《数学史》课程 教学大纲
一 课程说明
1. 课程基本情况- 课程名称：数学史
英文名称：A History of Mathematics 课程编号：2411220
开课专业：数学与应用数学专业 开课学期：第6学期 学分/周学时：2/2 课程类型：专业方向选修课 2. 课程性质
数学史是师范与非师范本科数学专业必修的重要基础课程之一。 任何一门学科都有它自己的产生和发展的历史，数学史就是研究数学的发生、发展过程及其规律的一门学科。 它主要讨论的是数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。
3．本课程 的教学目的和任务
讲授本课程 要贯彻“夯实基础，拓宽视野，培养能力，提高素质”的教育方针，依据“有用、有效、先进”的教改指导原则，对原教材要进行彻底清理，重点放在培养学生的实践能力和创新能力上，同时深刻理解本课程与初等数学的内在联系以指导中学数学的教学。
4．本课程 与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求
本课程是 线性代数、数学分析、微分方程、高等几何、概率统计等学科的基础课程。不学数学史，在很大程度上数学知识体系是不健全的。不了解数学史就不能全面的了解数学学科。数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力正是
在于各个部分之间的联系，数学史是对数学各课程的高度综合与概括, 是将数学各课程联系起来的一门综合性的数学课程, 是研究数学各课程的相互关系的课程, 所以学习数学史对于学习数学其它课程能产生非常巨大的积极影响。
5．教学时数 及课时分配
二 教材及主 要参考书
1、李文林 .《数学史教程》. 高等教育出版社，2000
2、李迪 .《中国数学通史》(第一版). 江苏教育出版社，1997 3、李心灿. 《当代数学大师》. 北京航空航天大学出版社，1999 4、张楚廷. 《数学文化》(第一版). 高等教育出版社，2001
5、杜瑞芝 .《数学史辞典》(第一版). 山东教育出版社，2000
三 教学方法 和教学手段说明
讲授。
四 成绩考 核办法
本课程以教务处相关文件规定考核。
五 教学内容
第一部分 数学史─人类 文明史的重要篇章（2学时）
一、教学目的
通过“引论”的学习，要求学生必须掌握关于数学史的研究对象、研究内容、研究方法，以及数学史分期的标准； 熟悉关于外国数学史和中国数学史具体的分期模式，了解数学史与数学教育的关系和数学史研究的概况；逐步学会运用数学史的资料、数学史的研究成果于数学研究和数学教育之中。
二、教学重点 数学史的分期 三、教学难点 数学史与数学教育 四、讲授要求
了解学习数学史的意义及掌握数学史的分期。 五、讲授要点 1、数学史的意义。
2、什么是数学——历史的理解。 3、关于数学史的分期。
第二部分 数学的起源与早期发展（4学时）
一、教学目的
通过本章学习，要求 学生必须掌握个关于数概念的形成、数域的扩展的一般规律；了解关于数的科学（即数论）的发展历程；了解丢番图方程和大衍求一术的特色，学会运用于教学之中。
二、教学重点
识数、记数、数域的发展 三、教学难点 大衍求一术 四、讲授要求
掌握河谷文明与早期 数学的发展、埃及数学。 五、讲授要点 1、数与形概念的产生 2、河谷文明与早期数学 3、埃及数学
4、美索不达米亚数学
第三部分 古 代希腊数学（2学时）
一、教学目的
通过本章学习，要求学生必须掌握个关于数学公理化方法产生、发展的重要历史进程和一般规律；了解关于欧几里得的简历和《几何原本》的内容、结构及其特色；了解非欧几里得几何 学的范例及其特征。
二、教学重点 公理化方法 三、教学难点
非欧几里得几何学的创立
四、讲授要求
掌握泰勒斯与毕达哥拉斯、雅 典时期的希腊数学；理解亚历山大后期和希腊数学的衰落。
五、讲授要点 1、论证数学的发端 2、泰勒斯与毕达哥拉斯 3、雅典时期的希腊数学 4、黄金时代——亚历山大学派 5、欧几里得与几何《原本》 6、阿基米德的数学成就 7、阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论 8、亚历山大后期和 希腊数学的衰落
第四部分 中世纪的中国数学（2学时）
一、教学目的
通过本章学习，要求学生必须掌握关于中国传统数学的特色，及其在现代数学中的重要影响；初步学会翻 译中国古代数学文献，要求准确地用现代数学的术语、符号表示古代典型的算法模型，并能分析其天元术原理；加强弘扬中华古代文明的意识。
