量子力学总结习题考卷及答案

第一章⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述 1：对于一定频率ν 的辐射，物体只能以 hν 为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述 2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε =h ν 。 表述 3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε 的整数倍来实现，即ε ，2ε ，3ε ，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值 v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关， 与光的强度无关。 光的强度只决定光电子数目的多少。 ⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量 E= hν 的微粒形式出现， 而且以这种形式在空 间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为 E= hν 的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部 分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率 v0：由上式明显看出，当 hν - W0 ≤0 时，即ν ≤ν 子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率： 上式表明光电子的能量只与光的频率ν 有关， 而与 光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的 X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来 X 光的波长λ 外，增加了一个新的波长为λ '的 X 光，且λ ' >λ ； ②波长增量Δ λ =λ -λ 随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数 h 在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性0= W0 / h 时，电⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。  E  h     h    P  n  k    h  2    2 , k   n ⒚光谱线：光经过一系列光学透镜及棱镜后，会在底片上留下若干条线，每个线条就是一条 光谱线。所有光谱线的总和称为光谱。 ⒛线状光谱：原子光谱是由一条条断续的光谱线构成的。 21.标识线状光谱：对于确定的原子，在各种激发条件下得到的光谱总是完全一样的，也就 是说，可以表征原子特征的线状光谱。 22.戴维逊-革末实验证明了什么？第二章⒈量子力学中，原子的轨道半径的含义。 ⒉波函数的物理意义：某时刻 t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻 t 该地点(x,y,z) 附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。 按照这种解释， 描写 粒子的波是几率波。 ⒊波函数的特性：波函数乘上一个常数后，并不改变在空间各点找到粒子的几率，即不改变 波函数所描写的状态。 ⒋波函数的归一化条件  ( x, y, z , t ) d  12(2.1 - 7)⒌态叠加原理：若体系具有一系列不同的可能状态Ψ 1，Ψ 2，…Ψ n，则这些可能状态的任 意线性组合，也一定是该体系的一个可能的状态。也可以说，当体系处于态Ψ 时，体系部分 地处于态Ψ 1，Ψ 2，…Ψ n 中。 ⒍波函数的标准条件：单值性，有限性和连续性，波函数归一化。 ⒎定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定态波函数：描述定态的波函数 称为定态波函数。 。 ⒐定态的性质： ⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。 ⑵粒子几率流密度不随时间 改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变。 ⒑本征方程、本征值和本征波函数：在量子力学中，若一个算符作用在一个波函数上，等于 一个常数乘以该波函数， 则称此方程为该算符的本征方程。 常数 fn 为该算符的第 n 个本征值。 波函数ψ n 为 fn 相应的本征波函数。⒒束缚态：在无穷远处为零的波函数所描述的状态。基态：体系能量最低的态。 ⒓宇称：在一维问题中，凡波函数ψ (x)为 x 的偶函数的态称为偶(正)宇称态；凡波函数ψ (x) 为 x 的奇函数的态称为奇(负)宇称态。 ⒔在一维空间内运动的粒子的势能为(μ ω 2x2)/2， ω 是常数，这种粒子构成的体系称为线 性谐振子。 线性谐振子的能级为： En  (n  1 ), 2n  0,1,2,3,  ⒕透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比。反射系数：反射波几率流密度与 入射波几率流密度之比。 ⒖隧道效应：粒子在能量 E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。 ⒗求证：在薛定谔方程中 2  i   (r, t )    2  V (r)  (r, t ) t 2  只有当势能 V(r)为实函数时，连续性方程  w(r, t )    J  0 才能成立。t⒘设一个质量为μ 的粒子束缚在势场中作一维运动，其能量本征值和本征波函数分别为 En, ψ n，n=1，2，3，4、…。