数列求和的方法
1、公式法：
如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求.
n (a 1+a n )n (n -1)② 差数列求和公式：S n ==na 1+d 22
⎧na 1(q =1)
n ②等比数列求和公式：S =⎪利用等比数列求和公式时注意分q =1或q ≠1讨论。 ⎨a 1(1-q )a 1-a n q n =(q ≠1)⎪1-q 1-q ⎩
2常见的数列的前n 项和：1+2+3+……+n=n (n +1) ， 1+3+5+„„+(2n-1)=n 2
1+2+3+……+n=n (n +1)(2n +1) ，13+23+33+……+n3=⎡n (n +1) ⎤等. ⎢6⎣2⎥⎦22222
2、倒序相加法：
类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{a n }，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.
x
例1、 已知函数f (
x )=1）证明：f (x )+f (1-x )=1；（2）求f ⎛1⎫+f ⎛2⎫+ +f ⎛8⎫+f ⎛9⎫的值. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝10⎭⎝10⎭⎝10⎭⎝10⎭解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，
⎛1⎫⎛9⎫⎛2⎫⎛8⎫⎛5⎫⎛5⎫f ⎪+f ⎪=f ⎪+f ⎪= =f ⎪+f ⎪=1 ⎝10⎭⎝10⎭⎝10⎭⎝10⎭⎝10⎭⎝10⎭
⎛1⎫令S =f ⎪+⎝10⎭⎛2⎫f ⎪+ +⎝10⎭⎛8⎫f ⎪+⎝10⎭⎛9⎫f ⎪ ⎝10⎭
⎛9⎫则S =f ⎪+⎝10⎭⎛8⎫f ⎪+ +⎝10⎭⎛2⎫f ⎪+⎝10⎭⎛1⎫⎛1⎫f ⎪ 两式相加得：2S =9⨯⎛f ⎪+ ⎝10⎭⎝⎝10⎭9⎛9⎫⎫f ⎪⎪=9 所以S =. 2⎝10⎭⎭
小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.
例2、求sin 1+sin 2+sin 3+⋅⋅⋅+sin 88+sin 89的值
解：设S =sin 1+sin 2+sin 3+⋅⋅⋅+sin 88+sin 89…………. ①
将①式右边反序得：S =sin 89+sin 88+⋅⋅⋅+sin 3+sin 2+sin 1…………..② （反序）
① +②得（反序相加）2S =(sin1+cos 1) +(sin2+cos 2) +⋅⋅⋅+(sin89+cos 89) ＝89
又因为 sin x =cos(90-x ), sin x +cos x =1 ∴ S ＝44.5
3、错位相减法：
类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.
若a n =b n ∙c n ，其中{b n }是等差数列，{c n }是公比为q 等比数列，令
S n =b +1c 1+b 2c 2 222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c +3+3n -b -c n 1+1n b c 则qS n = b 1c 2+b 2c 3+b 3c 4+ +b n -1c n +b n c n +1 n
两式相减并整理即得
例3、求数列2462n , 2, 3, ⋅⋅⋅, n , ⋅⋅⋅前n 项的和. 2222
2n 1解：由题可知，{n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n }的通项之积 22
设S n =2462(n -1) 2n +2+3+⋅⋅⋅++n …………………………………① 2222n -12
12462(n -1) 2n S n =2+3+4+⋅⋅⋅++n +1………………………………② （设制错位） n 222222
222222n +2+3+4+⋅⋅⋅+n -n +1 （错位相减） 222222
12n n +2 =2-n -1-n +1 ∴ S n =4-n -1 222① ②得(1-) S n =
小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列{c n }的公比q ；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和的公式求和.
例4．已知数列1, 3a , 5a 212, , (2n -1) a n -1(a ≠0) ，求前n 项和。
思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，„2n-1与等比数列a 0, a , a 2, , a n -1对应项积，可用错位相减法求和。 解：S n =1+3a +5a 2+ +(2n -3) a n -2+(2n -1) a n -1
-1aS n =a +3a 2+5a 3+ +(n 2-a 3n ) +(1) ) 2n (-2a n 1) (
(1)-(2):(1-a ) S n =1+2a +2a 2+2a 3+ +2a n -1-(2n -1) a n 2a (1-a n -1) 1+a -(2n +1) a n +(2n -1) a n +1
n 当a ≠1 时, (1-a ) S n =1+-(2n -1) S n =22(1-a ) (1-a )
当a =1时, S n =n 2
4、裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n ⎧c ⎫项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似⎨⎬（其中{a n }是各项不为零的等a a ⎩n n +1⎭
差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：
（1）11111⎛11⎫k =1，特别地当时， =-= -⎪n n +1n n +1n n +k k ⎝n n +k ⎭
1=k （2
，特别地当k =
1= 11111111(4).=[-]=(-) (3).n (n +1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2) (2n -1)(2n +1) 22n -12n +1
例5、 在数列{an }中，a n =
解： ∵ a n =12n 2++⋅⋅⋅+，又b n =，求数列{bn }的前n 项的和. n +1n +1n +1a n ⋅a n +112n n 211++⋅⋅⋅+= ∴ b n ==8(-) （裂项） n +1n +1n +12n n +1⋅22
1111111)] （裂项求和） ∴ 数列{bn }的前n 项和 S n =8[(1-) +(-) +(-) +⋅⋅⋅+(-22334n n +1
18n 1n ) ＝ =1-= ＝8(1- n +1n +1n +1n +1
小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.
例6、 求数列1
1+2, 1
2+1, ⋅⋅⋅, 1n +n +1, ⋅⋅⋅的前n 项和. 解：设a n =n +n +1
1+=n +1-n （裂项） 1
n +n +1则 S n =1
2+1+2+⋅⋅⋅+ （裂项求和）
＝(2-) +(3-2) +⋅⋅⋅+(n +1-n ) ＝n +1-1
5、分组求和法：
有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列. 若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
-1-2-3-n 例7、求和：S n =2-3⨯5+4-3⨯5+6-3⨯5+ +2n -3⨯5
-1-2-3-n 解：S n =2-3⨯5+4-3⨯5+6-3⨯5+ +2n -3⨯5 ()()()()()()()()
1⎡⎛1⎫⎤⎢1- ⎪⎥n 5⎢5⎭⎥⎡⎤-1-2-3-n ⎝31⎛⎫⎣⎦2=(2+4+6+ +2n )-35+5+5+ +5=n (n +1)-3⨯=n +n -⎢1- ⎪⎥ 14⎢⎣⎝5⎭⎥⎦1-5
小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解. n ()例8、求和：①S n =1+11+111+ +11 1
n 个
解析
1k 2k a k =11 1=1+10+10+ +10=(10-1) 9k 个11S n =[(10-1) +(102-1) + +(10n -1)]=[(10+102+ +10n ) -n ]99n n +1110(10-1) 10-9n -10=[-n ]=9981
2222226、合并求和法：如求100-99+98-97+ +2-1的和。
7．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等