二、教学重点 中国古算 三、教学难点 古文的注释 四、讲授要求
掌握《九章算术》、刘徽的 数学成就、祖冲之与祖暅；理解中国剩余定理、“天元术”与“四元术”。
五、讲授要点
1、《周髀算经》与《九章算术》 2、古代背景 3、《周髀算经》 4、《九章算术》
5、从刘徽到祖冲之 6、刘徽的数学成就 7、祖冲之与祖暅 8、《算经十书》 9、宋元数学
10、从“贾宪 三角”到“正负开方”术 11、中国剩余定理 12、内插法与垛积术 13、“天元术”与“四元术”
第五部分 印度与阿拉伯数学（2学时）
一、教学目的
通过本章学习，要求学生必须掌握个关于印度和阿拉伯数学的特色，及其在现代数学中的重要影响； 初步了解阿拉伯在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面做出了巨大贡献。
二、教学重点 “巴克沙利手稿” 三、教学难点
“悉檀多”时期的印度数学 四、讲授要求
掌握印度数学、阿拉伯数学；理解古代《绳法经》、阿拉伯的三角学与几何学。
五、讲授要点 1、印度数学 2、古代《绳法经》
3、“巴克沙利手稿” 与零号 4、“悉檀多”时期的印度数学 5、阿拉伯数学
6、阿拉伯的代数
7、阿拉伯的三角学与几何学
第六部分 近代数学的兴起（2学时）
一、教学目的
通过本章学习，要求学生必须掌握关于代数学形成、发展的一般规律；熟悉用几何学解释代数学法则的方法、原理及其历史由来；了解关于群论和环论的发展历程；了解笛卡尔的事迹，能从中悟出人生的哲理，并运用于今后的教学之中。
二、教学重点 伽罗瓦与群论 三、教学难点 笛卡尔和解析几何 四、讲授要求
掌握中世纪数学向近代数学的过渡、解析几何的诞生；理解从透视学到摄影几何。
五、讲授要点 1、中世纪的欧洲 2、向近代数学的过渡 3、代数学 4、三角学
5、从透视学到摄影几何 6、计算技术与对数 7、解析几何的诞生
第七部分 微积分的创立（2学时）
一、教学目的
通过本章学习，要求学生必须掌握个关于微积分学形成、发展的历史进程和一般规律；熟悉欧洲的“不可分量原理”的应用，并能分析其中的利弊；熟悉牛顿和莱布尼兹不同的推导过程。熟悉分析基础严密化的历史进程，以及相关数学家的重要工作；了解分析学进一步发展的趋势。
二、教学重点
穷竭法、不可分量、微积分方法 三、教学难点
牛顿和莱布尼兹的分析推导 四、讲授要求
掌握《原理》与微积分、分析微积分的建立；理解流数术的发展。 五、讲授要点 1、半个世纪的酝酿 2、牛顿的“流数术” 3、流数术的初建 4、流数术的发展 5、《原理》与微积分 6、莱布尼茨的微积分 7、特征三角形 8、分析微积分的建立 9、莱布尼茨微积分的发表 10、其他数学贡献 11、牛顿与莱布尼茨
第八部分 分析时代（2学时）
一、教学目的
通过本章学习，要求学生熟悉分析基础严密化的历史进程，微积分的进一步发展刺激和推动了许多数学分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和
方法上都具有鲜明特点的数学领域。要求学生熟悉相关数学家的重要工作，了解分析学进一步发展的趋势。
二、教学重点
常微分方程、偏微分方程和变分法的产生背景 三、教学难点 相关分析推导 四、讲授要求
掌握微积分的发展；理解微积分的应用与新分支的形成。 五、讲授要点 1、微积分的发展
2、微积分的应用与新分支的形成 3、18世纪的几何与代数
第九部分 代数学的新生（2学时）
一、教学目的
通过本章学习，要求学生必须掌握个关于代数方程的可解性；了解关于群论和环论的发展历程；知道四元数和布尔代数产生的数学背景，了解伽罗瓦的故事和哈密顿的事迹，能从中悟出人生的哲理，并运用于今后的教学之中。
二、教学重点
群、四元数产生的数学文化背景 三、教学难点 代数数论 四、讲授要求
掌握代数方程的可解性与群的发现；理解代数数论。 五、讲授要点
1、代数方程的可解性与群的发现 2、从四元数到超复数 3、布尔代数
4、代数数论
第十部分 几何学的变革（2学时）
一、教学目的
通过本章学习，要求学生必须掌握非欧几何学形成、发展的一般规律；熟悉用射影几何学中如何剔除“度量”观念的方法、原理及其历史由来；熟悉关于几何学统一的发展历程和几何学的分类。
二、教学重点
非欧几何产生的数学文化背景 三、教学难点 非欧几何的模型 四、讲授要求
