Vol.7,No.1高等数学研究
Jan.,2004STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS
51
学生园地
不变子空间的个数问题
何宝林
(南开大学数学系01级 天津 300071)
摘 要 线性空间上线性变换的不变子空间个数有限的充要条件是其特征多项式与其最低多项式相同。关键词 线性变换 不变子空间 特征多项式 最低多项式 中图分类号O151
k
符号的规定:设,A1,A2,,AkIV,以L(Ai|1[i[k)或L(A1,A2,,Ak)表示{
i=1
EAiai|
ai
IP,1FiFk},即由A1,A除特别说明以外,V都指数域P上的n维线性空间,2,,Ak生成的空间。A都指V上的线性变换;A的特征多项式与最低多项式分别记为fA(K),dA(K);fA(K)的不可约因式分解为:fA(K)=
i=1
)FPi(K
s
n
i
。A的不变子空间简记为A-子空间。设W为A-子空间,那么A
W。
也可看成限制在W上的线性变换,记为A|FiFk,那么i=G1ViXV。
k
引理1[2] 设V是数域P上的线性空间,Vi为V的真子空间(Vi为V的子空间且ViXV),1
引理2 设AIV,以d(K)表示{f(K)|f(A)A=0}中次数最低的首一多项式,称为A的A最低多项式,显然d(K)|f(K),若f(A)A=01令degd(K)=k,则W=L(f0(A)A,f1(A)A,,,fk-(A)A)为A-子空间,且dimW=k,其中fi(K)为i次多项式;A|W的特征多项式为d(K)。BW,而dimWc=dimW,故Wc=W。易得A|性变换Ac,使得AcP=PA。设A,A|
W,
W
1
证明 W为A-子空间,且dimW=k,这是显然的。令Wc=L(A,AA,,,Ak-1A),显然Wc
的特征多项式为d(K)。
引理3[1] 设W是A-子空间,P是V到商空间V/W的自然同态,则存在V/W上唯一的线
V/W上Ac的特征多项式分别为f(K),f1(K),f2(K),则
)。Ffi(K
s
f(K)=f1(K)f2(K)。若V可分解为A-子空间的直和:V=V1ÝV2Ý,ÝVs,分别以f(K),fi(K)记为A,A|Fs。且A|明A|
Vi
的特征多项式,则f(K)=
i=1
引理4 V可分解为A-子空间的直和:V=V1ÝV2Ý,ÝVs,其中Vi=kerPi(A)ni,1Fi
V
n
i,自然dimVi=degPi(K的特征多项式为P))。i(Ki
Vi的特征多项式,
证明 前一部分命题的证明从略[1]。设fi(K)为A|
Vi的特征多项式fi(
1FiFs。下面归纳证
K)=Pi(K)mi。
若dimVi=0,显然成立。假设dimViFk时成立。那么当dimViFk+1时,任取非零元AIVi,令ti=min{t|Pi(A)tA=0}。令A的A最低多项式为d(K),则d(K)|Pi(K)ti;又由Pi(K)为不可约因式,可设d(K)=Pi(K)i,而ti=min{t|Pi(A)A=0},故d(K)=Pi(K)i。那么由引理2知Wi=L(AA|0FiFm-1)为Vi的A-子空间,且A|
i
W
i
att
的特征多项式为Pi(K)i,其
t
中(Vi使A,Vi到/i的
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高等数学研究 2004年1月
自然同态。由AcP=PA易得Pi(Ac)niP=PPi(A)ni,故Vi/Wi={Pi(A)nix|xIVi/Wi}。令Vi/Wi上Ac的特征多项式为gi(K),由dimVi/Wi=dimVi-dimWiFk,可归纳假设gi(K)=Pi(K)i。由引理3得fi(K)=Pi(K)iPi(K)i,则当dimViFk+1时命题成立。故对于一切nE0,dimViFn时命题成立。再由f(K)=
i=1
bbt
)=Ffi(K),得fi(K
s
Pi(K)ni。
引理5 设dA(K)=fA(K)=P(K)m,其中P(K)是P上的不可约因式,则A-子空间个数为m+1。
证明 由dA(K)=P(K)m,可设AIV使P(A)m-1AX0。如此理4所证,可得BiA的A最低多项式为P(K)m-i。由引理3得Wi=L(Bt-iAj(BiA)|0FjFk,iFtFm-1)为A-子空间,0FiFm1这里Wm={0}。对任何A-子空间WXV,设t=max{j|BA|W,0FjFm},则B
0FiFm-10FjFk
j
t+1i
AIW,又由W为A-子空间,得Wt+
j
t
1
AW。反设有BIW,但B|
t
kj=0
Wt+1,令B=
j
E
aijBAA。由于W为A-子空间,故BBIW;又由Wt+1AW,得E=B(
Ea0jAA)
IW。
由EIWt且Wt为A-子空间,可得Wc=L(E,AE,,,AkE,Bt+1A,,,Bt+1AkA,,,Bm-1A,,,Bm-1AkA)AWt。
若EX0,则E,,,AkE,Bt+1A,,,Bt+1AkA,,,Bm-1AkA为Wc的一组基。否则有不全为零的数组{bi}1FiF(k+1)(n-t)使b1E+,+bk+1AkE+,+b(k+1)(m-t)Bm-1AkA=0。即
