3.6 圆和圆的位置关系
学习目标:
经历探索两个圆位置关系的过程，理解圆与圆之间的位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d ，半径R 和r 的数量关系的联系． 学习重点:
两圆的位置关系，相切两圆的性质．两圆的五种位置关系的描述性定义，要注意数学语言的严谨性和准确性，必须注意讲清关键性词语（如谁在谁的外部、内部、惟一公共点等）．圆与圆的位置关系也可以与点和圆、直线和圆的位置关系类比记忆，每种位置关系可归纳为相离、相交、相切三类．相切两圆的性质是由圆的对称性决定的，两个圆组成的图形也是轴对称的，对称轴是连心线． 学习难点:
相切两圆位置关系的性质的理解． 学习方法:
教师讲解与学生合作交流探索法. 学习过程: 一、例题讲解：
【例1】 已知⊙A 、⊙B 相切，圆心距为10cm ，其中⊙A 的半径为4cm ，求⊙B 的半径．
【例2】 定圆O 的半径是4cm ，动圆P 的半径是1cm ．当两圆相切时，点P 与点O 的距离是多少？点P 可以在什么样的线上移动？
【例3】 已知两个圆互相内切，圆心距是2cm ，如果一个圆的半径是3cm ，那么另一个圆的半径是多少？
【例4】 已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．内含
C ．内切
D ．外切
【例5】 如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1m 的水泥管，两两相切地堆放在一起，其最高点到地面的距离是 ．
【例6】 一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位线．若分别以这个梯形的上底和下底为直径作圆，这两个圆的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相交
C ．外切
D ．内切
【例7】 两圆的圆心坐标分别是（3，0）和（0，1），它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相交
C ．外切
D ．内切
【例8】 两枚如图3-6-4同样大小的硬币，其中一个固定，另一个沿其周围滚动，滚动时两枚硬币总是保持有一点相接触（相外切），当滚动的硬币沿固定的硬币周围滚动一圈，回到原来的位置时，滚动的那个硬币自转的周数是多少
【例9】 ⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3两两外切，切点为A 、B 、C ，它们的半径为r 1、r 2、r 3． （1）若△O 1O 2O 3是直角三角形，r 2：r 3=2：3，用r 2表示r 1；
（2）若△O 1O 2O 3与以A 、B 、C 为顶点的三角形相似，则r 1、r 2、r 3必须满足什么条件？
二、课内练习：
1．已知半径为1厘米的两圆外切，半径为2厘米且和这两圆都相切的圆共有 个． 2．三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，以三角形三个顶点为圆心的三个
圆两两外切，则此三个圆的半径分别为 三、课后练习：
．
1．以平面直角坐标系中的两点O 1（0，3）和O 2（4，0）为圆心，以8和3为半径的两圆的位置关系是（ ）
A ．内切
B ．外切
C ．相离
D ．相交
2．两圆半径之比为3：2，当此两圆外切时，圆心距是10cm ，那么，当此两圆内切时，其圆心距为（ ）
A ．大于2cm 且小于6cm C ．等于2cm
B ．小于2cm D ．非以上取值范围
3．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为6和3，O 1、O 2的坐标分别是（5，0）和（0，6），则两圆的位置关系是（ ）A ．相交
D ．外离
2
2
B ．外切 C ．内切
4．R 、r 是两圆的半径（R ＞r ），d 是两圆的圆心距，若方程x －2Rx ＋r =d（2r －d ）有等根，则以R 、r 为半径的两圆的位置关系是（ ）
A ．外切
B ．内切
C ．外离
D ．相交
5．已知半径分别为r 和2r 的两圆相交，则这两圆的圆心距d 的取值范围是（ ） A ．0＜d ＜3r
B ．r ＜d ＜3r
C ．r ＜d ＜2r
D ．r ≤d ≤3r
6．下列说法正确的是（ ）
A ．没有公共点的两圆叫两圆外离 B．相切两圆的圆心距必须经过切点 C ．相交两圆的交点关于连心线对称
D ．若⊙O 1、⊙O 2的半径为R 、r ，圆心距为d ，当两圆同心时，R －r ＞d
7．已知两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，且⊙O 1经过O 2，则四边形O 1AO 2B 是（ ） A ．平行四边形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
8．半径分别为1、2、3的三圆两两外切，则以这三个圆的圆心为顶点的三角形的形状为（ ）
A ．钝角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．直角三角形
9．半径分别为1cm 和2cm 的两圆外切，那么与这两个圆都相切且半径为3cm 的圆的个数是（ ）
A ．5个
B ．4个
2
C ．3个 D ．2个
10．两圆的半径分别是方程x －12x ＋27=0的两个根，圆心距为9，则两圆的位置关系一定是 ．
11．已知两圆外离，圆心距等于12，大圆的半径是7，那么小圆的半径所可能取的整数值是 ．
12．已知两圆半径的比为3：5，当两圆内切时，圆心距为4cm ，那么当此两圆外切时，圆心距应为 ．