求证： ，  m( x) n( x)dx  0mn⒙对一维运动的粒子，设 Ψ1(x)和 Ψ2(x)均为定态薛定谔方程的具有相同能量 E 的解，求证：1( x) 2( x)  2( x)1( x)  常 数  ⒚一粒子在一维势场 xa , 2  U ( x)  0，  a  x  a 2 2  , xa  2 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 ⒛体系处于ψ (x,t)态，几率密度ρ (x,t)=？几率流密度 j(x,t)=？ 证 明 ：   J t x21．设粒子波函数为ψ (r,t),写出粒子几率守恒的微分表达式。 22．量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别？ 答: 量子力学的波函数是一种概率波，没有直接可测的物理意义，它的模方表示概率，才有 可测的意义；经典的波场代表一种物理场，有直接可测的物理意义。23．什么是量子力学中的定态？它有什么特征？ 24．设 C( p, t ) 为归一化的动量表象下的波函数，写出 C( p, t ) dp 的物理意义。 25．设质量为μ 粒子处于如下势垒中U  U ( x)   0 0  x  x0 x  x0 (1)2若 U0>0，E>0，求在 x=x0 处的反射系数和透射系数。 26．设质量为μ 粒子沿 x 轴正方向射向如下势垒 V U ( x)   0 0  x  x0 x  x0若 V0>0，E>0，求在 x=x0 处的反射系数和透射系数。 27．一个粒子的波函数为 x A a ,  (b  x)   ( x)   A , (b  a)  0,   0  x  a, a  x  b, 其他， A, a, b都 是 常 数 。求：①归一化常数 A；②画出 (x) 与 x 关系图，并求粒子出现最大几率的点。③在 0  x  a 区间找到粒子的几率。在 b  a 和 b  2a 时的几率。④ x 的平均值。ˆ ˆ 28． A2  I ， I 为单位矩阵，则算符 A 的本征值为__________。29．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。 30．力学量算符应满足的两个性质是 。厄密算符的本征函数具有 。第三章⒈算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号， 量子力学中的算符是作用在波函数 上的运算符号。ˆ ˆ ˆ ˆ  ⒉厄密算符的定义： 如果算符 F 满足下列等式  F dx   F  dx ， 则称 F 为厄密算符。 式中ψ 和φ 为任意波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。 推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。 ⒊厄密算符的性质： 厄密算符的本征值必是实数。 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函 数相互正交。 ⒋简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。 ⒌氢原子的电离态：氢原子中的电子脱离原子的束缚，成为自由电子的状态。 电离能：电离态与基态能量之差 ⒍氢原子中在半径 r 到 r+dr 的球壳内找到电子的概率是： Wnl (r)dr  R2 (r)r 2dr　nl在方向(θ，φ)附近立体角 dΩ 内的概率是： wlm( , )dΩ  Ylm( , ) dΩ　 ⒎两函数 ψ1 和 ψ2 正交的条件是：1  2dτ  0 式中积分是对变量变化的全部区域进行的，2则称函数 ψ1 和 ψ2 相互正交。 ⒏正交归一系：满足正交条件的归一化本征函数φ k 或φ l。ˆ ⒐厄密算符本征波函数的完全性：如果φ n(r)是厄密算符 F 的正交归一本征波函数，λn 是本征值，则任一波函数ψ (r)可以按φ n(r)展开为级数的性质。或者说φ n(r)组成完全系。ˆ ⒑算符与力学量的关系：当体系处于算符 F 的本征态φ 时，力学量 F 有确定值，这个值就是 ˆ 算符 F 在φ 态中的本征值。力学量在一般的状态中没有确定的数值，而有一系列的可能值，这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值。每个可能值都以确定的几率出现。ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ⒒算符对易关系： A,B  AB  BA。ˆ ˆ ˆ ˆ 可对易算符：如果 A,B  0 ，则称算符 A 与 B 是可对易的； ˆ ˆ ˆ ˆ 不对易算符：如果 A ,B  0 ，则称算符 A 与 B 是不对易的。⒓两力学量同时有确定值的条件：ˆ ˆ 定理 1：如果两个算符 F 和 G 有一组共同本征函数φ n，而且φ n 组成完全系，则算符对易。ˆ ˆ 定理 2：如果两个算符 F 和 G 对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。⒔测不准关系：当两个算符不对易时，它们不能同时有确定值，2  (F) 2  (G )2  k 4⒕量子力学中力学量运动守恒定律形式是：ˆ ˆ d F  F  1 F , H   0  dt t i   量子力学中的能量守恒定律形式是：ˆ ˆ ˆ dH  1 H , H   0  dt i   ⒖空间反演：把一个波函数的所有坐标自变量改变符号(如 r→－r)的运算。 宇称算符：表示空间反演运算的算符。 宇称守恒：体系状态的宇称不随时间改变。 ⒗一维谐振子处在基态 ( x)  (1) 势能的平均值 U (2) 动能的平均值 T  e 2 x2 i  t 2 2，求：1  2 x 2 ； 2p2 ； 2(3) 动量的几率分布函数。0x 2ne 2 2xdx (2n  1)!  