布朗运动1

随机过程St ohcstica Pocesrs

要内容主

布运朗动及定其

义

朗运布的动些一性

质 布朗与动的运相关随机的过程本章 业：作1、2、、3、8

6西安电子科技学大 —数与学统计院学冯海林 S

hcoo lof Mahteatics amn Sdtaitstcs iXdiani nivUrseiy

t

机过程随 Sochtasit cPocrse

s布朗运

动

rowB n1278年 自然象现 iEnsein 1t059物理 释 W解ienr 1e19年8以后数 定义

学

布朗运及其动推在经济、广工程、理及管理统数等计领域 有广泛应。

西安电子用技科学 —大学与数计学院 冯海林

S统coohl o faMtemhaticsa dnS atistitcsX diia Unnviresiyt

随

机过程St ohcstiac Pocesr

s义定.227 .实称随机过程W={Wtt，≥0}是准布标运朗,动如 果

1()W 00

()

2对意0任 s  t W,t s ~ WN( 0 t  s),

(3)

具有独立增W量．

西性电安科技子大 —数学与统学学院 冯计海林S

cohol of Mahemtatisca dnS atitstis cXiiad Universiny

t

随过程机 tSohcatsic Prceso

例2s3.5.1( )计算准标布运动朗有限的维特函数

征提示：用过程的利独增立性量

解

任意对 n 1及 0 t1 

tn, n随维机变的

量(

Wt1 ,Wt 2 ,

,W

nt) 特征函数的为j

( Wtu1 1 tn Wun )

t1

,t ,..2.,t n(u1, u2 ..,. u,n ) E e[

]

安电子西技大学科—数学与 计学统院 冯林

海chSool o fMathematcisand S taisticts idianXUni vrsety

i随

机过 程Sotchatisc rPocess

令

Y1

Wt, 2 YWt Wt, 1

21

,n YWt n Wt 1n

n u)  n (Yn u)

t ,1t2 ,...t, (n u1 , u 2 ,.., . nu

)注意到有 Y 1u(1

 Y1

u1 (



u n )2 Y(u2



u n) e

 nu )

e

1 (1 u un ) t21

12  ( k u un 2 )( t k tk 1 ) 2

Y

k( k u



,k =,

2,n

西安电子科技大 —学数学统计与学 冯院林海S

hcoloo fatMemathci asn Stdtistias cidXan Uniiverity

s

随机

过 S程otchatsicP roess

例2.c.23试计 算准布朗运动标的一、维分二布数

注 函 到 有意 W t1 (N,t01 )一

维 分 布 函 数 F ( t 1 ;x )= P ( W1 ≤ t x



二维分)布数为函

2t1

1

x



-

ex22t 1

dx

F (t 1 , t2 ; x1 , x 2) P =( Wt1 ≤x 1 , Wt 2 ≤x 2)=

PW

( 令 W t1 ,

t1

≤

x ,1 tW 1 W (2t tW1) ≤x 2

)

 W t 2W t ,1则  服 从 N 0 (, t1 分 布) ， 服从 N( 0,t 2 t )1分

布西

电子安科大学 —数技学与统学院 冯海计

林cSoolho Mftaehamtcis na dtatSsiitcs iXdai Unnvieristy

随

过机程 tSchaotisc Porces

所s 以F (t 1,t ;2x 1 , x 2) =P(  x≤ , 1 ≤ x 2

) P  (≤ x 2- ,y  yd )



1

x P( x≤ -y2) （P dy)





x1



x

1



 

x

2 y

t

2t1

z( dz ) t1 (y ) yd

其t 中 ( y 1)N为(,t 1 0分)的布度函密，数



t 2  t 1 z()为N( ,t02 -t1 ) 布的密分度数。函

安西子电技大学 科—学数统计学院 冯海与

林Schoo lfo Matheamtisc na dSttastiis ciXdia nUivernsity

随机过 程Stohactis Pcroesc

s补例 设1 =WWt,t≥0{}是标准朗布运.动

证 验W一个正是过态程. 明1 证由定义对任，意n≥的,1任及的意0 t  t2 1   n

t

Wt1

W

,

2t

W

t

1,

,W

t

nW

t n

 1

相

独互立

且tW k t kW1 服 从 正 分态布 (0Ntk ,-k t 1)