k+1
[P(A)
t
i=1
EbiAEa0iA
i
i=0
k
i
+P(A)t+1
i
k
0FiFn-t-20FjFk
E
bi(k+1)+j+k+2P(A)iAj]A=0
1
0
it+
由A所设知:P(K)|[P(K)iEb)iKEa0iK+P(K=1i=0
mt
k+1
0FjFk
Ei
bi(k+
t-2
1)+j+k+2P(
jK)iK]。再由
kk
t
kk
P(K)|(b1+,+bk+1K)(a00+,+a0kK)
由P(K)为不可约因式且degP(K)=k+1,得(b1+,+bk+1K)(a00+a01K+,+a0kK)=0;又由EX0,得(a00+,+a0kK)X0,那么(b1+,+bk+1K)=0,即b1=b2=,=bk+1=0。那么
P(K)m|P(K)t+1
则bk+2=,=b(k+
AE,B
k
t+1
1)(n-t)
0FiFn-t-2
0FjFk
kk
kk
E
bi(k+1)+j+k+2P(
jK)iK。
=0,与所设{bi}1FiF(k+
m
k
j
1)(n-t)
为不全为零的数组矛盾!故E,,,
A,,,B
t
t+1
AA,,,BAA为Wc的一组其1那么dimWc=dimWt,而WcAWt,故Wc=
k
Wt1那么BAIW,与所设t=max{j|BA|W,0FjFm}矛盾!所以E=0,即a00=,=a0k=01同样得a10=,=a1k=at0=,=at1=,=atk=0,那么BIWt+11矛盾。从而W=Wt+1。(当t=m-1时,Wc=L(E,AE,,,AkE)1)所以{Wi}0FiFm为V所有的A-子空间。
定理 设V是数P上的n维线性空间,A是V上的线性变换,那么A-子空间个数有限的充分必要条件是dA(K)=fA(K)。
证明 必要性。反设dA(K)=则由引理2知,PAI
i=1
)FPi(K
s
nic
Xf1(K),不妨设n1c
V1,L(A,AA,,,An1ck-1A)为A-子空间。
1k,A,n1ck-1,LA,n1ck-1)1
第7卷第1期 何宝林:不变子空间的个数问题
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面归纳构造无穷个不同的A-子空间{Wi}iE1:
先任取AIV1,令W1=L(A,AA,,An1ck-1A),由引理1知,对Pt>1存在AtIV1使At|
t-1
nck-1GWA)=fA(K)。i,令Wt=L(At,AAt,,A1t)。矛盾!故d!(Ki=1
充分性:设W为A-子空间,由引理3,可设A|f1(K)=
i=1
W
的特征多式f1(K)的不可约因式分解为:
m
FPi(K)
s
m
i
,miFni,1FiFs。设Wi={A|AIV,Pi(A)iA=0},显然,WiAVi,
且Wi是Vi上A-子空间,自然Wi是V上A-子空间。由引理4,得W=W1ÝW2Ý,ÝWs。所以,若Vi上A-子空间个数有限,则V上A-子空间个数有限1因而问题归结为证胆Vi上的A-子空间个数有限。由引理5知结论成立。
参考文献
[1]孟道骥.高等代数与解析几何[M].北京:科学出版社,1998146-481[2]杨子胥.高等代数习题解[M].济南:山东科技出版社,[1**********]
(上接24页)
有限聚点。再设f(z)在D =CGD上连续且zlimf(z)=w(])X]。则当级数EResf(z)收y]z=z
n=1
n
]
敛时有
Rf(z)dz=
证明
]
设集合{Zn}1
C
2Pi
n=1
E
]
Resf(z)+2PiResf(z)1z=zz=]
n
(3)
在D内仅有的有限多个聚点
为t1,t2,,,tm,它们都是有限点。设以tj为中心以r为半径的圆Cj(r)及其所围有界区域均含于D,而且f(z)在每个Cj(r)上解析。则当r适当小时这些圆线相离。
这时居于每个Cj(r)外部又含于D的f(z)的奇点的全体Zr是有限集合,故由广义留数定理可得
Rf(z)dz+
C
j=1
E
m
C(r)
Rf(z)dz=
-j
2Pi
zIZ
n
E
Resf(z)+2PiResf(z),z=zz=]
r
n
(4)
其中C-由函数在D =DGC上连续及zlimf(z)=w(])
j=1
m
E
m
C(r)
Rf(z)dz
-j
F
]
j=1
E
m
C(r)
Rf(z)dz
-j
FMm2Pry0 (ry0)
或limry0
j=1
E
C(r)
Rf(z)=
-j
0。利用级数EResf(z)收敛的假设,对(4)式两端取极限即得等式(3)。z=z
n=1
n
参考文献
[1]钟玉泉1复变函数论[M]1北京:高等教育出版社,19791
[2]乔治1波里亚,戈登1拉达(路见可等译),复变函数[M]1北京:高等教育出版社,19851[3]余家荣1复变函数[M]1北京:人民教育出版社,19791
[4]L.Volkovysky,G.LuntsandI.Aramanovich,Problemsinthetheoryoffunctionsofcomplexvariable[M].