数学难题
一．填空题（共2小题）
1．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD 交于点O 1；O 1D 的中点为D 1，第二次将纸片折叠使点B 与点D 1重合，折痕与BD 交于点O 2；设O 2D 1的中点为D 2，第三次将纸片折叠使点B 与点D 2重合，折痕与BD 交于点O 3，…．按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与BD 交于点O n ，则BO 1=BO n =
2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A （﹣3，0），B （0，1），形状相同的抛物线C n （n=1，2，3，4，…）的顶点在直线AB 上，其对称轴与x 轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C 2的顶点坐标为 _________ ；抛物线C 8的顶点坐标为 _________ ．
二．解答题（共28小题）
2
3．已知：关于x 的一元二次方程kx +2x+2﹣k=0（k ≥1）． （1）求证：方程总有两个实数根；
（2）当k 取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．
4．已知：关于x 的方程kx +（2k ﹣3）x+k﹣3=0． （1）求证：方程总有实数根；
2
（2）当k 取哪些整数时，关于x 的方程kx +（2k ﹣3）x+k﹣3=0的两个实数根均为负整数？
5．在平面直角坐标系中，将直线l ：将抛物线C 1：
沿x 轴翻折，得到一条新直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，
2
沿x 轴平移，得到一条新抛物线C 2与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E 、点F ．
（1）求直线AB 的解析式；
（2）若线段DF ∥x 轴，求抛物线C 2的解析式； （3）在（2）的条件下，若点F 在y 轴右侧，过F 作FH ⊥x 轴于点G ，与直线l 交于点H ，一条直线m （m 不过△AFH 的顶点）与AF 交于点M ，与FH 交于点N ，如果直线m 既平分△AFH 的面积，又平分△AFH 的周长，求直线m 的解析式．
6．已知：关于x 的一元二次方程﹣x +（m+4）x ﹣4m=0，其中0＜m ＜4． （1）求此方程的两个实数根（用含m 的代数式表示）；
（2）设抛物线y=﹣x +（m+4）x ﹣4m 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），若点D 的坐标为（0，﹣2），且AD •BD=10，求抛物线的解析式； （3）已知点E （a ，y 1）、F （2a ，y 2）、G （3a ，y 3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有y 1、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．
7．点P 为抛物线y=x﹣2mx+m（m 为常数，m ＞0）上任一点，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转90°后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），点Q 为点P 旋转后的对应点． （1）当m=2，点P 横坐标为4时，求Q 点的坐标； （2）设点Q （a ，b ），用含m 、b 的代数式表示a ； （3）如图，点Q 在第一象限内，点D 在x 轴的正半轴上，点C 为OD 的中点，QO 平分∠AQC ，AQ=2QC，当QD=m时，求m 的值．
2
2
2
2
8．关于x 的一元二次方程x ﹣4x+c=0有实数根，且c 为正整数． （1）求c 的值；
（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x﹣4x+c与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ．点P 为对称轴上一点，且四边形OBPC 为直角梯形，求PC 的长； （3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D 的坐标为（m ，n ），当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时，直接写出m 的取值范围．
9．如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FD =FB•FC ．
2
2
2
10．如图，AD 是△ABC 的角平分线，EF 是AD 的垂直平分线． 求证：（1）∠EAD=∠EDA ． （2）DF ∥AC ． （3）∠EAC=∠B ．
11．已知：关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x +（m ﹣2）x ﹣1=0（m 为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线y=（m ﹣1）x +（m ﹣2）x ﹣1总过x 轴上的一个固定点；
22
（3）关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x +（m ﹣2）x ﹣1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=（m ﹣1）x +（m ﹣2）x ﹣1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．
12．已知△ABC ，以AC 为边在△ABC 外作等腰△ACD ，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC ，AC=BC，四边形ABCD 是平行四边形，则∠ABC= _________ ； （2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD 是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD 的长；
222