所以，

（W

t1

,W

t2



W

t1

,

W

,tn

W

t

n

1

） 是维n态变量正

西.安电子技大学科— 学与数计学院 冯海统林

chSoo lfoM theamtaisca d ntSatsticsiXidian Un veirsti

y

随

机程过Stoch asitcProces s

由又于

W

t1

,W

(

2

t,

,

W

n

t)

W ( t ,1W

t2



W1

,t

W

t,

n

t Wn

11   0 )0   0

1 1 1 1 0 1      01 

以所 (W

t1

,

tW

2,

,

W

nt

)是 维n态正量.变

以W所是态正程.过

西

安电科子大学技—数学 统计与学院冯 林海Sc

ooh lofM taheatims acnd tatSitisc sXdiia nnUivrsity

e机过随 程tSochstic arPceos

s

证.2提示 计 向算量(t ,

W

1,W ) 的t联合概率密函度数

n记

=YW tW- ,k t=1 ,2 t,

kk k -

11

n

,2

增量由独立性知向，量(tY, tY， , t Y) 的n

合联概密度函率数为

t1 ft2 ,t1 ,,

tn tn 1

(

1 y,

, y

n  )

k 1

n

12 t k tk1

e

2

yk  2( tk tk 1

)

西安子电技大学 —数学与科统计学 冯院海

Sc林oholof Matemhtiacs adn taSitsitcsX idianUn ievsitry

随机程 St过ocashit cPorecs

因s k WY1 

 y 1w  则1雅可比矩J阵 =  yn w 1

Yk



yk w k= - w k1  k,= 1

y 1,  1  0n  w 1 1=  0  1   yn  w n  0 00  0 0  1



,

n

J 1

则 量向(tW, 1

W,t )的联概率密度函合为数n

(wf1 ,

,

nw ) f t1, t2 1t

,tn, nt1



(1 y,

,

ny ) J

,n

要将yk 为w换k - k w1 ,k  ,2,

1西安电科子大学 —技学数与计学院统 冯海

S林hoco ol faMhetatmcisand SatistitscXidia n niversitU

y

机过程 随Stchaotsic Poress

cf

w1 ,

, (w ) n ft1,t 2 1 ,

t,t

ntn

1y1 ,

(

yn ),

J将y k 换w为k w k -

1

k 1



n

1 2

 tk k t1

1

n 2

en

(k ww k1 2 ) 2( tk t k1 )



(2

)

ek

n

( k w wk1 )2 1  2k  1 tk (tk 1 

)

(

tk

1t k 1 )

为

维n态正随变机量的联概率合度函数.

密西安电子技大学科 数学—与统学院计冯 林海S

hcol oofM taheamitc asdn taSitsitc sXdiai nnUvirseit

y

随机过程S ochtstaci roPecss

字特征

数

设W ={Wtt≥0},标准布是朗运动则

.mW

( t  ), 0D W(t ) t, t 0 , R ( sW,t )  C ( s, W )t im(ns, t , s, t ) , 0证

明由定

义易知

有m W( )t 0 , W (D t ) t t, 0

对 ,st≥ ,0不妨设 st,≤

则安西电子科技学大 —数学与计统学院冯 林

海choSl

o

ofMath maetcisa n Sdtaittsic sXdiinaUniv erist

y

随机

程过S ochastitc rPocse

s

WR(s t ) ,E[W Wt s] E[Ws (W0) (W tsW Ws)

独]性立

E(W[ sW )(Wt 0Ws )] E [Ws 2]

 0 E[Ws]2 D[ W s] (EWs [) s]

2

因,此任对意s的 t 0 有 W R(s , t  m)in( ,st)

