 在(－∞，－2) 上单调递减，在(－2，＋∞) 上单调递增，即函数f (x ) 的单调递增区间是(－2，＋∞) ，
单调递减区间是(－∞，－2) ．
1⎫g (x ) (2)令g (x ) ＝ax 2－4x ＋3，f (x ) ＝⎛⎝3⎭，
由于f (x ) 有最大值3，所以g (x ) 应有最小值－1，
a >0，⎧⎪因此必有⎨3a －4解得a ＝1， 1，⎪⎩a
即当f (x ) 有最大值3时，a 的值为1.
10．已知函数f (x ) ＝e x －e x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数) ． －
(1)判断函数f (x ) 的单调性与奇偶性；
(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t ) ＋f (x 2－t 2) ≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．
1x 解 (1)∵f (x ) ＝e x －⎛⎝e ，
1x ∴f ′(x ) ＝e x ＋⎛⎝e ，
∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，
∴f (x ) 在R 上是增函数．
∴f (x ) 的定义域为R ，且f (－x ) ＝e x －e x ＝－f (x ) ， －
∴f (x ) 是奇函数．
(2)存在．由(1)知f (x ) 在R 上是增函数和奇函数，
则f (x －t ) ＋f (x 2－t 2) ≥0对一切x ∈R 都成立，
⇔f (x 2－t 2) ≥f (t －x ) 对一切x ∈R 都成立，
⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，
11x ＋2－x ∈R 都成立， ⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎛⎝24
111t ＋2≤0， ⇔t 2＋t ≤(x 2＋x ) min ＝－⇔t 2＋t ＋＝⎛44⎝2111t ＋⎫2≥0，∴⎛t ＋⎫2＝0，∴t ＝－. 又⎛⎝2⎭⎝2⎭2
1∴存在t ＝－f (x －t ) ＋f (x 2－t 2) ≥0对一切x ∈R 都成立． 2
B 组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．函数f (x ) ＝a |x 1|(a >0，a ≠1) 的值域为[1，＋∞) ，则f (－4) 与f (1)的关系是( ) ＋
A ．f (－4)>f (1)
C ．f (－4)
答案 A B ．f (－4) ＝f (1) D ．不能确定
解析 由题意知a >1，∴f (－4) ＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)．
1⎫a 1b 12．已知实数a ，b 满足等式⎛⎝2⎭＝3，下列五个关系式：①0④b
A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个
答案 B
1x ⎛1x 的图象如图所示．由⎛1a ＝⎛1⎫b 得a 解析 函数y 1＝⎛与y ＝2⎝2⎝3⎝2⎝3⎭
0.
故①②⑤可能成立，③④不可能成立．
3⎫x 2＋3a 13．关于x 的方程⎛⎝2⎭＝5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________．
23－， 答案 ⎛⎝34
3x 解析 由题意，得x
2＋3a 23从而0
14．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x
1⎫x 解析 原不等式变形为m 2－m
1x 因为函数y ＝⎛⎝2在(－∞，－1]上是减函数，
1x ⎛1－1所以⎛⎝2≥⎝2＝2，
1⎫x 2当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m
2x
15．已知定义在实数集R 上的奇函数f (x ) 有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x ) ＝4＋1
(1)求函数f (x ) 在(－1,1) 上的解析式；
(2)判断f (x ) 在(0,1)上的单调性；
(3)当λ取何值时，方程f (x ) ＝λ在(－1,1) 上有实数解？
解 (1)∵f (x ) 是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)＝0.
设x ∈(－1,0) ，则－x ∈(0,1)，
2x
f (－x ) ＝－＝＝－f (x ) ， 4＋14＋12－x
2x
∴f (x ) ＝－∴f (x ) ＝4＋1⎧x ＝0，⎨0，
2⎩4＋1，x ∈(0，1). x
221
22x －x ∈(－1，0)，4＋1 (2)设0
2x 120＝，1
∴f (x 1) －f (x 2)>0，∴f (x ) 在(0,1)上为减函数．
(3)∵f (x ) 在(0,1)上为减函数，
212120
∴f (x )
12－. 同理，f (x ) 在(－1,0) 上时，f (x ) ∈⎛5⎝2
1221－，－∪⎛， 又f (0)＝0，当λ∈⎛5⎝52⎝2
或λ＝0时，方程f (x ) ＝λ在x ∈(－1,1) 上有实数解.