一，混沌和分形的基本概念
有人说：“20世纪的科学家只有三件事将被记住：相对论、量子力学和混沌。他们主张，混沌是本世纪物理学中第三次大革命。就像前两次革命一样，混沌割断了牛顿物理学的基本原则。如同一位物理学家所说：“相对论排除了对绝对空间和时间的牛顿迷梦；混沌则排除了拉普拉斯决定论的可预见性的狂想。”在这三大革命中，混沌革命适用于我们看得见、摸得到的世界，适用于和人同一尺度的对象。”
O 混沌的特征
1. 非周期；
2. 对初条件敏感；
3. 有界。
其中“对初条件敏感”是最为人们熟知的混沌特征。经典动力学的传统观点认为：系统的长期行为对初始条件是不敏感的，即初始条件的微小变化对未来状态所造成的差别也是很微小的。混沌理论则告诉我们，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，可以对未来状态造成极其巨大的差别。正如中国的一句古话：“失之毫厘，谬以千里”。因此，对一个混沌系统进行长期预测是不可能的。
需要指出的是，“混沌”并不是混乱无序的状态，而是一种更高层次的有序(?)。混沌系统可以产生看上去随机但实际上却并非真正随机的结果。混沌是决定论的，是由确定性的非线性系统产生的，本质上是因果性的。
O 什么是分形？
非线性系统往往具有一种叫做“自相似”的统计特征，也就是说系统在不同尺度上具有相同的统计性质(整体与局部的相似性)。Mandelbrot提出了分形理论来描述这种特征。
对几何图形来说，分形指的是其空间上的自相似性；而分形时间序列则是指时间序列在不同时间尺度上的自相似性。金融时间序列也具有分形的特征，直观的说，股票的日线、周线和月线，看起来是很相似的(用统计方法分析，日收益、周收益和月收益的分布是基本相同的)。
下图是谢尔平斯基三角形，它是用随机的方式执行一个确定性的规则生成的。(从相互等间距三个点中的某一个开始，随机选择向其它两个点中的某一个移动一半的距离；记录下所有到过的点；重复以上过程10000次)。
从上图中我们可以观察到“自相似”的特点。它是确定性和随机性结合的产物，其整体特征体现了高度的有序。
二，分形市场假说(Fractal Market Hypothesis, FMH)
Peters认为有效市场假说(Efficient Market Hypothesis,
EMH)不能很好的描述真实的资本市场，而“分形理论”更符合市场的特征，因此提出“分形市场假说”作为有效市场假说的替代品。FMH重点分析了市场的流动性和投资期限对投资者行为的影响，对市场崩溃等现象能够给出比较合理的解释，关于FMH的详细讨论可以参见Peters的著作《资本市场的混沌与秩序》（侧重于描述性的讨论和分析）和《分形市场分析》（侧重于统计研究方法和经验研究结果）。
O 回顾有效市场假说(EMH)
EMH起源于对金融资产价格行为的研究，目的是找到价格变化的规律，以图从中获利。1965年，法马(Fama)提出这一假说，认为市场是一个“公平博弈”的场所，价格已经充分反映了所有可以得到的信息，因此信息不能被用来在市场上获利。EMH分为三种形式：弱有效，半强有效，强有效。一般认为资本市场是半强有效的，也就是说市场价格反映了所有过去的信息和所有公开的信息，通过分析公开信息来获取超额收益率的努力是徒劳的。
EMH的核心内容包括两个基本结论：
1， 根据可获得的所有公开信息，股价会迅速准确地进行调整??市场是很有效率的；
2， 股价变动的历史资料不包含任何对预测股价未来变动有用的信息??根据股价过去变动的信息不能预测股价的未来变动。
