第32卷第3期2013年3月大学物理COLLEGE PHYSICS Vol．32No．3Mar．2013
推导广义的反射定律和折射定律的两种方法
韩
璐，王兆娜
（北京师范大学物理系应用光学北京市重点实验室，北京100875）
摘要：考虑到位于两物质界面上的超界面对光线传播行为的影响，从费马原理和麦克斯韦方程组两种角度出发，推导了回归为通常的反射定律和可用于相位突变界面的广义反射与折射定律．该定律在界面上对光波的相位改变量为零的情况下，
折射定律．同时，本文还利用广义的折射定律和反射定律给出了全反射和全透射发生的条件，简要讨论了介质折射率、界面性质等因素对光传播行为的影响，发现利用广义的反射定律和折射定律可以实现对光波的随意控制，以此为基础可以设计用于不同场合的性能优良的光学器件．
关键词：超界面；折射定律；反射定律；相位突变界面中图分类号：O 435．1
文献标识码：A
文章编号：1000-0712（2013）03-0049-04
费马原理与光的直线传播定律、反射定律和折
射定律具有同等重要的意义，可以说后者是前者的必然结果，即由费马原理可推出光的直线传播定律、反射定律和折射定律．折射定律和反射定律又是几何光学的基础，具有非常重要的物理意义．通常，人们认为影响光传播的因素是介质，反射角和折射角而光的大小与光在这两种介质中传播的速度有关，在介质中的速度是由介质本身的光学属性决定的．也就是说，光的传播方式是由两种介质的光学属性
与它们中间的界面无关．这种处理问影响和决定的，
题的方式假设物质界面是一理想的不改变光波任何
信息的边界而已．
随着纳米加工技术的发展，出现了具有与传统材料不同的反常性质的超材料（metamaterial ），通过在材料的关键物理尺度上的结构进行有序设计，从而突破某些表观自然规律的限制，获得超出自然界固有的普通性质的超常材料功能．现今发展出的超
：“左手材料”、、“超磁性材料”材料有光子晶体等
［1］
用超界面设计的光学器件具有轻薄的特点，在军事
［8］
上具有重要的应用价值．
随着超界面的发展与实现，各种超表面
［2-8］
被理
论设计和实验实现．与理想的边界不同，超界面可以改变光波的波前、相位和偏振态，这就使得光的传播不再遵循普通的反射与折射定律
［9，10］
．因此，针对这
种新兴超界面，利用不同的方法推导广义的反射定律和折射定律就显得非常必要．本文基于费马原理和麦克斯韦方程组，通过两种方法推导了考虑界面
并讨论了上有相位突变的广义的反射和折射定律，一些相关因素对光传播的影响，探讨广义的反射定
律和折射定律的物理内涵．
1
由费马原理推导广义的反射定律和折射定律
通常，光波的波前是可以利用透镜、棱镜、衍射
元件如光栅和全息图等光学元件通过相位变化的逐渐累积而被调控的．变换光学提出以后
［11，12］
，控制
．不同的超材料有不同的特殊性质，具有非常广
阔的应用前景．其中，超界面（metasurface ）是超材料
应用的一个重要领域，它通过在纳米尺度的人工操使界面具有与传统界面不同的新特性，利用超界作，
面可以实现对光波的任意控制，具有重要的应用价值．科学家们已经设计应用超界面来实现对光波偏振态和波前的随意控制，超界面还可以实现完全透射
［2］
［3-6］［7］
、、增强天线辐射性能超吸收等功能．利
光波波前的思想得以更进一步的发展，各种控制和
例如，变换光波波前的新型的光学器件被设计出来，利用超材料使光线反常弯曲，产生了负折射现象，实
现了平面波和球面波的转换等．这些控制光波波前的方法是基于麦克斯韦方程组的坐标协变性和坐标变换的思想提出的．与此不同的是，研究者们在光路中引入波长尺度的相位突变可以产生新的控制波前的自由度，同时，光的传播符合费马定理
［9，10］
．这样，
收稿日期：2012－09－23；修回日期：2012－10－30
基金项目：国家自然科学基金（No．11104016）、高等学校博士学科点专项科研基金和北京师范大学教改项目资助．作者简介：韩璐（1989—），女，吉林洮南人，北京师范大学2008级本科生．
我们就可以从费马原理出发推导出广义的折射和反射定律．
B 两点之间光波沿着光程费马原理是指在A ，
为了简化，假设沿着界面的相位变化率是恒定
即d Φ/d x 为定值，由式（1）可以导出广义的斯涅的，耳折射定律
n t sin θt －n i sin θi =
λ0d Φ
2πd x
（2）
∫
B A
n （r ）d r 取极值的方向传播，其中n （r ）是介质的折
射率．光程对光波来说，体现的是相位的改变，因此，在一般形式中，费马定理可以理解为在实际光路中即光波的相位变化函数的光波的相位变化取极值，变分为零，记为
由式（2）可知，若提供合适的相位梯度d Φ/d x 值则
折射光束可以有任意的传播方向．这一修正的斯涅耳定律中非零的相位梯度使得入射角为ʃ θi 的光波
全反射的临界角也有两个，有不同的折射角．因此，假设n t ＜n i ，则有
θtc =arcsin ʃ
∫
B A
d φ（r ）=0．对于通常的理想界面，
可以利用该公式导出常用的反射定律和折射定律．如果在两介质的界面上引入波长尺度的相位突变