2n 1  2 n 1⒘证明下列关系式：，p   i ˆ      , ˆ ˆ  ˆ Lx , Ly   iLz    ˆ ˆ  ˆ Ly , Lz   iLx     ˆ ˆ  ˆ Lz , Lx   iLy    ˆ2  L , L   0,   (  x, y, z)ˆ ˆ L ，L   0， (  x, y, z)     ˆ ˆ ˆ 综 合 写 成 ： L  L  iLˆ L    0, (  x, y, z)  ,    ˆ ˆ L , z  ix; 　 　 　　, y  ix  y  Lz     ˆ ˆ L p   0,  ,     (  x, y, z)ˆ ˆ L , y iz; L , x  iz  x   y      ˆ ˆ L , x  iy; 　 　 　　 , z  iy　  z  Lx     ˆ ˆ L , p   ip ; ˆ z  x y   ˆ ˆ L , p   ip ˆ z  y x  ˆ ˆ ˆ ˆ L , p   ip ; 　 　 　　, p   ip ˆ ˆ x x  y z Lz y     ˆ ˆ ˆ ˆ L , p   ip ; 　 　 　　 , p   ip 　 ˆ ˆ y y  z x Lx z     ⒙量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么 形式？ ⒚表示力学量的厄密算符的所有本征函数构成 有 。 ； 力学量的取值范围就是该算符的所⒛厄密算符有什么性质？①试证明厄密算符的本征值必是实数。 ②试证明厄密算符的属于不 同本征值的两个本征函数相互正交。 21. 证明算符关系： x, p2 f ( x)  2ip f ( x), ˆ ˆ x x     x, p f ( x) p   i f ( x) p  p f ( x), ˆ ˆ ˆ ˆ   x x x x     ˆ ˆ ˆ ˆ p  L  L  p  2ipˆ ˆ ˆ 22. 试证明算符 Lx  ypz  zp y 是厄密算符。ˆ ˆ 23. 写出角动量分量 Lx 和 Ly 之间的对易关系。ˆ 24. f (x) 是 x 的可微函数，证明：  px, f ( x)  i f ( x)   x  ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 25. A, B 各为厄密算符，试证明： AB 也是厄密算符的条件是 A与B 对易。26. 粒子在宽度为 a 的非对称一维无限深势阱中，其本征能量和本征波函数为：2 2 En    2 n2, n  1,2,3,   2an  n( x)  2 s i n ( x) (0  x  a) a a当体系处于状态  ( x)  Ax(a  x) 时（A 是归一化常数） ，证明：  4 2 ①  16   ；②  14   96 960 n n1,3,5 1,3,5, n27. 氢原子处在基态 (r, ,  )  1 e a0 ，求：a0r(1) r 的平均值； (2) 势能  e 的平均值r2(3) 动量的几率分布函数。 28. 一维运动粒子的状态是 ( x)    A x  x e 0  x0 x  0 其中  0求： （1） 粒子动量的几率分布函数； （2）粒子的平均动量。 （利用公式 0 xmexdx  m! 1 ）  m29. 设氢原子处在状态 (r, ,  ) 5 3R21(r )Y10( ,  )  1 R31(r )Y11( ,  )  3 R21(r )Y11( ,  ) 23试求氢原子能量、角动量平方及角动量 z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力 学量的平均值。 30. 量子力学中，体系的任意态  (x) 可用一组力学量完全集的共同本征态  n(x) 展开： ( x)   cn n( x) ，写出展开式系数 cn 的表达式。n31. 设粒子的波函数为 b 2  2 sinbx, x  b  （x）  0 ， x  2  b A．给出在该态中粒子动量的可能测量值及相应的几率振幅； B．求出几率最大的动量值。 32. 力学量算符在自身表象中的表示是一个 中的表示通过一个ˆ  33. 设一力学量为 F    矩阵；同一个力学量算符在不同表象矩阵相联系。 ˆ  ，求 F 的本征值和本征函数。   ˆ2 ˆ ˆ 34. 电 子 在 均 匀 电 场 E   , 0, 0 中 运 动 ， 哈 密 顿 量 为 H  P  e x ， 试 判 断 2ˆ ˆ ˆ Lx , Ly , Lz 各量中哪些是守恒量，为什么？第四章⒈基底： e1, e2, e3 为线性无关的三个向量， 设 空间内任何向量 v 必是 e1, e2, e3 的线性组合， 则 e1, e2, e3 称为空间的基底。正交规范基底：若基底的向量互相垂直，且每一向量的长度 等于 1，这样的基底叫做正交规范基底。 ⒉希耳伯特空间：如果把本征波函数Φ m 看成类似于几何学中的一个矢量(这就是波函数有 时称为态矢量或态矢的原因)，则波函数的集合｛φ m｝构成的一个线性空间。 ⒊表象：量子力学中，态和力学量的具体表示方式。ˆ ˆ ˆ ˆ ⒋设已知在 L2 和 Lz 的共同表象中，算符 Lx 和 Ly 的矩阵分别为0  2 ˆ Lx  1 2  0 1 0 10 i 0   2 ˆ 1 ； Ly  i 0 2   0 i 0  0  i 0 求它们的本征值和归一化的本征函数。第五章(0) (0) ⒈ 微扰论：由En 求出En，由 n 求出 n的近似求解方法。⒉斯塔克效应：在外电场中，原子光谱产生分裂的现象。 ⒊分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 ⒋周期微扰产生跃迁的条件是：   mk 或  m   k   ，说明只有当外界微扰含有频率  mk 时，体系才能从  k 态跃迁到  m 态，这时体系吸收或发射的能量是 mk ， 这表明周期微扰产生的跃迁是一个共振跃迁。 ⒌光的吸收现象： 在光的照射下， 原子可能吸收光的能量由较低的能级跃迁到较高的能级的 现象。 ⒍原子的受激辐射(跃迁)现象：在光的照射下，原子从较高的能级跃迁到较低的能级而放出 光的现象。 ⒎原子的自发辐射(跃迁)现象：在无光照射时，处于激发态的原子跃迁到较低能级而发光的 现象。 ⒏自发发射系数 Amk ：表示原子在单位时间内，由 εm 能级自发跃迁到 ε k 能级，并发射出 能量为 mk 的光子的几率。 ⒐ 受 激 发 射 系 数 Bmk ： 作 用 于 原 子 的 光 波 在    d 频 率 范 围 内 的 能 量 密 度 是I ( )d ，则在单位时间内，原子由 εm 能级受激跃迁到能级 ε k 、并发射出能量为 mk 的光子的几率是 Bmk I (mk ) 。 ⒑吸收系数 Bkm ：原子由低能级 ε k 跃迁到高能级 εm 、并吸收能量为 mk 的光子的几率是Bkm I(mk ) 。