EMH的第一个结论实际上是亚当?斯密“看不见的手”在金融市场的延伸，它基于投资者都是“理性的”这一假定，进一步可以认为市场是处于均衡状态的 (在“公平价格”上下波动)。第二个结论实际上是对20世纪三四十年代盛行的技术分析流派的反对，这与20世纪五六十年代大量对股票价格行为随机游走特性的研究有很大关系。萨谬尔森等人提出，股票价格遵循几何布朗运动，也就是说股票价格收益率
(对数收益率) 遵循随机游走 (独立同分布、有限方差的随机过程，序列自相关为0，没有记忆效应，方差随时间线性增长)
，其分布符合正态分布。如果股票价格是一个随机游走过程，那么预测自然是不可能的??这是一个充分条件。
一个常常被用于支持EMH的观点是：积极主动的投资者并不总是能击败“市场”。对于巴菲特等投资大师，EMH的支持者们则将之成功归功与偶然的运气。
诺贝尔奖得主保罗?Ａ?萨缪尔森否认巴菲特有“才能”，说巴菲特们只是掷骰子、掷飞镖者，认为股市投资“只需闭上眼睛胡乱抓”就行。诺贝尔奖得主威廉?Ｆ?夏普也直截了当，说巴菲特只是个“3∑事件??一个统计学上极小的概率，可以忽略不计。”
经济学家阿芝?Ａ?阿尔奇说，投资大师们的成功“是运气不错，而不是天才。”另一个经济学家巴顿?Ｇ?麦基亚故弄玄虚地说：“虽然我相信存在这种优秀的投资经营者的可能性，但我必须强调，至今为止我们掌握的材料还不能证明这种人的确存在。”
在经济学家的理论中，很难容忍成功的投资大师的存在，就像投资大师理查德?Ｈ?德里豪斯所说：“我们是学术规则的例外，属于统计学偏差范围，我们可以忽略不计，好像我们根本就不存在。这是学术界给我们和巴菲特以及其他少数人的理论定性。因为我们给他们的理论造成了难堪，他们干脆就说我们不存在。”
O 对有效市场假说(EMH)的质疑
1， 经验研究发现了一些与EMH相悖的现象：规模效应，季节效应，小公司一月效应等。
规模效应：指股票收益率与公司大小有关。Banz是第一个发现规模效应的经济学家，他在1981年发现在美国，无论是总收益率还是风险调节后的收益率都与公司大小负相关。在Banz之后，经济学家们对各主要发达国家的市场进行了广泛检验，其中包括比利时、加拿大、日本、西班牙、法国等。除了加拿大和法国外，其它国家均存在规模效应。
季节效应：指股票收益率与时间有关。Rozeff和Kinney在1976年时发现，1904-1974年间纽约股票交易所的股价指数一月份的收益率明显高于其它11个月的收益率。Gultekin等1983年研究了17个国家1959-1979年的股票收益率，其中13个国家一月份的股票收益率高于其它月份。
除元月效应以外，季节效应还包括周末效应、节日效应以及开盘、收盘效应等。季节效应也是在世界各国资本市场普遍存在的现象。有人对上海和深圳股票市场进行了周末效应检验，发现无论是深圳股票市场还是上海股票市场在所选取的样本区间内，股票报酬率最低均出现在每个月的第4个周一，从而证实我国股票市场也存在季节效应。
小公司一月效应：1983年Keim发现公司的规模与元月效应有密切的关系。他将纽约股票交易所的股票按规模分为10组，然后逐月算出规模最小的公司和规模最大的公司的超额收益率之差。一月份规模最小的公司比规模最大的公司的超额收益率高出14%左右。而且较高的收益率又主要集中在十二月底的最后一个交易日和一月的头5个交易日。
另外，关于股票收益率分布的经验研究发现其非正态性质：尖峰，胖尾。因此，Mandelbrot在上世纪60年代提出用Levy分布(又称为稳定Levy分布，稳定帕累托分布)拟合收益率分布(Levy分布是非线性系统一个常见的重要特征)。
2，对“理性投资者”假设的质疑：投机心理，从众心理，狂热和恐慌等等非理性行为在历史上是屡见不鲜的。对这一假设的质疑导致了行为金融学的产生。
3，EMH不能解释市场崩溃等现象：它是一个均衡模型。