Φ（r s ），它取决于界面上的坐标r s ．光波在不同路径上的总相位变化变为Φ（r s ）+
(n t λ0d －
n i 2πn i d x )
（3）
∫
B A
k ·d r ，其中第一
由式（3）可以看出：当光波由光密介质射向光
疏介质时，对于有相位突变的界面不仅可能存在两个全反射临界角，而且全反射临界角的数量和大小
还和与入射媒质和出射媒质的折射率n t 和n i 有关，入射光的波长λ0和界面上的相位变化梯度d Φ/d x
n t λ0d Φ－有关．当这几个参数满足－≥－1，即n i 2πn i d x
d Φ2π≤（－n t +n i ）时，界面上存在两个全反射临界d x λ0
d Φ2π
＞（－n t +n i ）角，而当时，界面上存在一个全d x λ0
当光波由反射临界角．与通常的折射定律不同的是，光疏介质射向光密介质（即n t ＞n i ）时，也可能存在
d 一个全反射临界角，全反射临界角出现的条件为
d x ≥（n t －n i ）
2π
这些反常的结果，是相位梯度的引入λ0
使得对称性被破坏所造成的．
项为由界面引起的位相突变，第二项为光波在传播
k 是光在路径上因光程的变化而引入的相位变化，介质中的波矢．由费马原理可以知道，实际的光路中
光波总相位应该取极值．这是适用于界面上有相位利用它可以得到广义的反突变的广义的费马原理，
射定律与折射定律．
在界面上引入相位突变Φ（r s ），相位突变量是界面上的位置坐标的函数，表现为相位改变不固定．考虑一束平面波以θi 角入射到该界面上，定义入射
B 点之间有面与界面相交的线为x 轴，并假设在A 、他们都与实两个路径分别为ADB 和AEB （见图1），
际光路无限接近，则他们之间的相位差为零．即（k 0n i sin θi d x +Φ+d Φ）－（k 0n t sin θt d x +Φ）=0（1）θt 为折射角，Φ和Φ+d Φ分别为两个光路通过界
d x 是界面上两点面时相位不连续产生的相位变化，
n i 和n t 是两个介质的折射率，k 0=2π/λ0，的距离，其
中λ0为真空中的波长．由式（1）可以看出，只要给出界面上相位改变的函数和入射角，就很容易确定光波的折射角，得到光波在这种界面上的传播行为．
C 点之间有两个路径同理，对于反射，假设在A 、
分别为AHC 和AGC （见图2），他们都与实际光路无他们之间的相位差为零，则有限接近，
（k 0n i sin θi d x +Φ+d Φ）－（k 0n i sin θr d x +Φ）=0（4）在假设沿着界面的相位变化率为恒定，即d Φ/d x 为定值的情况下，由式（4）可以导出广义的斯涅耳反射定律
λ0d （5）
2πn i d x
其中θr 为反射角．由式（5）可以看出，反射角θr 与入射角θi 之间的关系是非线性的，这与传统的镜面反射有明显不同．由该式可知，对于有相位突变的界面
sin θr －sin θi =
来说，存在一个合适的入射角，使得在入射角大于它
图1界面上有相位差的折射
图2界面上有相位差的反射
图3
光在界面上反射和折射示意图
时，反射光消失．类比于全反射临界角，该临界角可
以定义为全透射临界角，其值为
θrc =arcsin ʃ 1－
(
λ0d Φ
2πn i d x
)
（6）
k i m i =k r m r =k t m t
k i l i x =k r l r x －Φ（x ）=k t l t x －Φ（x ）
（8）（9）
由式（6）可以看出：对于有相位突变的界面存在一个全透射临界角．不管光波是由光疏媒质射向光密媒质n t ＞n i ，还是由光密媒质射向光疏媒质n t ＜n i ，该透射临界角总是存在的，且该临界角由入射媒质n i 、入射光的波长λ0和界面上的相位变化梯度d Φ/d x 来决定．
0，cos θi ）可知，m r 由入射波的波矢量k i =k i （sin θi ，
=m t =0，这表明反射波和折射波的波矢量也在xOz 平面内，即反射光线和折射光线都在由入射光线和反射界面法线所在的入射面内．
l t =sin θt ，对反射波和折射波有l r =sin θr ，代入
式（9）可得
ωω
n i sin θi x =n i sin θr x －Φ（x ）=c c
ω
n sin θt x －Φ（x ）c t
（10）
2由边界条件推导反射折射定律
通常，电磁超材料或电磁超表面是由周期排列
微结构的尺寸小于目标电磁波的的微结构构成的，
波长，而又远大于构成物质的原子或分子尺寸，因
此，对目标电磁波来说，电磁超材料或电磁超表面可边界条件对电以被看做均匀材料．基于上面的分析，磁超界面来说应该仍然成立．
x 轴在两物质的假定光波的入射面为xOz 平面，
入射光波为平面波且波矢为k i 入射角为分界面上，
θi ，反射光波的波矢为k r ，反射角为θr ，折射光波的波矢为k t ，折射角为θt ，如图3所示．由电场强度的切向分量连续可得
E i x +E r x =E t x
其中