（3）如图3，若∠ACD 为锐角，作AH ⊥BC 于H ．当BD =4AH+BC时，∠DAC=2∠ABC 是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．
2
2
13．已知关于x 的方程mx +（3﹣2m ）x+（m ﹣3）=0，其中m ＞0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，其中x 1＞x 2，若
，求y 与m 的函数关系式；
2
（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式y ≤﹣m 成立的m 的取值范围．
14．已知：关于x 的一元二次方程x +（n ﹣2m ）x+m﹣mn=0① （1）求证：方程①有两个实数根；
（2）若m ﹣n ﹣1=0，求证：方程①有一个实数根为1；
（3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a ．当x=2时，关于m 的函数y 1=nx+am与y 2=x+a（n ﹣2m ）x+m﹣mn 的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线L 与y 1、y 2的图象分别交于点C 、D ．当L 沿AB 由点A 平移到点B 时，求线段CD 的最大值．
2
2
2
2
15．如图，已知抛物线y=（3﹣m ）x +2（m ﹣3）x+4m﹣m 的顶点A 在双曲线y=上，直线y=mx+b经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ． （1）确定直线AB 的解析式；
（2）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，求sin ∠BDE 的值；
（3）过点B 作x 轴的平行线与双曲线交于点G ，点M 在直线BG 上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N 在直线BG 上，请直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°的点N 的坐标．
2
2
16．如图，AB 为⊙O 的直径，AB=4，点C 在⊙O 上，CF ⊥OC ，且CF=BF．
（1）证明BF 是⊙O 的切线；
（2）设AC 与BF 的延长线交于点M ，若MC=6，求∠MCF 的大小．
17．如图1，已知等边△ABC 的边长为1，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点（均不与点A 、B 、C 重合），记△DEF 的周长为p ．
（1）若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的中点，则p= _________ ；
（2）若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上任意点，则p 的取值范围是 _________ ．
小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ABC 以AC 边为轴翻折一次得△AB 1C ，再将△AB 1C 以B 1C 为轴翻折一次得△A 1B 1C ，如图2所示．则由轴对称的性质可知，DF+FE1+E1D 2=p，根据两点之间线段最短，可得p ≥DD 2．老师听了后说：“你的想法很好，但DD 2的长度会因点D 的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案．
18．已知关于x 的方程x ﹣（m ﹣3）x+m﹣4=0． （1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m 的取值范围；
2
（3）设抛物线y=x﹣（m ﹣3）x+m﹣4与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y=﹣x 的对称点恰好是点M ，求m 的值．
2
19．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，tan ∠BAC=．点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连接BD ，F 为BD 中点． （1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连接CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF=kEF，则k= _________ ；
（2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：BE ﹣DE=2CF；
（3）若BC=6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，求线段CF 长度的最大值．
20．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD 中，可证点A 、C 到BD 的距离相等，所以点A 、C 是平行四边形ABCD 的一对等高点，同理可知点B 、D 也是平行四边形ABCD 的一对等高点．
（1）如图2，已知平行四边形ABCD ，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE （要求：画出必要的辅助线）；
（2）已知P 是四边形ABCD 对角线BD 上任意一点（不与B 、D 点重合），请分别探究图3、图4中S 1，S 2，S 3，S 4四者之间的等量关系（S 1，S 2，S 3，S 4分别表示△ABP ，△CBP ，△CDP ，△ADP 的面积）： ①如图3，当四边形ABCD 只有一对等高点A 、C 时，你得到的一个结论是； ②如图4，当四边形ABCD 没有等高点时，你得到的一个结论是．
21．已知：关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax﹣bx+kc（c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1．
（1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值； （2）求代数式
的值；
2
2