⒒给出跃迁的黄金规则公式，简单说明式中各个因子的含义。 ⒓在 H0 表象中，若哈密顿算符的矩阵形式为： E0 0  1 ˆ 0 H   0 E2   a b  a  b 0 E3  0 0 其中 E10  E2  E3 。利用微扰理论求能量至二级近似。⒔设一体系未受微扰作用时只有两个能级 E01 及 E02，现在受到微扰的作用。微扰矩阵元为H12  H 21  a, H11  H 22  b ; a, b 都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。    ⒕质量为μ 的粒子处于势能0, 0 xa  V（x）  ， 其 他 ˆ 中。假设它又经受微扰 H   x2 ，试求基态与第一激发态能量的一级修正。⒖一粒子在 (0,2a) 的一维无限深势阱中运动，若微扰为  b, ˆ H    b,  0 xa a  x  2a求近似到一级修正的粒子能量。) ⒗一维无限深势阱中的粒子受到微扰 H ( x)  kx(k为 常 数 的作用，求能量的一级修正。ˆ ˆ ⒘已知在 H 0 表象中，体系的哈密顿 H 为 E (0)  1 ˆ H  0  0  0( E20)00  a   0   0  ( E30)   a  0 0 0a  0 2a  ( ( ( 其中 a,b 为小量，a 为实数， E10)  E20)  E30) ，求近似到二级修正的能量值。⒙一粒子在一维无限深势阱中运动，若微扰为 a 0, 0  x  2  V ( x)   b, a  x  a 2  , x  0, x  a b 为小量，求近似到一级修正的粒子能量。 ⒚微扰理论适用的条件和情况。第七章⒈斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由。 ⒉塞曼效应：在外磁场中，每一条光谱线劈裂成一组相邻谱线的现象。 简单(正常)塞曼效应：无外磁场时的一条光谱线，在磁场中将分裂为三条光谱线。 产生的条件是：当外磁场足够大时，自旋和轨道运动间相互作用可以忽略。 复杂(反常)塞曼效应：无外磁场时的一条光谱线，在磁场中将分裂为更多条光谱线。 产生的条件是：在弱外磁场中，必须考虑自旋和轨道运动间相互作用。 ⒊两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量 S：S  s(s  1) ， s  s1  s2，s1  s2  1 0 ，所以两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量只能有两个可能值。 ⒋两个电子轨道角动量耦合的轨道总角动量 L：L  l(l  1), l  l1  l2, l1  l2  1, l1  l2  2,  , l1  l2对于两个电子，就有几个可能的轨道总角动量。 ⒌电子自旋角动量与轨道角动量耦合为一个总角动量 J1：J1  l1  s1, l1  s1，s1  1 2每个电子只有两个 J1 值。 ⒍LS 耦合总角动量 J：Jj( j  1), j  l  s, l  s  1, l  s  2,  , l s⒎jj 耦合总角动量 J：Jj( j  1), j  j1  j2, j1  j2  1, j1  j2  2,  , j1  j2⒏价电子：原子最外层的电子。原子的化学性质以及光谱特性都决定于价电子。 ⒐内层电子：原子中除价电子外的剩余电子。 ⒑原子实：原子核与内层电子组成一个完整而稳固的结构。 ⒒电子组态：价电子所处的各种状态。 ⒓原子态：原子中电子体系的状态。 ⒔原子态符号：用来描述原子状态的符号。 ⒕原子态符号规则：用轨道总量子数 l、自旋总量子数 s 和总角动量量子数 j 表示 ①轨道总量子数 l=0,1,2,·· ·，对应的原子态符号为 S,P,D,F,H,I,K,L,··; · ②原子态符号左上角的数码表示重数，大小为 2s +1,表示能级的个数。 ③原子态符号右下角是 j 值 ，表示能级对应的 j 值 。 形式为： 2s1S j ,2s1Pj , 2s1Dj ,2s1Fj ,  ⒖光谱的精细结构： 用分辨率足够高的仪器观察类氢原子的光谱线， 会发现每一条光谱线并 不是简单的一条线，而是由二条或三条线组成的结构，这种结构称为光谱的精细结构。 ⒗原子态能级的排序(洪特定则)： (1)从同一电子组态形成的、具有相同 L 值的能级中，那重数最高的，即 S 值最大的能级 位置最低； (2)从同一电子组态形成的、具有不同 L 值的能级中，那具有最大 L 值的位置最低。 ⒘辐射跃迁的普用选择定则： 1、选择定则：原子光谱表明，原子中电子的跃迁仅发生在满足一定条件的状态之间， 这些条件称为选择定则。2、原子的宇称：如果原子中各电子的 l 量子数相加，得到偶数，则原子处于偶宇称状 态；如果是奇数，则原子处于奇宇称状态。 3、普遍的选择定则：跃迁只能发生在不同宇称的状态间，偶宇称到奇宇称，或奇宇称 到偶宇称。电子能否有跃迁首先要考虑这一条，然后按照耦合类型再有以下定则。 ⒙LS 耦合选择定则： ① S  0 ，要求单一态电子只能跃迁到单一态，三重态电子只能跃迁到三重态。 ② l  0,  1 ，当 l  0 时，要考虑宇称奇偶性改变的要求。 ③ j  0,  1 ， j  0 至 j  0 的跃迁是禁止的。 jj 耦合选择定则： ① j1 j2  0,  1 ② j  0,  1 ， j  0 至 j  0 的跃迁是禁止的。 ⒚全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同微观粒子。 ⒛全同粒子的特性：全同粒子具有不可区分性，只有当全同粒子的波函数完全不重叠时，才 是可以区分的。 21.全同性原理: 在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。 22.对称波函数：设 qi 表示第 i 个粒子的坐标和自旋，Φ(q1,…,qi,qj,…,t)表示体系的波函数。 如果两粒子互换后波函数不变，则 Φ 是 q 的对称波函数。 23.反对称波函数：设 qi 表示第 i 个粒子的坐标和自旋，Φ(q1,…,qi,qj,…,t)表示体系的波函数。 如果两粒子互换后波函数变号，则Φ 是 q 的反对称波函数。 24.