三角函数
1、常见角度与弧度制转化即三角函数值
A B C D 2、角的概念：正角 负角 零角
习题：2、若钟表的秒针转动了300秒，则分针转过的弧度数是________．
3、象限角 轴线角
4、终边相同的角的表示：
（1）α终边与β终边相同： 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.
（2）α终边与β终边共线(α的终边在β终边所在直线上) ⇔. 习题：3．下列各命题正确的是（ ）
A ．终边相同的角一定相等 B．第一象限角都是锐角 C. 锐角都是第一象限角 D.小于900
的角都是锐角 4、若4π
2π
3
终边相同，则α= 16π
3
5、α与
的终边关系：
(车轮法) 由“两等分各象限、一二三四（以x 轴的非负半轴为始边，逆时针旋转）”确定.
习题：5若α是第二象限角，则2
是第____象限角；
一或三
6、已知α是第一象限角，则α3
是第 象限角一、二或三
6、弧度制：（1）π= ; 10
= ；1rad= (2)弧长公式：l
= ，α=
扇形面积公式：s
= ，
扇形周长公示：C=
注：公式中的α为弧度制
习题：7．-300o
化为弧度等于（ ）
A. -
4π5π3
B.-
7π4
C. -
3
D.-
7π6
8、将时钟的分针拨快30min ，则时针转过的弧度为 ．-
π
12
9、如果一扇形的圆心角为1200
，半径等于10cm ，则扇形的面积为 A
1003cm 2 B 1003πcm 2 C 6000cm 2 D 200
3
πcm 2 10、（1）已知扇形
AOB 的周长是
6cm ，该扇形中心
角是1弧度，求该扇形面积．
（2）若扇形的面积为8cm 2
，当扇形的中心角
α(α>0) 为多少弧度时，该扇形周长最小．
解：（1）该扇形面积2cm 2
；
⎧2r +l =y
（2）⎪
⎨⎪1，得y =2r +16≥⎩
2
rl =8r ，当且
仅
当
r =时取等号．此时
，
l =，
α=l
r
=2．
7、任意角的三角函数的定义：
①设α是任意一个角，P (x , y ) 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离
是
r =>0
，那么
s i αn =
，
cos α= ，tan α= ，（x ≠0）。 ②三角函数的定义域
正弦函数y ＝sin α的定义域：
余弦函数y ＝cos α的定义域：
正切函数y ＝tan α的定义域： . 注：三角函数值与角的大小 关，与终边上点P 的位置 关。
习题：11、已知角α的终边过点
P (4, -3) ，则
s in a =_____,cos α= ， tan α= ．
12、设a
么sin α
+2cos α的值等于 A
A . 25 B . -25 C . 15 D . -15
13、已知角α的终边与单位圆交于点P (x , -1
) α2
，则
cos =
A. 12 B. ±1
2
C. -2
D. ±2
14、已知角α
的终边在一条直线
y =上，求
sin α，tan α的值．
解：设点P (a )(a ≠0) 是角α
的终边
y =
上一点，则tan α=
当a >0时，角α
是第一象限角，则sin α=
2； 当a
则sin α=-
2
．
点评：要注意对参数进行分类讨论．取射线上任意一
点坐标P (a )(a ≠0) , 点P 的坐标中的a 可正可负，而r 是个正值，注意不要出r ＝2a 这类错误． 15、点P 从(-1,0) 出发，沿单位圆x
2
+y 2=1顺时
针方向运动
π
3
弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 (A)
(-1
(B)(-1)
22(C)(-1,
(D) (1)
22
注：画图象，观察终边落在的象限，利用定义求解。 8、任意角三角函数的符号规则：一全正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限