（3）求证：关于x 的一元二次方程ax ﹣bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根．
22．已知抛物线经过点A （0，4）、B （1，4）、C （3，2），与x 轴正半轴交于点D ． （1）求此抛物线的解析式及点D 的坐标；
（2）在x 轴上求一点E ，使得△BCE 是以BC 为底边的等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，过线段ED 上动点P 作直线PF ∥BC ，与BE 、CE 分别交于点F 、G ，将△EFG 沿FG 翻折得到△E ′FG ．设P （x ，0），△E ′FG 与四边形FGCB 重叠部分的面积为S ，求S 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围．
23．已知二次函数y=ax+bx+c的图象分别经过点（0，3），（3，0），（﹣2，﹣5）．求： （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数的最值；
（3）若设这个二次函数图象与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），且点A 是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B ，使△ACB 是等腰三角形，求出点B 的坐标．
24．根据所给的图形解答下列问题：
（1）如图1，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，把△ABD 绕点A 旋转，并拼接成一个与△ABC 面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图；
（2）如图2，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，请你设计一种与（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形；
（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD 拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD 的面积的结论．
2
25．例．如图①，平面直角坐标系xOy 中有点B （2，3）和C （5，4），求△OBC 的面积． 解：过点B 作BD ⊥x 轴于D ，过点C 作CE ⊥x 轴于E ．依题意，可得 S △OBC =S梯形BDEC +S△OBD ﹣S △OCE =
=×（3+4）×（5﹣2）+×2×3﹣×5×4=3.5．
∴△OBC 的面积为3.5．
（1）如图②，若B （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）均为第一象限的点，O 、B 、C 三点不在同一条直线上．仿照例题的解法，求△OBC 的面积（用含x 1、x 2、y 1、y 2的代数式表示）； （2）如图③，若三个点的坐标分别为A （2，5），B （7，7），C （9，1），求四边形OABC 的面积．
26．阅读：
①按照某种规律移动一个平面图形的所有点，得到一个新图形称为原图形的像．如果原图形每一个点只对应像的一个点，且像的每一个点也只对应原图形的一个点，这样的运动称为几何变换．特别地，当新图形与原图形的形状大小都不改变时，我们称这样的几何变换为正交变换．
问题1：我们学习过的平移、 _________ 、 _________ 变换都是正交变换．
②如果一个图形绕着一个点（旋转中心）旋转n ° （0＜n ≤360）后，像又回到原图形占据的空间（重合），则称该变换为该图形的 n 度旋转变换．特别地，具有180˚旋转变换的图形称为中心对称图形． 例如，图A 中奔驰车标示意图具有120°，240°，360°的旋转变换．
图B 的几何图形具有180°的旋转变换，所以它是中心对称图形．
问题2：图C 和图D 中的两个几何图形具有n 度旋转变换，请分别写出n 的最小值． 答：（图C ） _________ ； 答：（图D ） _________ ．
问题3：如果将图C 和图D 的旋转中心重合，组合成一个新的平面图形，它具有n 度旋转变换，则n 的最小值为
问题4：请你在图E 中画出一个具有180°旋转变换的正多边形．（要求以O 为旋转中心，顶点在直线与圆的交点上） 27．已知：点P 为线段AB 上的动点（与A 、B 两点不重合）．在同一平面内，把线段AP 、BP 分别折成△CDP 、△EFP ，其中∠CDP=∠EFP=90°，且D 、P 、F 三点共线，如图所示．
（1）若△CDP 、△EFP 均为等腰三角形，且DF=2，求AB 的长；
（2）若AB=12，tan ∠C=，且以C 、D 、P 为顶点的三角形和以E 、F 、P 为顶点的三角形相似，求四边形CDFE 的面积的最小值．
28．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y=﹣
x+
交x 轴于点C ，交y 轴于点A ．等腰直角三角板OBD 的
顶点D 与点C 重合，如图A 所示．把三角板绕着点O 顺时针旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），使B 点恰好落在AC 上的B' 处，如图B 所示． （1）求图A 中的点B 的坐标； （2）求α的值；
2
（3）若二次函数y=mx+3x的图象经过（1）中的点B ，判断点B ′是否在这条抛物线上，并说明理由．
29．已知：如图，AC 是⊙O 的直径，AB 是弦，MN 是过点A 的直线，AB 等于半径长． （1）若∠BAC=2∠BAN ，求证：MN 是⊙O 的切线． （2）在（1）成立的条件下，当点E 是是等边三角形．
的中点时，在AN 上截取AD=AB，连接BD 、BE 、DE ，求证：△BED
30．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆形的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B 、C 两点．如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径，发现直尺的长度不够． （1）写出此图中相等的线段．