对称性守恒原理：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对 称性不随时间改变。 如果体系在某一时刻处于对称(反对称)的状态， 则它将永远处于对称(反 对称)的状态上。 25.费密子：自旋为  或  奇数倍的全同粒子。费密子的特点：组成体系的波函数是反对称2 2 的，服从费密—狄拉克统计。 26.玻色子：自旋为零、  或  整数倍的全同粒子。玻色子的特点：组成体系的波函数是对称 的，服从玻色—爱因斯坦统计。 27.交换简并：由全同粒子相互交换而产生的简并。 28.泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态。29.交换能的出现，是由于全同粒子的波函数必须是对称波函数或反对称波函数的缘故。 30.交换能 J 与交换密度有关，其大小决定于两个电子波函数重叠的程度。重叠程度越大， 交换能就越大。 31.LS 耦合引起的精细结构分析。如 n=3 能级中，有一个 p 电子和 d 电子所引起的能级差别 (原子态)。 32. 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的 耦合时，能级的简并度，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度。 33. 反常塞曼效应的特点，引起的原因。(碱金属原子能级偶数分裂；光谱线偶数条；分裂 能级间距与能级有关；由于电子具有自旋。) 34. 什么是简单塞曼效应？写出与其相应的哈密顿量。 35. 在简单塞曼效应中，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？ 36. 写出 Pauli 矩阵和它们的对易关系。 37. 写出两个电子的对称自旋波函数和反对称自旋波函数。 38. 对于全同粒子体系，由于任意交换两个粒子，体系的状态 态只能用 或 波函数表示。 ，所以体系的状39. 什么是全同性原理和泡利不相容原理？二者是什么关系？ 40. 什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度 是多少？ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 41. 若 S 是电子的自旋算符，求 S x Sz S x S y S x  ?42. 证明：  x y zi 0 1   ˆ ˆ  及 S y    0 - i  的本征值和所属的本征函数。 43. 求 S x        2 1 0 2 i 0 2 44. 若    x  i y , 求 ;2004 年量子力学期末试题及答案一、 （20 分）已知氢原子在 t  0 时处于状态 ( x,,0)  2 ( x)    1 ( x)    3 ( x)   3  0 3  1 3  0其中，  n (x) 为该氢原子的第 n 个能量本征态。求能量及自旋 z 分量的取值概率 与平均值，写出 t  0 时的波函数。 解 已知氢原子的本征值为En  1 1 2 02 1 e4 12 2 n 2，n  1,2,3,（1）将 t  0 时的波函数写成矩阵形式1  2 3  x    2  x   3   ( x, 0)   3  2   1  x    3  利用归一化条件 2（2）c1  dx  3   x    * 22 * 3  x  31  2 3  x    2  x    2 * 3   1  x     3   3 2    1  x    3  （3）1 2 4 2 7 2     c  c 9 9 9 9于是，归一化后的波函数为 ( x, 0)  2 1   1 2 2  x   3  x     2  x   3  x   9 3 7 7 3  （4）    7 2   4  1  x   1  x      3    7 能量的可能取值为 E1, E2 , E3 ，相应的取值几率为W  E, 0  1 4 1 ;W E , 0  2 7 7 ; 3E ,  W 0 2 7（5）能量平均值为4 1 2 E1  E 2 E 3 7 7 7 4 e  4 1 1 1 2 1  161 e4  2        2  7 1 7 4 7 9  504 2 E  0 （6）  自旋 z 分量的可能取值为 ,  ，相应的取值几率为 2 2  W  sz  , 2    1 2 3  0    W  sz   ; ,0  2  7 7 7 4 7（7）自旋 z 分量的平均值为3  4    sz  0           7 2 7  2 14t  0 时的波函数（8） 1 2  i   i   2  x  exp   E2t   3  x  exp   E3t    7 7        ( x, t )     4  i     1  x  exp   E1t    7     （9）二. （20 分） 质量为 m 的粒子在如下一维势阱中运动 V0  0.  V  x     V0 , 0,  x0 0 xa xa若已知该粒子在此势阱中有一个能量 E   解V0 的状态，试确定此势阱的宽度 a 。 2对于  V0  E  0 的情况，三个区域中的波函数分别为 1  x   0   2  x   A sin kx      x   B exp x   3（1）其中，k2m( E V 0 ) ;2m E （2）利用波函数再 x  0 处的连接条件知，   n ， n  0,1,2, 。 在 x  a 处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 2 a    3 a ' '  2 a    3 a （3）得到A sin ka  n   B exp a  Ak coska  n    B exp a （4）于是有tan ka    k（5）此即能量满足的超越方程。 1 当 E   V0 时，由于 2 m V0  t an a        m V0   1 m V0 （6） 故m V0  a  n 4n  1,2,3,（7） 最后得到势阱的宽度1    a  n   4  m V0 （8） 三、 （20 分） 证明如下关系式     j j j j （1）任意角动量算符 ˆ 满足 ˆ  ˆ  iˆ 。 