O 分形市场假说
投资者对信息的反应机制??线性还是非线性？
EMH要求人们对信息及时准确的做出反应，实际情况则要复杂得多。过度反应和反应不足普遍存在，而且其效应可能长期持续；“羊群效应”等等。资本市场是一个复杂系统而不是一个线性的随机系统：投资者之间的相互影响(投机狂热和恐慌的传播)，政府的干预。
市场稳定的基本条件??“流动性”
Peters认为，流动性是确保市场稳定的关键因素，它是投资者的共同需要。当缺少流动性的时候，投资者会急于接收他们所能接收的任何价格，不管公平与否??这将导致市场的崩溃。EMH假定总有足够的流动性，因此价格总是公平的，Peters认为这与事实相悖。
“流动性”的来源??不同的投资期限
市场中具有不同投资期限的投资者，投资者具有不同的信息集，不同投资者对“公平价格”的不同认识。
Peters指出，投资者不是同质的(Homogeneous)：投资期限不同(长期，短期)；投资策略不同(价值投资，技术分析)；对投资回报的设定不同等等。因此，同一条信息的重要性很大程度上是由投资者的投资期限等因素决定，对不同投资者是不同的。
市场的分形结构：
市场中的投资者们具有不同的投资期限(investment
horizon)，这为市场运行提供了具备流动性和稳定性的环境。例如：5分钟交易者遭受6西格玛事件时(价格下跌超过6倍标准差)，具有较长投资期限的投资者将会跟进，从而稳定了市场。长期投资者之所以愿意这样做，是因为对于他的投资期限而言，5分钟交易者的6西格玛事件是很平常的。
进一步，不同期限的投资者必须享有同样的风险水平，否则这种市场结构不可能稳定存在，这就解释了为何不同投资期限的收益率分布是相同的。
因为以上讨论的市场情形具有“自相似”的统计结构，Peters把这种市场假说命名为分形市场假说(FMH).
FMH对市场崩溃的解释：
市场中分形结构崩溃时，市场变得不稳定。其原因可能是具有较长投资期限的投资者由于某种因素(战争，政治危机等)对未来的预期变得高度不确定，当价格下跌时，他们不愿意进入市场或者他们自己也变成短期投资者，这导致市场缺乏流动性而崩溃。
三，R/S分析等分析方法
Peters认为如果市场具有分形特征，而不是独立同分布的高斯系统，那么就需要引入新的统计方法。他提出R/S分析是一个很适合的方法。这是一个非参数方法，可以区分随机和非随机系统，发现趋势的延续，循环的长度等等。
O R/S分析的发展
R/S(Rescaled range, 重标级差)分析是赫斯特(Hurst,
1900-1978)提出的，他最初的目的是研究水库的存储能力问题，为此他需要考虑水库的水流量随时间的变化，以便制定每年应该放多少数量的水。一般水文学家假定水库的水流量是一个高斯随机过程，这对于处理复杂生态系统来说是一个常用的假设(因为系统有很大的自由度)，但赫斯特从历史数据(丛 622-1469年，共847年)中发现，水流量似乎不是随机的??它显示出持续性，并且有循环的特征，但是循环长度是非周期的。因此，Hurst发展了一套新的统计方法，也就是R/S分析。
(R/S分析的公式，略)
O R/S分析的用途之一：把时间序列划分为不同类型
对于任何一个时间序列，用R/S分析法可以计算出其赫斯特指数H(取值范围是[0,1]), 根据不同H值可以把时间序列划分为三个不同的类型。
H=0.5, 时间序列是一个独立过程(高斯随机游走是其中的一个特例)；
0.5时间序列具有持续性，也就是说具有长期记忆的特征。如果序列在前一个期间是向上的，下一个期间很可能也是向上。
