一、填空题(每小题3分,共30分)
1. 设A,B 为相互独立的两事件,P(A)=0.7, P(B)=0.8, 则事件A 、B 至多有一个发生的概率为2. 设某学习小组有10位同学,其中4位女生,6位男生,今任选3位组成一个代表队。则代表队由1位
12C 4C 1
女生和2位男生组成的概率为36=.
C 1023. 设P (A -B ) =0.5, P (AB ) =0.3, 则P (A ) =4. 设X 在区间[1, 5]上均匀分布, 即X ~U [1,5] 则5. 设X ~B (200,p ), 且EX =100, 则p =⎛σ2⎫1n
6. 设X 1, K , X n 独立同N (m , s ) 分布,=åX i ,则~N μ, ⎪.
n i =1n ⎝⎭
2
ìï2e -2x , x >0ï. í
ïx £0ï0,
8. 设X 与Y 为任意两随机变量,DX=1, DY=4, r XY =0.6 则D (X -Y ) 9. 设X 1, X 2, X 3, X 4是总体X 的一组简单随机样本,EX =m , 则下列统计量
1
7. 设X 服从指数分布,且EX =, 则X 的概率密度函数为f (x ) =
2
X 1+X 2+X 3+X 4X +X 2+X 3
, T 2=1, T 3=2X 4-X 1, T 4=X 1+X 2
43
中有____3____个是m 的无偏估计量.
T 1=
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 设事件A 在某试验中发生的概率P (A ) =p (0
P (X =k ) =p (1-p ) k -1, k =1,2, L 。
二、解答下列各题(每小题5分,共15分)
1. 某人投篮的命中率为0.7, 独立地投篮10次. 记X 为命中的次数。 (1) 写出X 的分布律; (2) 求至少命中一次的概率 .
k
【解】(1)P (X =k ) =C 100.7k 0.310-k , k =0,1, ,10. …………3分
(2)P (至少命中一次)=P (X ≥1) =1-P (X =0)
=1-0.310=0.999994. …………5分
2.
【解】(填写上表中最后一行Y =|X |-1的值) …………1分
EY =0.1-0.3=-0.2,EY 2=0.1+0.3=0.4 …………3分
2
--(0. 2=) 0. DY =0. 4 3 6. …………5分
3. 设X 1, L , X 100为X 的简单随机样本,已知EX =2, DX =4, 利用独立同分布中心极限定理求
Y =
å
100
X i 150的概率。(注:标准正态分布表,见第6页)
i =1
【解】EY =200, DY =400
⎛Y -200150-200⎫⎛Y -200⎫
P (Y ≤150) =P ≤=P ≤-2.5⎪ ⎪ …………2分
20⎝20⎭⎝20⎭
≈Φ(-2.5) =1-Φ(2.5)=1-0.9938
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=0.0062. …………5分
三、解答下列题(第1~3小题各6分;第4、5小题各8分,共34分)
x 2
⎧-⎪2
1. 设连续型随机变量X 的分布函数为F (x ) =P (X ≤x ) =⎨1-e , x ≥0.
⎪x
(1)求X 的概率密度函数f (x ); (2)求P (-2
【解】(1)由x ≠0时,f (x ) =F '(x ), 得
⎧-x
⎪2
f (x ) =⎨xe , x >0; …………3分
⎪x ≤0⎩0,
(2)P (-2
2. 设有一批同类产品由某厂的甲、乙、丙三个车间生产,其产量分别为批量的25%、35%、40%,次品率分别为5%、4%、2%,从这批产品中任取一件。【提示:分别以A 、B 、C 表示取到甲、乙、丙车间的产品;D 表示取到次品】 (1) 求取得次品的概率;(2)已知取得次品,求该次品是乙车间生产的概率. 【解】(1)P (D ) =P (A ) P (D |A ) +P (B ) P (D |B ) +P (C ) P (D |C )
[1**********]5
=++==0.0345 …………3分
[***********]10000
P (B ) P (D |B ) 35%⨯4%14028
====0.4058. …………6分 (2) P (B |D ) =
P (D ) 345/1000034569
2
⎧1
⎪, -1
3. 设X 的概率密度f X (x ) =⎨2, 求Y =X 的概率密度函数f Y (y ).