E i x =A i x e －i ［ωi t －k i （l i x +m i y +n i z ）］E r x =A r x e －i ［ωr t －k r （l r x +m r y +n r z ）E t x =A t x e －i ［ωt t －k t （l t x +m t y +n t z ）
+Φ（x ）］+Φ（x ）］
考虑到式（10）对任意的x 都是成立的，则有等式
d Φ（x ）ωω
n i sin θi =n i sin θr －=c c d x
d （x ）n t sin θt －c d x
由此可得到反射定律和折射定律：
反射定律折射定律
sin θr －sin θi =
λ0d Φ（x ）
2πn i d x
（12）（11）
n t sin θt －n i sin θi =
λ0d Φ（x ）
（13）
2πd x
（7）
对比可以看出，由费马定律和利用边界条件推得的用于相位不连续界面的广义的反射定律和折射定律完全一致，这说明在超界面存在的界面上，边界条件仍然成立．进一步可利用该广义的反射定律和折射定律推得相应的菲涅耳公式，并分析界面的反射率和透射率．
m α、n α为波矢量k i 、k r 和k t 三个方向余弦．其中l α、
在界面（z =0）上，边界条件应在任意时刻t 和y ，z ）都成立，任意点（x ，由t 前的系数相等可得ωi =ωr =ωt ，它表明反射波和折射波的频率与入射波的频率相等．由x 和y
前的系数相等可得
3总结与讨论
由广义的反射和折射定律可知一束光的入射角
为θi ，则反射角可以表示为
θr =arcsin sin θi +
折射角表示为
θt =arcsin
[
λ0d Φ
2πn i d x
]]
（14）
也将会带来很多崭新的概念操纵反射光和折射光，
这会促使更多的新型材料的产生和发展，进和变化，
而衍生出能应用这项技术的产品，例如隐形衣、相控
天线阵、平面透镜、偏振转化器、完美减震器和空间相位调制器等，这让我们不得不期待一个充满希望的未来．
[
n i λ0d Φsin θi +n t 2πn t d x
（15）
式（3）和式（6）分别为使反射光和折射光消失的临
界角，当入射角大于θrc 时，反射光消失；当入射角大于θtc 时，折射光消失．
对于广义的折射和反射定律，当
d Φ
=0时，即界d x
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（下转58页）
面为通常的理想界面时，式（14）和式（15）退化为通
［13，14］
．这意味着，常的折射定律和反射定律广义的折射和反射定律包含通常的折射和反射定律，换言
通常的折射和反射定律是广义的折射和反射定之，
律的一种特殊情况．由式（14）和式（15）可以看出：在界面上引入相位改变后，反射角和折射角的大小除了与入射角有关以外，还与介质的折射率、入射光的波长、界面上的相位梯度有关．这些可以控制的参数将为随意的控制光波提供便利．
值得说明的是，在上面的推导和讨论中，我们假设相位突变量Φ是界面上位置的连续函数，并且相位梯度d Φ/d x 为常数，因此，入射光波所有的能量都遵循广义的反射定律和折射定律，全部转移到了反常反射和反常折射当中，与光波的偏振状态无关．这种由相位不连续造成的反常折射现象和那些已经
负磁通率以及介电发现的超材料中由负介电常数，
常数张量的各向异性所造成的现象是有本质不同
的．当相位梯度d Φ/d x 为变量时，入射光波所有的能量仍然遵循广义的反射定律和折射定律，但会出现分光现象，即光束被分成不同的方向传播．这一特性使得我们可以通过调节d Ф/d x 的值来控制分光行为，从而利用超界面实现微型的分束器．打破传统的反射与折射定律，在光路中引入相
广义的反射与折射定律为人们对波前的设位突变，
计和操控打开了一片新天地，这项理论为我们提供
［9，10］
了设计光学器件的新思路．有研究者用等离子材料制成的V 形天线阵列已实现了对光波相位的改变，实验验证了广义的折射与反射定律．这种采用V 形天线改变光波相位的方法，对激发的交叉极化散射光是可控的，遵循广义的折射和反射定律．而原极化散射光仍然是不可控的，遵循传统的折射和反射定律．如果能设计出对任意偏振化方向的光波都有相同的相位改变量的超界面，将可达到真正意义的
Optics Express ，201119（15）：
58大学物理2010．社，
第32卷
［u x ］h （t ）均不为零的情况显然是x =l =h （t ）且g （t ）、
不合理的．
［2］吴崇试．数学物理方法［M ］．2版．北京：北京大学出版
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参考文献：
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A method of simultaneously homogenizing boundary conditions
and differential equation
YAO Duan-zheng
