泛函中四大空间的认识
第一部分我们将讨论线性空间，在线性空间的基础上引入长度和距离的概念，进而建立了赋范线性空间和度量空间。
在线性空间中赋以“范数”，然后在范数的基础上导出距离，即赋范线性空间，完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。范数可以看出长度，赋范线性空间相当于定义了长度的空间，所有的赋范线性空间都是距离空间。
在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有代数结构的空间，在应用过程中受到限制。赋范线性空间和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。
赋范线性空间是其中每个向量赋予了范数的线性空间，而且由范数诱导出的拓扑结构与代数结构具有自然的联系。完备的赋范线性空间是Banach 空间。赋范线性空间的性质类似于熟悉的R n ，但相比于距离空间，赋范线性空间在结构上更接近于R n 。
赋范线性空间就是在线性空间中，给向量赋予范数，即规定了向量的长度，而没有给出向量的夹角。
在内积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。特别是定义了正交的概念，有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。任何内积空间都赋范线性空间，但赋范线性空间未必是内积空间。
距离空间和赋范线性空间在不同程度上都具有类似于R n 的空间结构。事实上，R n 上还具有向量的内积，利用内积可以定义向量的模和向量的正交。但是在一般的赋范线性空间中没有定义内积，因此不能定义向量的正交。内积空间实际上是定义了内积的线性空间。在内积空间上不仅可以利用内积导出一个范数，还可以利用内积定义向量的正交，从而讨论诸如正交投影、正交系等与正交相关的性质。Hilbert 空间是完备的内积空间。与一般的Banach 空间相比较，Hilbert 空间上的理论更加丰富、更加细致。
1 线性空间
（1）定义：设X 是非空集合，K 是数域，X 称为数域上K 上的线性空间，若∀x , y ∈X ，都有唯一的一个元素z ∈X 与之对应，称为x 与y 的和，记作
z =x +y
∀x ∈X , α∈K ，都会有唯一的一个元素u ∈X 与之对应，称为α与x 的积，记作
u =αx
且∀x , y , z ∈X ，α, β∈K ，上述的加法与数乘运算，满足下列8条运算规律：
10 x +y =y +x
20 (x +y ) +z =x +(y +z )
30 在X 中存在零元素θ，使得∀x ∈X ，有θ+x =x 40 ∀x ∈X ，存在负元素∀-x ∈X ，使得x +(-x ) =θ 50 1⋅x =x 60 α(βx ) =(αβ) x 70 (α+β) x =αx +βx 80 α(x +y ) =αx +αy
当K =R 时，称X 为实线性空间；当K =C 时，称X 为复线性空间 （2）维数：
x 1, x 2, , x n ∈X 若不存在全为0的数α1, α2, , αn ∈K ，10 设X 为线性空间，
使得
α1x 1+α2x 2+ +αn x n =0
则称向量组x 1, x 2, , x n 是线性相关的，否则称为线性无关。
20 设∀x ∈X ，若α1, α2, , αn ∈K ，x 1, x 2, , x n ∈X 使得
x =α1x 1+α2x 2+ +αn x n
则称x 可由向量组x 1, x 2, , x n 线性表示。
30 设X 为线性空间，若在X 中存在X 个线性无关的向量，使得X 中任一向量可有n 个向量线性表示，则称其为X 的一个基，称n 为X 的维数。
2 距离空间
设X 是非空集合，若存在一个映射d :X ⨯X →R ，使得∀x , y , z ∈X ，下列距离公理成立：
10 非负性d (x , y ) ≥0, d (x , y )=0⇔x =y
20 对称性d (x , y ) =d (y , x )
30 三角不等式d (x , y ) ≤d (x , z +d (z , y )
则称d (x , y ) 为x 与y 的距离，X 为以d 的距离空间，记作(X , d ) 。
3 赋范线性空间
设X 称为数域上K 上的线性空间，若∀x ∈X ，都有一个实数x 与之对应，使得∀x , y ∈X , α∈K ，下列范数公理成立：
10 正定性x ≥0,
x =0⇔x =0
20 绝对齐次性x =x 30 三角不等式x +y ≤x +y
则称x 为x 上的范数，X 为K 上的赋范空间。
已知完备的距离空间中任一Cauchy 列均收敛，而赋范线性空间作为一类特殊的距离空间，同样可以讨论它的完备性。只是这里的距离是由范数诱导的距离。在范数的语言下，点列{x n }为Cauchy 列的定义改写为
∀ε>0, ∃N ∈N, 使当m,n>N 时，有x m -x n
完备的赋范线性空间称为Banach 空间。 4 内积空间
设X 称为数域上K 上的线性空间，若存在映射：X ⨯X →K ，使得，下列内积公理成立： ∀x , y , z ∈X ，α, β∈K ，
对第一变元的线性=α+β 共轭对称性=
正定性≥0且=0⇔x =0 则称为X 上的内积，X 为K 上的内积空间。
由于完备性的概念是建立在距离定义的基础上的，故等价的说，一个内积空
间称为Hilbert 空间，若其按由内积导出的范数是完备的距离空间。
在由内积导出的范数下，内积空间X 成为一个赋范空间，它具有一般赋范空间的所有性质。