证明 对 x 分量有 ˆj  ˆj   ˆj ˆj  ˆj ˆj =iˆjy z z y xx同理可知，对 y 与 z 分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。ˆ 投影算符 pn  n n 是一个厄米算符，其中， n  是任意正交归一的完备本征函数系。 证明ˆ 在任意的两个状态  与  之下，投影算符 pn 的矩阵元为ˆ  pn    n n ˆ ˆ 而投影算符 pn 的共軛算符 pn 的矩阵元为* ˆ ˆ ˆ  pn     n     pn    p*  n n* n   n    n n    **ˆ 显然，两者的矩阵元是相同的，由  与  的任意性可知投影算符 pn* ˆ ˆ 利用  k  x'  k  x     x'  x  证明  xpx mn   xmk  px kn ， 其中， k  x  为  kk是厄米算符。任意正交归一完备本征函数系。 证明ˆ  xpx mn  * mˆ  dx  x  xp   x  * m x n  ' '  dx  x  x  dx   x ˆ  x  p x n  x   ˆ  x  p x' n  x '  * k ' ' x'  dx  x  x  dx   x* m '   * m '  k'ˆ  dx  x  x  dx   x   x  p   x  k n   * m ' k * k ' ' x' nˆ   dx  x  x  x   dx   x  p   x  kˆ x p mk x kkn四、 （20 分）在 L2 与 Lz 表象中，在轨道角动量量子数 l  1 的子空间中，ˆ ˆ ˆ 分别计算算符 Lx 、 Ly 与 Lz 的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。解 在 L2 与 Lz 表象下，当轨道角动量量子数 l  1 时， m  1, 0, 1，显然，算ˆ ˆ ˆ 符 Lx 、 Ly 与 Lz 皆为三维矩阵。 ˆ 由于在自身表象中，故 Lz 是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有1 ˆ  Lz   0 0  0  0 0  0  1  0（1）相应的本征解为Lz  ;Lz  0 ;1 1       0    0 0       0  01（2）Lz   ; 1 0     1  0ˆ ˆ 对于算符 Lx 、 Ly 而言，需要用到升降算符，即ˆ 1 ˆ ˆ Lx  L  L 2 1 ˆ ˆ ˆ Ly  L  L 2i , l 1 m（3）而ˆ L l m  l1   m m l  1（4）ˆ ˆ 当 l  1, m  1, 0, 1 时，显然，算符 Lx 、 Ly 的对角元皆为零，并且，ˆ 1 , 1Lx ˆ 1 , 1Lxˆ 1 , 1Lx ˆ 1 , 0Ly ˆ 1 , 1Ly1 , 1 1,   1 1 ,ˆ y 1 L1 , 10 0 1, 1  2ˆ 1 y, 1  1 , 1 L ˆ 1L 1 x ,（5）只有当量子数 m 相差 1 时矩阵元才不为零，即1, 0 1,   1 1, 0 ˆ 1ˆ, x 0  1 , 1 L x1 , 0 L   ˆ 1 y, 1 L 1ˆ,y 0 L i 1 0 , 2 i 1 , 1 2 1, 0（6）ˆ ˆ 于是得到算符 Lx 、 Ly 的矩阵形式如下0 1 0   0  i 0      ˆ  ˆ Lx  i  i 0  1 0 1 ;Ly  2   2  0 i 0   0 1 0  （7）ˆ L y 满足的本征方程为0   i 2 0i 0 i0   c1   c1       i   c2     c2  c  0   c3     3i 2 （8）相应的久期方程为 i 2 0  0 i 2 0 i 2（9）将其化为3   2   0得到三个本征值分别为（10）1  ; i  1  1   2 ; 2   i 2  0;3  （11）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为21  i   1   1   0 ;  3   2  2 2   1  i（12）ˆ Lx 满足的本征方程为0   1 2 0  1 0 1 0  1 0   c1   c1       c2     c2  c  c   3  3（13） 相应的久期方程为  2 0  2   2 0  0 2 （14） 将其化为3   2   0得到三个本征值分别为（15）1  ;2  0;3  （16）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为 1   1 1   2  ; 2   1  1 1    2 0 ; 2   1   1   1    2 3 2   1 （17）五、 分） 由两个质量皆为  、 （20 角频率皆为  的线谐振子构成的体系，ˆ 加上微扰项 W   x1 x2（ x1 , x 2 分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。 提示： 线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为mxn   1 n n 1  m,n 1    m,n 1   2 2 式中，   解。体系的哈密顿算符为ˆ ˆ ˆ H  H0  W其中（1）1 1 2 ˆ ˆ ˆ2 H0  p12  p2   2 x12  x2 2 2 ˆ W   x x1 2（2）ˆ 已知 H 0 的解为 n x1 , x2    n x1  n x2 1 20 E n  n  1（3）其中n1 , n2 , n  0,1,2,  1,2,3,, f n将前三个能量与波函数具体写出来0 E0   ;（4） 0   0  x1   0  x2   11   0  x1  1  x2   12  1  x1   0  x2   21   2  x1   0  x2   22   0  x1   2  x2   23  1  x1  1  x2 （5）E10  2 ,0 E2  3 ,对于基态而言， n1  n2  n  0 ， f 0  1 ，体系无简并。