（2）请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法．（写出主要解题过程）
2012年初中难题数学组卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共2小题）
1．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD 交于点O 1；O 1D 的中点为D 1，第二次将纸片折叠使点B 与点D 1重合，折痕与BD 交于点O 2；设O 2D 1的中点为D 2，第三次将纸片折叠使点B 与点D 2重合，折痕与BD 交于点O 3，…．按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与BD 交于点O n ，则BO 1=BO n =
．
2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A （﹣3，0），B （0，1），形状相同的抛物线C n （n=1，2
，3，4，…）的顶点在直线AB 上，其对称轴与x 轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C 2的顶点坐标为 （3，2） ；抛物线C 8的顶点坐标为 （55，） ．
二．解答题（共28小题）
23．已知：关于x 的一元二次方程kx +2x+2﹣k=0（k ≥1）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）当k 取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．
4．已知：关于x 的方程kx +（2k ﹣3）x+k﹣3=0．
（1）求证：方程总有实数根；
2（2）当k 取哪些整数时，关于x 的方程kx +（2k ﹣3）x+k﹣3=0的两个实数根均为负整数？
2
5．在平面直角坐标系中，将直线l ：
将抛物线C 1：沿x 轴翻折，得到一条新直线与x 轴交于点A ，与
y 轴交于点B ，沿x 轴平移，得到一条新抛物线C 2与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E 、点F ．
（1）求直线AB 的解析式；
（2）若线段DF ∥x 轴，求抛物线C 2的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点F 在y 轴右侧，过F 作FH ⊥x 轴于点G ，与直线l 交于点H ，一条直线m （m 不过△AFH 的顶点）与AF 交于点M ，与FH 交于点N ，如果直线m 既平分△AFH 的面积，又平分△AFH 的周长，求直线m 的解析式．
6．已知：关于x 的一元二次方程﹣x +（m+4）x ﹣4m=0，其中0＜m ＜4．
（1）求此方程的两个实数根（用含m 的代数式表示）；
2（2）设抛物线y=﹣x +（m+4）x ﹣4m 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），若点D 的坐标为（0，﹣2），且
AD •BD=10，求抛物线的解析式；
（3）已知点E （
a ，y 1）、F （2a ，y 2）、G （3a ，y 3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有y 1、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．
2
7．点P 为抛物线y=x﹣2mx+m（m 为常数，m ＞0）上任一点，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转90°后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），点Q 为点P 旋转后的对应点．
（1）当m=2，点P 横坐标为4时，求Q 点的坐标；
（2）设点Q （a ，b ），用含m 、b 的代数式表示a ；
（3）如图，点Q 在第一象限内，点D 在x 轴的正半轴上，点C 为OD 的中点，QO 平分∠AQC ，AQ=2QC，当QD=m时，求m 的值． 22
8．关于x 的一元二次方程x ﹣4x+c=0有实数根，且c 为正整数．
（1）求c 的值；
2（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x﹣4x+c与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左
侧），与y 轴交于点C ．点P 为对称轴上一点，且四边形OBPC 为直角梯形，求PC 的长；
（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D 的坐标为（m ，n ），当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时，直接写出m 的取值范围．
2
9．如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FD =FB•FC ． 2
10．如图，AD 是△ABC 的角平分线，EF 是AD 的垂直平分线．
求证：（1）∠EAD=∠EDA ．
（2）DF ∥AC ．
（3）∠EAC=∠B ．
11．已知：关于x 的一元二次方程（
m ﹣1）x +（m ﹣2）x ﹣1=0（m 为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线y=（m ﹣1）x +（m ﹣2）x ﹣1总过x 轴上的一个固定点；
22（3）关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x +（m ﹣2）x ﹣1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=（m ﹣1）x +（m
﹣2）x ﹣1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．
22
12．已知△ABC ，以AC 为边在△ABC 外作等腰△ACD ，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC ，AC=BC，四边形ABCD 是平行四边形，则∠ABC= 45° ；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD 是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD 的长；