C

Ws ,(t  )WR(s ,t )  Wm(s ) mW t)  (in(s mt,)

西安电 科技大学子— 学与统计学院数冯 海林S

hcool of atMhmaetcs aindS tatistiscX idainU invresty

i

随

过程机S otcasthic Porecs

s

 朗运动的性布质 设W =Wt{,≥0}t标准布朗运动是，W具则 有 对称 性即- = {W-t,t≥W0}也标是布准运朗动

西

电子科安大技学—数 与统学计学 冯海院林S

hcoo olfMath matiesc na Sdttiatics sidXina Unverisity

随

机程过S otchatsci rPoces

s 自相

性 即对似意任数常a>固定的0t>0， W有t aa1/W2

t西

安电科技子学大 —学数与统计院 学冯海林S

choo lfo athemMtica ansd Sattstiic Xsidia Uninvrsity

e

随过机 S程octhasit cPoressc

 时

逆转间性即对固 的定T>，0定: 义B =tW –WTTt -0t ≤≤ T则 =BBt 0{t ≤ T}≤是也标布准朗运动 .称(为W时的间逆过程转).

西

电安子科大学 —数学技与统学计院冯海

林choSl oo Mfathmatics ande tatSsiict Xsidia nnUiersvtiy

机随程 过toScashti crPoecs

s布

朗动运的本样轨道性 质布 运动{Wt朗,t≥0}的 道是连续轨 的事实上利用，朗运布动义定中的 2）（3（两条） ，可以件证布验朗动满足随运过机程的柯莫尔洛 夫（哥道轨）续连性判准断。

则安电子科西技大 学—数与统学计学 冯院海

林Shool of Mcthemaatcsi nd SattiatisscXi idan nUivrsity

e

随过机程S octhstaic Proescs

理定.3.11 设=XX{ t0 , t T}是 连续间时实值随机程，T过>0 ,若在常数存，C ， 0,使 ，[E Xt  s ]X t C

s1 

,

0  ,ts T

则

存一个连续的连续在间随机过程时X与等 。

价西

电子科安技学大— 数学统计学院与冯 林海

Scoohlof Ma temahits and StaticsictsXidi an Univrsety

i

随机过 程Soctastihc roPess

c例22..8 如果个一随过机W程足布满朗动运义定的中条 件2）（（3和，则）对任意自然数n的，有( 2 n! 2n n)E [W tW s ] n t  s, s t, 02 n

事 !实 ，对s ,t 上 ，0不妨 s 设t 则,有 W t Ws 服 从N (0, t s )

则,E[ 有t Ws

2Wn



]

+

-

x e

x  22n2 (t  )s

xd

2

t(  )s+

-

记F2n = 

x

e

x2 2 2n (t s )

d

西安x电子技大科学 —学与统数计学院 冯林

Sc海hoolof Math maetic asndS ttastiisc Xidan Uiivensityr

随过程机S ochtastic Pocress

有E[则 tW sW

2

n

 ]

+

-

x e

2x n22 t( )s

dx

2 (t s )

(

2 n 1) (t  s)F 2n  22F n 2 (t  s)2

=

(

2n !) n n t s 2n

!

西安子电科大技学— 数学统计学院 与冯海林

choSlo o fMahtmetaci snadS ttiatiscs XdiainU

nievrsiyt

随机过

程tocShstaic rPoces

s

朗运动的仿布样真轨本

道

安电西子技大科 —学学数与计统学院 冯海

Sc林ohl oo Mfahematict sad nSattsiitcs Xdiain Uniervstyi

随机

过程S otchatsic roPesc

s

布朗运 {W动t(,)≥0t} 的轨是道不可微

的事

上实有，

W t P(l im  ) x 1 t0 

t

安西电科子大技学 数学与—统计学 院冯海林S

choo ol fMtaemhaitsc ad SnattsitcisXi dina Uivnrseity