13．平面上两圆的位置关系可以归纳为三类，即 、 和 ． 14．已知两圆直径为3＋r ，3－r ，若它们圆心距为r ，则两圆的位置关系是 ． 15．两个半径分别为6cm 的圆，它们的圆心分别在另一个圆上，则其公弦的长是 ． 16．已知⊙O 1和⊙O 2相内切，且⊙O 1的半径6，两圆的圆心距为3，则⊙O 2的半径为 ．
17．两圆的半径之比是5：3，外切时圆心距是32，那么当这两个圆内切时，圆心距为 ．
18．在直角坐标系中，分别以点A （0，3）与点B （4，0）为圆心，以8与3为半径作⊙A 和⊙B ，则这两个圆的位置关系为 ．
19．（1）如图1两个半径为r 的等圆⊙O 1与⊙O 2外切于点P ．将三角板的直角顶点放在点P ，再将三角板绕点P 旋转，使三角板的两直角边中的一边PA 与⊙O 1相交于A ，另一边PB 与⊙O 2相交于点B （转动中直角边与两圆都不相切），在转动过程中线段AB 的长与半径r 之间有什么关系？请回答并证明你得到的结论；
（2）如图2，设⊙O 1和⊙O 2外切于点P ，半径分别为r 1、r 2（r 1＞r 2），重复（1）中的操作过程，观察线段AB 的长度与r 1、r 2之间有怎样的关系，并说明理由．
3.6圆和圆的位置关系
本节课要学习的内容是圆和圆的位置关系，其中包括利用平移实验直观地探索圆和圆之间的几种位置关系，通过讨论两圆圆心之间的距离d 与两圆半径R 和r 之间的关系来确定两圆的位置关系．重点和难点是通过学生动手操作和互相交流探索出圆和圆之间的几种位置关系．
在教学中教师不要只强调结论，要关注学生的动手操作过程，关注他们互相交流的过
程．看学生是否能积极地投入到数学活动中去，在他们困难的时候要适时地给予帮助，要多加鼓励，提高他们学习数学的兴趣，只要学生有了兴趣就成功了一半，他们就能敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验
通过学习本节课的内容，使学生具备一定的识图能力，体会数学活动充满着探索性和创造性，敢于发表自己的观点，并尊重和理解他人的见解，能从交流中获益 教学目标 (一) 教学知识点
1．了解圆与圆之间的几种位置关系．
2．了解两圆外切、内切与两圆圆心距d 、半径R 和r 的数量关系的联系． (二) 能力训练要求
1. 经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力．
2．通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力． (三) 情感与价值观要求
1．通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
2．经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维． 教学重点
探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d 、半径R 和r 的数量关系的联系． 教学难点
探索两个圆之间的位置关系，以及外切、 内切时两圆圆心距d 、半径R 和r 的数量关 系的过程． 教学方法
教师讲解与学生合作交流探索法 教具准备 投影片三张
第一张：(记作§ 3．6 A) 第二张：(记作§3．6 B) 第三张：(记作§ 3．6 C) 教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交．它们的位置关系都有三种．今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢? 没有调查就没有发言权．下面我们就来进行有关探讨． Ⅱ．新课讲解 一、想一想
[师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢?
[生]如自行车的两个车轮间的位置关系；车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系；用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等．
[师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多．下面我们就来讨沦这些位置关系分别是什么．
二、探索圆和圆的位置关系
在一张透明纸上作一个⊙O ．再在另一张透明纸上作一个与⊙O 1半径不等的⊙O 2．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O 1，平移⊙O 2，⊙O 1与⊙O 2有几种位置关系? [师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流．
[生]我总结出共有五种位置关系，如下图：
[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗? 从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑．
[生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部； (2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部； (3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；
(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O 2上的点在⊙O 1的内部； (5)内含：两个圆没有公共点，⊙O 2上的点都在⊙O 1的内部．
[师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗?