（3）如图3，若∠ACD 为锐角，作AH ⊥BC 于H ．当BD =4AH+BC时，∠DAC=2∠ABC 是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论． 222
13．已知关于x 的方程mx +（3﹣2m ）x+（m ﹣3）=0，其中m ＞0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，其中x 1＞x 2，若，求y 与m 的函数关系式； 2
（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式y ≤﹣m 成立的m 的取值范围．
14．已知：关于x 的一元二次方程x +（n ﹣2m ）x+m﹣mn=0①
（1）求证：方程①有两个实数根；
（2）若m ﹣n ﹣1=0，求证：方程①有一个实数根为1；
22（3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a ．当x=2时，关于m 的函数y 1=nx+am与y 2=x+a（n ﹣2m ）x+m
﹣mn 的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线L 与y 1、y 2的图象分别交于点C 、D ．当L 沿AB 由点A 平移到点B 时，求线段CD 的最大值． 22
15．如图，已知抛物线y=（3﹣m ）x +2（m ﹣3）x+4m﹣m 的顶点A 在双曲线y=上，直线y=mx+b经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ．
（1）确定直线AB 的解析式；
（2）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，求sin ∠BDE 的值；
（3）过点B 作x 轴的平行线与双曲线交于点G ，点M 在直线BG 上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N 在直线BG 上，请直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°的点N 的坐标． 22
16．如图，AB 为⊙O 的直径，AB=4，点C 在⊙O 上，CF ⊥OC ，且CF=BF．
（1）证明BF 是⊙O 的切线；
（2）设AC 与BF 的延长线交于点M ，若MC=6，求∠MCF 的大小．
17．如图1，已知等边△ABC 的边长为1，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点（均不与点A 、B 、C 重合），记△DEF 的周长为p ．
（1）若D 、
E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的中点，则p= ；
≤p ＜3 ． （2）若D 、E
、F 分别是AB 、BC 、AC 边上任意点，则p 的取值范围是
小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ABC 以AC 边为轴翻折一次得△AB 1C ，再将△AB 1C 以B 1C 为轴翻折一次得△A 1B 1C ，如图2所示．则由轴对称的性质可知，DF+FE1+E1D 2=p，根据两点之间线段最短，可得p ≥DD 2．老师听了后说：“你的想法很好，但DD 2的长度会因点D 的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案．
18．已知关于x 的方程x ﹣（m ﹣3）x+m﹣4=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m 的取值范围；
2（3）设抛物线y=x﹣（m ﹣3）x+m﹣4与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y=﹣x 的对称点恰
好是点M ，求m 的值． 2
19．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，tan ∠BAC=．点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连接BD ，F 为BD 中点．
（1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连接CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF=kEF，则k= 1 ；
（2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：BE ﹣DE=2CF；
（3）若BC=6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，求线段CF 长度的最大值．
20．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD 中，可证点A 、C 到BD 的距离相等，所以点A 、C 是平行四边形ABCD 的一对等高点，同理可知点B 、D 也是平行四边形ABCD 的一对等高点．
（1）如图2，已知平行四边形ABCD ，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE （要求：画出必要的辅助线）；
（2）已知P 是四边形ABCD 对角线BD 上任意一点（不与B 、D 点重合），请分别探究图3、图4中S 1，S 2，S 3，S 4四者之间的等量关系（S 1，S 2，S 3，S 4分别表示△ABP ，△CBP ，△CDP ，△ADP 的面积）：
①如图3，当四边形ABCD 只有一对等高点A 、C
；
②如图4，当四边形ABCD ．
21．已知：关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax﹣bx+kc（c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1．
（1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值； （2）求代数式
的值；
2