内只有余弦值为正）． 习题：16、若cos θ
>0, 且sin θ
的终
边所在象限是（ ）
A ．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象 17、
tan(-3)sin 5
cos8
的符号为 ．正
18、若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在
A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
注：确定符号，关键确定每个因式的符号，确定每个因式的符号关键在确定角所在象限和三角函数名称。 19、若角α满足条件0
4符号为 正
注：①可通过特殊值来判断；②往往将三角函数
y =sin α和y =cos α的图象画再同一个直角坐标
系中根据图象的高低关系来判断正负。 9、同角三角函数的基本关系式：
①平方关系： ②商数关系：
习题：20、
已知sin α
=
5
, 则sin 4α-cos 4
α的3值为_____．
-5
21、已知α是第四象限角，tan α=-5
12
，则
sin α=______．-5
13
22、
已知cos ⎛π⎫
⎝2+ϕ⎪⎭=，且
ϕ
π
2
，则tan ϕ
＝______．
23、已知α是三角形的内角，若sin α+cos α=
1
5
，求tan α的值．
分析：先求出sin α
-cos α的值，联立方程组求解．
解：由s i αn +c αo =1
5两边平方，得
1+2s αi ⋅n αc =1
25，即∴2sin α⋅cos α=-24
25
又α是三角形的内角，∴cos α
∴
π
2
由
(sinα-cos α) 2=
49
25
，
又
s α-i
αn >，得sin α-cos α=7
5
．
⎧
⎪联立方程组
⎪sin α+cos α=1⎨
5⎪sin α-cos α=7，解得
⎪⎩
5⎧
⎪⎪sin α=4⎨
5
，得tan α=-4． ⎪⎪⎩
cos α=-
335点评：由于(sinα±cos α) 2=1±2sin α⋅cos α，
因此式子sin α-cos α，sin α+cos α，sin α⋅cos α三者之间有密切联系，知其一，必能求其二．解题思路：利用平方，再开方，注意开方的正负即注意象限。同时也要用到方程思想，求解sin α, cos α。
24、已知sin θ
+cos θ=
15，且π3π2≤θ≤4
，则cos 2θ的值是-7
25
25、已知tan α=-4
3
，求
①6sin α+cos α3sin α-2cos α的值； ②12sin αcos α+cos 2
α
的值． ③2sin 2α+3sin αcos α-12
2
cos α的值
解：（I ）∵ tan α=-4
3
；所以
6s αi +n αc o s 6tan α3s αi -n α2c =+1
o s 3tan α-2
=
6(-4) +1
=7．
3(-3
) -26
（II ）由tan α=-4
3
，
于是
1
2α
+
2
s
=s 2α+
+2
α+
2
=
+=-i s
． 注：在已知tan α值，求有关一次分式和两次分式的值时，通常是同时除以cos α后用tan α表示，就可以解决，两次分式要将数1先看成sin
2
α+cos 2α，
化成齐二次分式，再进行解决. 化简三角函数式时，要注意观察式子的特征，关于sin θ，cos θ的齐次式可
转化为tan θ的式子．已知件给出的是正切的值，要求的是正弦、余弦的二次齐次式，因此可用“弦化切”
的思想，分母补上“1”，又将1化为：
sin 2θ+cos 2
θ，分子分母同除以cos 2
θ。
26、已知tan α
=3，π
2
，则n s i αc o s -α=
α
2
α
α
B.
D.
注：该题不满足齐次分式，注意角的取值范围。 10、三角函数诱导公式（
k
2
π+α）的本质是： 奇 偶 （对k 而言，指k 取奇数或偶数）， 符号 （看原函数，同时可把α看成是锐角）.
诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k π+α, 0≤α
π
2
的整数倍；若是偶数倍，则名称不变，若是奇数倍，则sin, 变cos , cos 变sin ；②α看作锐角，可以是一个角，或一个整体（代数表达式）；③看原三角函数的角所在象限及其名称来判断符号。 习题：27“sin A =
1
2
”是“A =30º条件．
28、sin(-19π) 的值等于
1
6
2 29、如果A 为锐角，sin(π+A ) =-1，那么cos(π-α) =
2A 、-
1 1C 、-
3
2
B 、
2
2 D 、2 30若α是三角形的一个内角，且31
2π+α) =2
，
则α＝＿＿＿。30 或150
31、若cos(π+α)=-12, 3
2
π
等于 32、化简：
+2sin 20 cos 160
2
。－1
sin 160--sin 20
33、已知cos(π-α) =
8
17
，求sin(α-5π) ，tan(3π+α) 的值．
分析：利用诱导公式结合同角关系，求值． 解：由cos(π
-α) =
88
17，得cos α=-17
若
α
是第二象限角，则sin(α-5π) =-sin α=-
1517，
tan(3π+α) =tan α=-15
8
；
若
α
是第三象限角，则sin(α-5π) =-sin α=
15
17，
tan(3π+α) =tan α=15
8
．
点评：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函数值，但没有确定角所在的象限，可按角的象限进行分类，做到不漏不重复．
34、已知sin(
π1π
3-α) =2, 则cos(6+α) =. 35、若sin(π6-α) =13，则cos(2π
3+2α) =
A ．-79
B ．-13 C ．173 D ．9
注：一、化简整体代入；二、利用互余（或互补）关系解题的问题，关键是要发现互余关系，常见的互余
π-α, ππ关系有36+α; 3+α, π6-α; π4+α, π4-α等，遇到此
类问题时考察两个角的和或差；互补关系的角，如
π
3
+θ,
2ππ33-θ; 4+θ, π4-θ等，记住会给带来方便
11、两角和与差的三角函数 (1)sin(α±β) ＝ . (2)cos(α±β) ＝ . (3)tan(α±β) ＝
习题：36、sin10°sin40°＋sin50°sin80°=（ ）A ．
12
B
．
2
C
．
2
D
．-
2
37
、
tan 20 +tan 40 20 tan 40 =____
38、若sin α
=-
45，α是第三象限的角，
则sin ⎛ π⎫
⎝
α+4⎪⎭=
A -
7210
B
7210
C
-
210
D
10
别注意对隐含条件的讨论。
47、如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边的两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A,B
3π
，则tan(α+) 等于 54
11
A B 7 C - D -7 77
39、已知α∈(π, π) ，sin α
2
=
40
、已知sin(α+π) +sin α=-π
32值.
两点．已知
A ，B 两点的横坐标分别
是
和
解：
由
π，
得sin(α+) +sin α=3 （Ⅰ）求tan(α
（Ⅱ）求α+2β的值． +β) 的值；
sin αcos
即
π
3
+cos αsin
π
3
+sin α=-
，5
3sin αα=21αi +α=-c 2
4
o ，s 5
，也
即
从而
解：
（Ⅰ）由单位圆上三角函数的定义，可得
4
sin(α+) =-.
65
又-
π
cos α=
, cos β=. 由于α, β为锐，
所
以
π
2
π
3
π
6
π
6
，由于
角
4ππ
所以-
6536
π3
于是cos(α+) =.
65
π
sin α==
,sin β==105
. 从而tan α=7, tan β=所
1． 2
以
∴
ππππππ341cos α=cos[(α+) -]=cos(α+)cos +sin(α+)sin =(-) +5666666t 521-α
.
注：拆配凑角。求值的关键是找出已知式与欲求式的角、运算及函数的差异，角的变换是其中较为常见的.
α+βα-β
α=(α+β) -β=β-(β-α); α=+
22，单角化为复角
1
β=-a ． =
β1-7
2
7+
法
一
、
a t
（Ⅱ）解
t
． 又
αa +n =β(+
β=
α+β
2
-
α-β
2
-3+
t αa ++n β(β+2α==1-αt +a βn 1+(3
2
，倍角化为复角
2=(+) +(-) ，2=(+) -(-)
等，灵活运用这些角的变换式，本题往往会忽视隐含条件，即角的范围而致误，在给值求值的问题中要特
ααβαββαβαβ
0
π
2
,0
π
2
,
所以
0
3π3π
，从而α+2β=．
24
解法二、tan 2β=
ππ2tan β14
解法二：由，可得 0
1221-tan β1-3
ππ4
，-
224
7+
tan α+tan 2β=-1tan(α+2β) ==cos(θ-ϕ) ===1-tan αtan 2β1-7⨯10
3，
0
． 又
π
2
,0
π
2
cos ϕ=cos[θ-(θ-ϕ)]=cos θcos(θ-ϕ) +
sin θsin(θ-ϕ)
,
所
以
0
48、已知向量a 相垂直，其中θ
3π3π
，从而α+2β=． 24=(sinθ, -2) 与b =(1,cosθ) 互
. +=
51051022
∴cos ϕ=.