（School of Physics and Technology ，Wuhan University ，Wuhan ，Hubei 430072，China ）
Abstract ：One of the un-determined functions methods for solving the deterministic problems with non-homo-geneous boundary conditions by using the method of variable separation has been presented ，which can homogenize boundary conditions and differential equation simultaneously．Also the deterministic problems of three typical kinds of mathematical physical equations with the first ，the second or the third type of the non-homogeneous boundary conditions are discussed ，respectively．The specific conclusions and the solving model are presented．
Key words ：method of separation of variables ；non-homogeneous boundary conditions ；wave equation ；trans-port equation ；Laplace equation ；three kinds of boundary conditions ；second －order linear ordinary differential e-quation
（上接52页）
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［13］赵凯华，．北京：陈熙谋．新概念物理教程：光学［M ］
2003：270-271，310-318．高等教育出版社，
［14］姚启钧．光学教程［M ］．北京：高等教育出版社，2008：
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Two methods for general laws of reflection and refraction
for metasurface with phase discontinuity
HAN Lu ，WANG Zhao-na
（Applied Optics Major Laboratory of Beijing ，Department of Physics ，Beijing Normal University ，Beijing 100875，China ）
Abstract ：Considering the abrupt phase shift at the interface between the two media ，the general reflection and refraction laws at the metasurface with the abrupt phase shift are derived by the two methods based on Fermat's principle and the boundary conditions of continuity ，respectively．It is found that the tradition reflection and refrac-tion laws are the special cases of the generalized reflection and refraction laws when the phase shift gradient is equal to zero．Based on the generalized laws of reflection and refraction ，the occurrence conditions of the total internal re-flection and the full transmission are given and the effect of the refraction index and the phase shift gradient are dis-cussed．It is shown that the arbitrary controlling of the electromagnetic waves can be easily achieved．
Key words ：metasurface ；reflection law ；refraction law ；abrupt phase shift