⎪others ⎩0,
【解】F Y (y ) =P (Y ≤y ) =P (X 2≤y ) 当y ≤0时,F Y (y ) =P (X 2≤y ) =0,
f Y (y ) =0; …………2分
当y >
0时,F Y (y ) =P (X 2≤y ) =P (X ≤=F X -F X (
f Y (y ) =
f X
+f X ( …………4分
)
0
所以,Y 的分布密度函数
0
f Y (y ) =0, others ⎩
(1)求X 和Y 的边缘分布律(填入上表中) ;(2)求XY 的数学期望E(XY); (3)求Z =min(X , Y ) 的分布律.
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【解】(1)(见上表) …………3分 (2)E (XY ) =-0.2+0.2=0 …………5分 (3)
⎧32
⎪x y , 0≤x ≤1,0≤y ≤2
5. 设(X,Y)的联合概率密度为f (x , y ) =⎨2.
⎪others ⎩0,
(1) 求X 及Y 的边缘概率密度函数f X (x ), f Y (y );
(2)指出X 与Y 的独立性,并说明理由。
⎧232+∞2
⎪⎰0x ydy =3x , 0≤x ≤1
; …………3分 【解】(1)f X (x ) =⎰f (x , y ) dy =⎨2
-∞⎪0, others ⎩
y ⎧132
⎪⎰0x ydx =, 0≤y ≤2
; …………6分 f Y (y ) =⎰f (x , y ) dx =⎨22
-∞⎪0, others ⎩
(2)X 与Y 相互独立,因为f (x , y ) =f
X (x ) f Y (y ), -∞
+∞
四、解答下列题(每小题7分,共21分)
1. 设某自动化包装机包装每袋重量X ~N (m , s 2) (单位:g ), 其中m 和s 2均为未知参数,从总体X 中抽取容量n=10的一组样本,其样本值为:
495,492,513,505,501,505
,492,489,490,498. ① 指出枢轴量T =
求m 的置信水平为0.90的置信区间. 1n 1n
2
(x i -) 2】 【提示:样本均值=åx i ,样本方差观测值s =ån i =1n -1i =1
【解】(1
)枢轴量T =
(2)由P (≤t 0.05(9))=0.9~t (n -1); …………2分
≤t 0.05(9),解得
-0.05(9)≤μ≤-0.05(9) …………4分
又计算得x =498, s =7.874,查表得t 0.05(9)=1.8331,m 的置信水平为0.90的置信区间:
[493.44,502.56] …………7分 2. 设X 1, , X n 是来自总体X 的样本,且X 的概率密度为
⎧λ3x 2-λx
e , x >0⎪
,其中未知参数λ>0. f (x ; λ) =⎨2
⎪0, others ⎩
(1) 求参数λ的最大似然估计量;
(2) 当样本均值的观测值=0.001时,求λ的最大似然估计值.
【解】(1)似然函数
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2
n
(x 1x 2 x n ) 2
-λ∑x i , x 1, , x n >0 对数似然函数 ln L =3n ln λ+ln n
2i =1
d ln L 3n n
=3 …………5分 =-∑x i =0得,λ的最大似然估计量为λ令
d λλi =1 =3=3000. …………7分 (2)当=0.001时,λ的最大似然估计值λ
0.001
3. 设某自动生产设备加工一种机器零件,尺寸误差X ~N (m ,1) (单位:10分之一毫米). 现抽取容量为
i =1
L (x 1, , x n ; λ) =
λ
3n n
2
∏x i 2e
n -λ
∑x i
i =1
n
=
λ
3n n
(x 1x 2 x n ) 2e
-λ
∑x i
i =1
n
, x 1, , x n >0………2分
n =10的一组样本,计算得x =1.01, 在显著性水平a =0.05之下,检验该设备工作是否正常(即H 0:m =0)?试写出检验的过程(包括:原假设H 0、备择假设H 1;检验统计量及其分布;拒绝域;检验统计量的观测值及结论) 【解】H 0:m =0; H 1:m 0;
由Z =
=~N (0,1)得,当H 0成立时,检验统计量
Z ~N (0,1) …………3分
由P (|Z |≥z 0.025) =
0.05得,拒绝域:(x 1, x 2, , x n ) |z |{
>z 0.025=1.96 ……5分
}
由题给数据,n =10, x =1.01得检验统计量Z
的观测值|z |=3.194>1.96,所以,应否定H 0,即
5下,认为误差均值与零有显著差异(该设备工作不正在显著性水平a =0. 0之
常)。 …………7分
x
-t 2
附表2:t 分布表(部分)P (t (n ) >t a (n )) =a
2
附表3:c 2分布表(部分)P (c 2(n ) >c a (n )) =a
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