2
（3）求证：关于x 的一元二次方程ax ﹣bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根．
22．已知抛物线经过点A （0，4）、B （1，4）、C （3，2），与x 轴正半轴交于点D ． （1）求此抛物线的解析式及点D 的坐标；
（2）在x 轴上求一点E ，使得△BCE 是以BC 为底边的等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，过线段ED 上动点P 作直线PF ∥BC ，与BE 、CE 分别交于点F 、G ，将△EFG 沿FG 翻折得到△E ′FG ．设P （x
，0），△E ′FG 与四边形FGCB 重叠部分的面积为S ，求S 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围．
23．已知二次函数y=ax+bx+c的图象分别经过点（0，3），（3，0），（﹣2，﹣5）．求： （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数的最值；
（3）若设这个二次函数图象与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），且点A 是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B ，使△ACB 是等腰三角形，求出点B 的坐标．
2
24．根据所给的图形解答下列问题：
（1）如图1，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，把△ABD 绕点A 旋转，并拼接成一个与△ABC 面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图；
（2）如图2，△ABC 中，
AB=AC
，∠BAC=90°，请你设计一种与（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形；
（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD 拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD 的面积的结论．
25．例．如图①，平面直角坐标系xOy 中有点B （2，3）和C （5，4），求△OBC 的面积． 解：过点B 作BD ⊥x 轴于D ，过点C 作CE ⊥x 轴于E ．依题意，可得 S △OBC =S梯形BDEC +S△OBD ﹣S △OCE =
=×（3+4）×（5﹣2）+×2×3﹣×5×4=3.5．
∴△OBC 的面积为3.5．
（1）如图②，若B （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）均为第一象限的点，O 、B 、C 三点不在同一条直线上．仿照例题的解法，求△OBC 的面积（用含x 1、x 2、y 1、y 2的代数式表示）； （2）如图③，若三个点的坐标分别为A （2，5），B （7，7），C （9，1），求四边形OABC 的面积．
26．阅读：
①按照某种规律移动一个平面图形的所有点，得到一个新图形称为原图形的像．如果原图形每一个点只对应像的一个点，且像的每一个点也只对应原图形的一个点，这样的运动称为几何变换．特别地，当新图形与原图形的形状大小都不改变时，我们称这样的几何变换为正交变换．
问题1：我们学习过的平移、 旋转 、 轴对称 变换都是正交变换．
②如果一个图形绕着一个点（旋转中心）旋转n ° （0＜n ≤360）后，像又回到原图形占据的空间（重合），则称该变换为该图形的 n 度旋转变换．特别地，具有180˚旋转变换的图形称为中心对称图形．
例如，图A 中奔驰车标示意图具有120°，240°，360°的旋转变换．
图B 的几何图形具有180°的旋转变换，所以它是中心对称图形．
问题2：图C 和图D 中的两个几何图形具有n 度旋转变换，请分别写出n 的最小值．
答：（图C ） 60° ； 答：（图D ） 45° ．
问题3：如果将图C 和图D 的旋转中心重合，组合成一个新的平面图形，它具有n 度旋转变换，则n 的最小值为
问题4：请你在图E 中画出一个具有180°旋转变换的正多边形．（要求以O 为旋转中心，顶点在直线与圆的交点上）
27．已知：点P 为线段AB 上的动点（与A 、B 两点不重合）．在同一平面内，把线段AP 、BP 分别折成△CDP 、△EFP ，其中∠CDP=∠EFP=90°，且D 、P 、F 三点共线，如图所示．
（1）若△CDP 、△EFP 均为等腰三角形，且DF=2，求AB 的长；
（2）若AB=12，tan ∠C=，且以C 、D 、P 为顶点的三角形和以E 、F 、P 为顶点的三角形相似，求四边形CDFE 的面积的最小值．
28．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y=﹣x+交x 轴于点C ，交y 轴于点A ．等腰直角三角板OBD 的顶点D 与点C 重合，如图A 所示．把三角板绕着点O 顺时针旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），使B 点恰好落在AC 上的B' 处，如图B 所示．
（1）求图A 中的点B 的坐标；
（2）求α的值；
2（3）若二次函数y=mx+3x的图象经过（1）中的点B ，判断点B ′是否在这条抛物线上，并说明理由．
29．已知：如图，AC 是⊙O 的直径，AB 是弦，MN 是过点A 的直线，AB 等于半径长．
（1）若∠BAC=2∠BAN ，求证：MN 是⊙O 的切线．
（2）在（1）成立的条件下，当点E 是
是等边三角形． 的中点时，在AN 上截取AD=AB，连接BD 、BE 、DE ，求证：△BED
30．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆形的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B 、C 两点．如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径，发现直尺的长度不够．
（1）写出此图中相等的线段．
（2）请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法．（写出主要解题过程）