0，时间序列具有反持续性。这种时间序列比独立随机序列具有更强的突变性或易变性，频繁出现逆转。也就是说如果系统在前一个时期是向上走的，那么，在下一个时期多半是向下走的；如果前一个时期是向下的，则后一个时期多半会向上走。H的值越接近0系统越具备负相关性。
经验研究发现，经济系统中的大多数时间序列H>0.5, 表明其中具有长期记忆效应，并不遵循随机游走。
O R/S分析的用途之二：价格的有效预测区间的估计
金融时间序列中存在长期记忆，但这种记忆不是无限长的。这就如同自然分形和数学分形之间的关系：数学分形可以任意缩放，从无限小到无限大，然而自然分形受制于其物理特征，到了某一点就不能再缩放下去了。通过对不同市场的经验研究，可以得出这样一个基本结论：资本市场的时间序列具有长而有限的记忆特征，但各个市场不相同，各个品种之间也不相同。
O R/S分析的用途之三：发现“非周期循环”并确定循环长度
R/S方法尤其适于分析非线性系统中的非周期循环，并确定循环长度。
商品价格的波动具有“周期性”的规律，但这并不是真正的周期。真正的周期是一个可以严格用正弦波来描述的，但实际上，价格的波动表现出来的更多是一种具有周期特征的行为，但是没有确定的周期(用频谱分析等方法无法确定其周期长度)，这是混沌系统的基本特征之一，可称之为“非周期循环”。非线性动力学理论指出，非周期循环有一个平均的循环长度，换言之，一个未来的循环长度是不确定的，但它大致应位于平均的循环长度附近。R/S分析可以帮助我们确定非周期循环的平均循环长度。
Peters研究发现，美国股票市场的循环长度大约是4年，债券市场大约是5年，美国工业生产也大约为5年。
O 对分形市场假说的评价：
虽然分形市场假说目前还很不成熟，但是它对资本市场中的某些明显的现象，比如自增强(自我放大)特征、泡沫经济现象等，似乎要比有效市场假说具有更大的潜在解释力。
有效市场假说本质上是一个均衡的情形，而分形市场假说认为市场存在不同的状态(例如分形结构的破坏导致崩溃)，这实际上是一个非均衡的演化模式。
分形市场假说强调了市场流动性和投资者异质性的重要性，因为前者是市场稳定的前提，而后者是前者的保障。如果说在有效市场假说下，监管常常被人有时甚至是被政府本身置于投资行为的对立面的话(妨碍了“无形的手”)，那么在分形市场理论之下，政府要致力于投资主体多元化的发展，致力于信息的公开和知识的完善。
四，使用混沌理论和非线性方法的一些投资公司
Panagora资产管理公司(Panagora Asset Management, Boston)
Peters在该公司任职，1985年成立，管理约150亿美元资产。该公司所用的模型是以线性回归为基础的，但非线性的研究为其提供了重要的帮助：用非线性分析方法评价所用模型的有效性；另外，用线性技术在短期内预测一个非线性系统是有可能的。
预测公司(the Prediction Company, Santa Fe)
该公司是使用非线性技术的投资公司中最有名的几个之一，因为其创始人是非线性和混沌理论领域公认的专家。他们使用的方法包括遗传算法，决策树，神经网罗和其他非线性回归方法。相信“市场收益率有随机的周期，后面跟随的是可预测的小块”。这是一家真正的数量分析投资公司，“交易完全是由模型管理的，没有认为干预”
TLB合伙公司(TLB Partners, New York)
这家公司使用神经网络，遗传算法和赫斯特指数等分析方法。改公司的领导者梅(C. May)是一个非线性科学的专家，他的投资期限大概是6－9个月。
LBS资本管理公司(LBS Capital Management, FLA)
该公司使用神经网络和遗传算法等非线性方法，管理着6亿美元。这是一家半数量分析公司，也就是说公司并不完全依赖模型，有时候会根据人为判断推翻模型的决策