利用公式m x n 可知 1 n n 1  m,n 1    m,n 1   2 2 （6） ˆ E01   0 W  0  0E0  2 n  0  1fnˆ ˆ  0 W  n  n W  00 0 E0  E n（7）显然，求和号中不为零的矩阵元只有 ˆ ˆ  0 W  23   23 W  0   2 2 于是得到基态能量的二级修正为E02 （8）1 2 2   0  2 3 0 E0  E2 4 4 8 W12 W32 W13 W23 01（9）第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为 W11  E 21W21 W31W22  E 21（10）W33  E 2其中W1 1  W 2 2 W 3  W 12 W 02 1  3 W1 3  W 3 1 W 2  W 32  2  3 2将上式代入（10）式得到  E2 1（11）0  E210  整理之， E21 满足  E21 2 2   0 2 2  E2 1（12） 2 2 2 2 3 2 1 E 0 4 2（13）于是得到第二激发态能量的一级修正为   1 1 1 E 21   2 ; E 22  0; E 23  2  （14）试题编号：重庆邮电大学 2008-2009 学年第二学期量子力学试卷（期末） 卷） （B （闭卷）题 得 号 分 一 二 2.1 2.2 2.3 2.4 总 分评卷人一、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1、A,B两束光，A的波长 A  3 109 m ，B的波长 B  4 1010 m ，请问哪束光的 能量更高？ A . .2、微观粒子的波函数 应满足的三个标准条件是 单值性，连续性，有限性 3、一粒子的波函数 ( x)  3x2e x ，请问该粒子是否处在动量的本征态？ 否. 4、粒子穿过方势垒，请问透射系数随着势垒的加高减小还是增大？减小.. 5、假如两力学量算符具有共同的本征函数，则此这个算符是否对易？对易.  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 6、对易关系 [ L 2 , Lz ]  0 ， [ L , L ]  iL ， [ L , y]  iz .x y zx 7、已知  x, px   i ,则 x  px  .   2   8、算符在其自身表象中的表示是否为对角矩阵？ 是 1 0 9、已知泡利算符分量  z    ，x, y 的矩阵表达式 0 1  0 1  0 i  分别为  x    ， y   i 0  . 1 0   .10、写出氧原子（原子序数 z  8 ）的电子排布: 1s 2 2s 2 2 p 4 .二、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）, x  0,  1、(10 分)一粒子在一维势场 U ( x)  0, 0  x  a 中运动，求粒子的能级和对应的  , x  a 波函数。 解：一位无限深势阱中，定态薛定谔方程d 2 ( x) 2  2 (U  E ) ( x) dx2 （1）（2 分）在阱外， x  0, x  a , U (x)   ，若波函数 ( x)  o , 由(1)式得 意义的。因此, 在阱外必有 ( x)  0 。 （2 分）2 在阱内, 0  x  a , U ( x)  0, 令 k d 2   , 这是没有 dx22 E ,由 (1)式得 2(2)d 2  k 2  0 . 2 dx上式的通解是 ( x)  A sin kx  B coskx ,(3)A, B 是两个待定常数.由于 (x) 在边界处连续,有 B   (0)  0, 且A sin ka   (a)  0 .由于 A  0 ,否则只能有零解,故 k  na, n  1,2, .将粒子波函数  ( x)  A sin kx 代入归一化条件0a( x) ( x)dx  1 ,积分得 A 2 , 所以, 归一化波函数为 a(4) （5 分） n ( x)  2 2 粒子能量为 E  n . 2 a 222 nx sin . a a(5)（3 分）  2x 2、(10 分)粒子状态处于一维谐振子的基态  ( x, t )  e  1/ 2x 和动量的几率分布函数。 （利用积分公式：  e x dx 22 2i  t 2试求平均值 ） 解：平均值 x 为x    ( x) x ( x)dx  *   2x e  1/ 22 2i  t 2  x x 1/ 2 e 2 2 2i  t 2dx（4 分）  xe 2 x 2dx  0因为动量的本征函数为  p ( x) ipx 1 e  ，所以 2 c( p )   * ( x) ( x)dx p 1   2   1 e 2 2i i x   t  Px 2 edx1  2  e1 i i   2 x2   t  Px 2 2 edxi  t 1 e 2 2  ep21 ip p2   2 ( x  2 )2  2 2 2   2 dx1  2   1 2 i   2  t  2 e e 2 2e1 ip   2 ( x  2 )2 2  dxp2  2 e p22 22ei  t 2 2 2  i t 1  e 2  2  （4 分）动量几率分布函数为 ( p )  c( p) 21p2 e 2 2（2 分）3、(20分)有二个物理量，它们的矩阵表示为：0 1 0 1 0 0        Lx   1 0 1  , Lz  2  0 0 0  2  0 0 1     0 1 0(1)如果测量 Lz ，得到的可能的值是什么？ 解： Lz 的久期方程为  2 0 00  00 0   2  ， 3  2 2 0  .(    ).(  )  0 2 2 1  0， 2 ˆ ∴ Lz 的本征值为 0，  ，  2 2（3 分）(2)求 Lz 的本征函数。ˆ 解： Lz 的本征方程 a1   1 0 0   a1         0 0 0   a2     a2  2   a   0 0 1  a3   3  a1    ˆ 其中   a2  设为 Lz 的本征函数。 