[生]外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点． [师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种． 经过大家的讨论我们可知： 投影片(§3．6 A)
(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．
(2)
外离外切
，相切 内含 内切 三、例题讲解 投影片(§ 3．6 B) 两个同样大小的肥皂泡黏 在一起，其剖面如图所示
(点O ，O′是圆心) ，分隔
两个肥皂泡的肥皂膜PQ 成一条直线， TP 、NP 分别为两圆的切线，求∠TPN 的大小．
分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O′P＝OO′，又TP 、NP 分别为两圆的切线，所以PT ⊥OP ，PN ⊥O′P，即∠OPT ＝∠O′PN=90°，所以∠TPN 等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可．
解：∵OP ＝OO′＝PO′， ∴△ PO′O是一个等边三角形． ∴∠OPO′=60°．
又∵TP 与NP 分别为两圆的切线， ∴∠TPO=∠NPO′=90°．
∴∠TPN=360°-2× 90°-60°=120°
四、想一想
如图(1)，⊙O 1与⊙O 2外切，这个图是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是什么? 切点与对称轴有什么位置关系? 如果⊙O 1与⊙O 2内切呢?[如图
(2)]
[师]我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否也组成一个轴对称图形呢? 这就要看切点了是否在连接两个圆心的直线上，下面我们用反证法来证明．反证法的步骤有三步：第一步是假设结论不成立；第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论；第三步是证明假设错误，则原来的结论成立． 证明：假设切点丁不在O 1O 2上．
因为圆是轴对称图形．所以T 关于O 1O 2的对称点广也是两圆的公共点，这与已知条件⊙O 1和⊙O 2相切矛盾，因此假没不成立． 则T 在O 1O 2上．
由此可知图(1)是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上．
在图(2)中应有同样的结论．
通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，图(1)和图(2)都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线． 五、议一议 投影片(§ 3．6 C) 设两圆的半径分别为R 和r ．
(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d 与R 和r 具有怎样的关系? 反之当d 与R 和r 满足这一关系时，这两个圆一定外切吗?
(2)当两圆内切时(R>r)，圆心距d 与R 和r 具有怎样的关系? 反之，当d 与R 和r 满足这一关系时，这两个圆一定内切吗?
[师]如图，请大家互相交流．
[生]在图(1)中，两圆相外切，切点是A ．因为切点A 在连心线O 1O 2上，所以O 1O 2＝O 1A+O2A ＝R+r，即d=R+r：反之，当d ＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O 1、A 、O 2在一条直线上，所以⊙O 1与⊙O 2只有一个交点A ，即⊙O 1与⊙O 2外切．
在图(2)中，⊙O 1与⊙O 2相内切，切点是B. 因为切点B 在连心线O 1O 2，所以O 1O 2＝O 1B-O 2B ，即d ＝R-r ：反之，当d ＝R-r 时，圆心距等于两半径之差，即O 1O 2=O1B-O 2B ，说明O 1、O 2、B 在一条直线上，B 既在⊙O 1上，又在⊙O 2上，所以⊙O 1与⊙O 2内切．
[师]由此可知，当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切 d ＝R+r
当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d ＝R-r 时，两圆相内切，即两圆相内切d ＝R-r ． Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结
本节课学习了如下内容： 1．探索圆和圆的五种位置关系；
2．讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系；
3．探讨在两圆外切或内切时，圆心距d 与R 和r 之间的关系． Ⅴ．课后作业 Ⅵ．活动与探究
已知图中各圆两两相切，⊙O 的半径为2R ，⊙O 1、⊙O 2的半径为R ，求⊙O 3的半径．
分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O 3的半径为r ，则O 1O 3=O2O 3＝R+r，连接OO 3就有OO 3⊙O 1O 2，所以OO 2O 3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O 3的半径r.
解：连接O 2O 3、OO 3， ∴O 2OO 3＝90°，OO 3＝2R-r O2O 3＝R+r，OO 2＝R ∴(R+r)=(2R-r)+R． ∴r=
2
2
2
2R 3
板书设计
3.6圆和圆的位置关系 一、1．想一想
2．探索圆和圆的位置-关系 3．例题讲解 4．想一想 5．议一议 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 备课资料 参考练习
1．⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3 cm和4cm ，若两圆外切，则d ＝_____；若两圆内切；则d ＝____．
2．如果两个圆相切，那么切点和两圆的圆心_____．
3．半径为5 cm的⊙O 外一点P ，则以点P 为圆心且与⊙O 相切的⊙P 能画_______个． 4．两圆半径之比为3：5，当两圆内切时，圆心距为4 cm，则两圆外切时圆心距的长
为_____．
5．两圆内切时圆心距是2，这两圆外切时圆心距是5，两圆的半径分别是______、
6．两圆的半径分别为10 cm和R 、圆心距为13 cm，若这两个圆相切，则R 的值是