主成分分析方法
主成分分析方法是常用的一种统计分析方法,主要用于进行数据压缩或减少数据的维数[2]。它是对一组相关的变量进行线性变换,得到一组维数不变但彼此互不相关的变量,亦即一组主成分。由于各主成分是不相关的,因此可以认为它们是一组独立变量。一般图像的线性变换可用下式表示:
Y=TX (1)
式中:X为待变换图像数据矩阵,Y为变换后的数据矩阵;T为实现这一线性变换的变换矩阵。 如果变换矩阵T是正交矩阵,并且它是由原始图像数据矩阵X的协方差矩阵S的特征向量所组成,则(1)式的线性变换称为主成分分析,并且变换后的数据矩阵的每一行矢量为主成分分析的一个主成分。
主成分分析的优点是消除了波段间的相互关系,减少了各波段提供信息的交叉和冗余,有利于分析。同时,在分析过程中得到主要波段的合理权重,具有很好的客观性。主成分分析法的主要步骤如下:
(1)根据原始图像数据矩阵X,求出它的协方差矩阵S 以矩阵的形式表示多波段图像的原始数 据如下:
X=
x11x12,x1n
x21x22,x2n
s s s s
xn1xn1,xnn
=[xij]m@n(2)
矩阵X中,m,n分别为波段数和每幅图像中的像元数,矩阵中的每一行矢量表示一个波段的图像。
矩阵X的协方差矩阵S为:
S=1n[X-Xl][X-Xl]T(3)
式中:l=[1 1 , 1]1@n(4)
X=[x1 x2 , x3]T(5)
xi=1nEnk=1xik(第i波段的均值) (6)
(2)求协方差矩阵S的特征值Ki和特征向量Ui,并组成变换矩阵T 求解特征方程(KI-S)U=0; 然后将特征值Ki按由小到大的顺序排列,求出对应特征值的单位特征向量Ui,以Ui为列构成矩阵U,U矩阵的转置矩阵,即UT为所求的变换矩阵T。经过主成分变换后得到的新变量的各个行向量依次被称为第一主成分、第二主成分,,第m主成分,这时将新变量恢复为二维图像,便得到m个主成分图像。