a   3当 1  0 时，有（1 分） 1 0 0   a1   0         0 0 0   a2    0  2      0 0 1  a3   0   a1   0        0    0   a1 =a3  0 2     a3   0 由归一化条件0  2   1  (0, a2 , 0)  a2   a2 ，所以 a2  1 0    0   ∴  1  1  0  当 2 （2 分） 时，有 2 a1   1 0 0   a1         0 0 0   a2   a2 2 2   0 0 1 a  a    3   3 a1   a1       0    a2   a2  0, a3  0  a   a   3  3由归一化条件 a1  2   1  ( a , 0, 0)  0   a1 ，所以 a1  1 0   * 11    ∴  2  0 0  当 3  （2 分） 时，有 2 a1   1 0 0   a1         0 0 0   a2    a2 2 2   0 0 1  a  a    3   3  a1   a1       0    a2   a1  0, a2  0  a   a   3  3由归一化条件0  2   1  (0, 0, a3 )  0   a3 ，所以 a3  1 a   3 0   ∴ 3  0 1   （2 分）(3)求 Lx 的本征值。 解： Lx 的久期方程为  2 0 2   20  2   0   3   2   0 1  0，2  ，3  ˆ  ∴ Lx 的本征值为 0，， (4)求 Lx 的本征函数。（3分）ˆ 解： Lx 的本征方程 a1   0 1 0  a1         1 0 1  a 2     a 2  2 a     0 1 0  a 3   3  a1    ˆ 其中设 Lx 的本征函数   a 2  . a   3当 1  0 时，有 （1 分） 0 1 0  a1   0         1 0 1  a 2    0  2      0 1 0  a3   0   a2   0       a1  a3    0   a3  a1， a 2  0 2   0  a2     a1    ∴  0  0   a   1由归一化条件 a1    1 2 1    0  (a ,0, a ) 0   2 a1 . 取 a1  2  a   1 0 * 1 * 1 1   2    1   0   1      2 当  2   时，有（2 分） a1   0 1 0  a1         1 0 1  a 2    a 2  2 a     0 1 0  a 3   3          2   a  a 2  2a1   1  1  (a1  a3 )    a 2   a 2  2a3 2        a3  a3  a1 1 a2  2  1 a2 a1    ∴     2a1    a1    由归一化条件 a1    1 2 1  (a , 2a , a ) 2a1   4 a1 . 取 a 1  2   a1    * 1 * 1 * 11  2     1 。 ∴ 2   2   1    2 当 3   时，有（2 分） a1   0 1 0  a 1         1 0 1   a 2     a 2  2 a     0 1 0  a 3   3         ∴  2   a    1 1 (a1  a 3 )     a 2   2       a3  1  a2  2  1 a1 a 2   2a 1    a 2   2a 3 a  a 1  3   a1      2a1      a1    a1    1 2 * * * 由归一化条件 1  (a1 , 2a1 , a1 )  2a1   4 a1 . 取 a 1  2    a1    1   2     1  。 ∴ 3   2    1     2 ˆ 4、(10 分)设一体系未受微扰作用时有三个能级： E10 , E20 ，现在受到微扰 H / 的a b 作用，微扰矩阵元为 H /    ，a 和 b 都是实数，用微扰公式求能量 E1 , E2 至 b a二级修正值。 a b  | H mn |2 (0)   解：因为 H   （2 分）  ，由微扰论公式 En  En  H nn (0) (0) En  Em m b a/可得 E1  E10  H11  m 0 1   | H m1 |2  | H m1 |2  E10  a   0 0 0 0 E1  Em E1  Em m2 | H 21 |2 b2 0  E a 0  E1  a  0 0 0 E1  E2 E1  E20  E2  E2  H 22   m 2 0 2(4 分)   | H m 2 |2  | H m 2 |2 0  E2  a   0 0 0 0 E2  Em E2  Em m 1| H | a2 0  E  b  0 12 0  E2  b  0 E2  E1 E2  E10(4 分)5、(10 分)证明轨道角动量满足 L2  L2  L L  Lz .（其中 L  Lx  iLy ） zL2  L L  Lz  L2  ( Lx  iLy )( Lx  iLy )  Lz z z  L2  Lx 2  iLx Ly  iLy Lx  Ly 2  Lz z  L2  Lx 2  i ( Lx Ly  Ly Lx )  Ly 2  Lz z证明：  L2  Lx 2  i.iLz  Ly 2  Lz z L2  Lx 2  Lz  Ly 2  Lz z  L2  Lx 2  Ly 2 z  L26、(10 分)简述量子力学的基本假设。答：(1) 微观体系的状态用波函数完全描述。 分） （2 (2) 体系的状态波函数满足薛定鄂方程： i ˆ  H .（2 分） t(3) 力学量与力学量算符关系的假设：力学量用厄密算符表示，它的本征函数组成完全系，ˆ 当 体 系 处 于 波 函 数  ( x ) 时 ，  ( x ) 可 用 某 力 学 量 算 符 F 的 本 征 函 数  ( n) 展 开 ，ˆ ˆ  ( x)   cnn ，测量力学量 F 所得的数值必是算符 F 的本征值之一 n ，测得 n 的几率n为 cn .（4 分） (4) 全同性原理： 在全同粒子组成的体系中， 两全同粒子相互调换不改变体系的状态. 2 分） （2