掌握非欧几何的诞生；理解几何学的统一。 五、讲授要点 1、欧几里得平行公设 2、非欧几何的诞生 3、非欧几何的发展与确认 4、摄影几何的繁荣 5、几何学的统一
第十一部分 分析的严格化（2学时）
一、教学目的
通过本章学习，要求学生必须掌握实数形成、发展的一般规律；熟悉集合论的方法、原理及其历史由来；熟悉随着分析学的严格化及扩展所产生的新分支复分析、解析数论和数学物理方程的建立。
二、教学重点 集合论
三、教学难点
实数理论
四、讲授要求
掌握分析的算术化、解析数论的形成；理解分析的扩展。
五、讲授要点
1、柯西与分析基础
2、分析的算术化
3、魏尔斯特拉斯
4、实数理论
5、集合论的诞生
6、分析的扩展
7、复分析的建立
8、解析数论的形成
9、数学物理与微分方程
第十二部分 纯粹数学的主要趋势（2学时）
一、教学目的
通过本章学习，要求学生必须掌握在20世纪纯粹数学的发展表现出的主要特征是更高的抽象性、更强的统一性和更深入的基础探讨。知道科学知识的增长诗非线性的过程。熟悉勒贝格积分、泛函分析、抽象代数和拓扑学产生的背景。
二、教学重点
勒贝格积分、泛函分析、抽象代数和拓扑学产生的背景
三、教学难点
基础理论
四、讲授要求
掌握勒贝格积分与实变函数论、泛函分析、抽象代数、拓扑学；理解数学的统一化。
五、讲授要点
1、新世纪的序幕
2、更高的抽象
3、勒贝格积分与实变函数论
4、泛函分析
5、抽象代数
6、拓扑学
7、数学的统一化
8、对基础的深入探讨
9、集合论悖论
10、三大学派
11、数理逻辑的发展
第十三部分 概率论与数理统计（2学时）
一、教学目的
通过本章学习，要求学生必须掌握个关于概率论与统计学形成、发展的简要进程；熟悉古典概型的成因，并能分析其中的利弊；知道概率论的公理化过程；了解统计学进一步发展的趋势，加强在基础教育中进行概率统计教学的观念。
二、教学重点
概率论、统计学的产生
三、教学难点
概率论的公理化
四、讲授要求
掌握概率论的源流；理解公理化概率论。
五、讲授要点
1、概率论的源流
2、统计无处不在
3、公理化概率论
第十四部分 空前发展的应用数学（4学时）
一、教学目的
通过本章学习，要求学生必须掌握数学的广泛渗透与应用，数学的应用突破了人类几乎所有的知识领域；纯粹数学的每一个分支几乎都获得了应用；现代数学对生产技术的应用变得越来越直接。了解电子计算机的诞生及一些新的数学进展。
二、教学重点
数学的广泛应用性
三、教学难点
某些数学猜想的证明
四、讲授要求
掌握数学向其他科学的渗透；理解某些数学猜想的证明。
五、讲授要点
1、应用数学的新时代
2、数学向其他科学的渗透
3、数学物理
4、生物数学
5、数理经济学
6、独立的应用学科
7、数理统计
8、运筹学
9、控制论
10、计算机与现代数学
11、电子计算机的诞生
12、计算机影响下的数学
13、哥德尔不完全性定理
14、高斯-博内公式的推广
15、米尔诺怪球
16、阿蒂亚-辛格指标定理
17、孤立子与非线性偏微分方程
18、四色问题
19、分形与混沌
20、有限单群分类
21、费马大定理的证明
第十五部分 数学与社会（2学时）
一、教学目的
通过本章学习，要求学生数学发展中心的迁移与社会的发展有着密切的关系。这种关系是双向的，即数学的发展依赖于社会环境，受着社会经济、政治和文化等诸多因素的影响；而另一方面数学的发展又反过来对人类社会的进步起推动作用。要求全面了解数学科学的意义、作用以及数学发展的规律。
二、教学重点
数学与社会的进步
三、教学难点
数学的社会化
四、讲授要求
掌握数学的社会化、数学奖励；理解数学与社会进步。
五、讲授要点
1、数学与社会进步
2、数学发展中心的迁移
3、数学的社会化
4、数学教育的社会化
5、数学专门期刊的创办
6、数学社团的成立
7、数学奖励
第十六部分 中国现代数学的开拓（2学时）
一、教学目的
中国数学有着光辉的传统，但从明代以后落后于西方。通过本章学习，要求学生了解在20世纪初，在科学和民主的高涨声中，中国数学家踏上了学习西方先进数学的光荣而艰难的历程。要求全面了解中国现代数学教育与数学研究的开拓过程，以发扬老一辈数学家的创业精神，为振兴中国现代数学而奋斗。
二、教学重点
中国现代数学教育与数学研究的开拓过程
三、教学难点
数学成果
四、讲授要求
掌握现代数学研究的兴起；理解西方数学在中国的早期传播。
五、讲授要点
1、西方数学在中国的早期传播
2、高等数学教育的兴办
3、现代数学研究的兴起