2=
注：角的取值范围一定要考虑清楚。
12、倍角公式 cos2α＝ sin2α＝
＝ ＝ . .tan2α＝
.
∈(0,) 。
2
（Ⅰ）求sin θ和cos θ的值
（Ⅱ）若sin(θ
π
-ϕ) π
2
2
3
习题：49、已知cos αcos2α的值为
550、“α
解法一、因为sin θ+cos θ=1, 所以
6
c 2o θs =42c θo +s 2θc =o s 2θ5=c o s 1
A ． 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
1π2
，即c o s θ=， 又 θ∈(0,) , 所
以C ． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
52-→-→-→-→1
51、设a =(sinx , 3), b =( , 2 cos x ) , 且a //b ，3sin θ=
, cos θ=.
55则锐角x 为（ ）
解法二、由sin θ=2cos θ可得tan θ=2，又
5πππ
A ． B． C． D．π 1cos 2θ+sin 2θ2
12643==1+tan θ=5，所
cos 2θcos 2θ13、降幂公式
14222
sin αcos α= ； 以cos θ=， sin θ=1-cos θ=，又
55
sin 2α= = ；π
, cos θ=. θ∈
(0,) ，所以sin θ=
552
cos 2α= = （Ⅱ）解法一
：
=
π
”是“cos 2α=
s i 2n θ+
1
”的 ( ) 2
sin(θ-ϕ) =sin θcos ϕ-cos θsin ϕ=
,
习题：52、函数f(x)＝sinxcosx 最小值是 ，最小正周期是
2
53、若△ABC 的内角A 满足sin2A sin A ＋cos A
3
等于
将sin θ=
, cos θ=代入整理得
2cos ϕ-sin ϕ=, 结合
2sin 2ϕ+cos 2ϕ=1, 0
153
1
54、若sin α＋cos α＝，则cos4α的值等于 －
347 81
注：cos 2α三条公式要结合题目做适当的选择。 14、辅助角公式
π
2
, 可
得
c o ϕ=s
a sin x +b cos x =
sin (x +ϕ)
2ππ12f (α+) =4sin(2α+) =2cos 2α=31225
，
其中sin ϕ=
cos ϕ=
∴cos 2α=
3
5
3
------------① 5
习题：55
、函数f (x ) =(1+x ) cos x 的最小正周期为 A ．2π B ．
56、已知函数则
∴cos 2α-sin 2α=
3ππ C ．π D ． 22
sin 2α+cos 2α=1 ------------②
由①②得sin 2α=
f (x ) =(1+cos 2x )sin 2x , x ∈R ，
1
5
π
f (x ) 是最小正周期为 ．
2
f (x ) =ωx +cos ωx ) 的最
.
∴sin α=±
5 5
2sin(ωx ±);
4
57、
已知函数小正周期为（1）求
注：常考的归一有：sin ωx ±cos ωx =
π
2π
3
sin ωx ±3cos ωx =2sin(ωx ±sin ωx ±cos ωx =2sin(ωx ±
π
3
); );
f (x ) 的解析式；
π
6
（2）若
2π12
f (α+) =，求sin α. 3125
：
（
1
）
注意：x 可以被一个代数式的整体替换，如wx 等。 15、正弦定理：使用条件：边角对应关系
(1)在△ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，R
解
a
ABC 的外接圆半径，则＝ ＝ ＝ f (x ) =ωx +cos ωx ) =sin ωx +cos ωx ) =4sin(ωx +) A
22(2)变形①a ＝2R sin A b ＝4 c ＝
，
由于函数最小正周期为所以f (x ) =4sin(3x +（
2
）
②sin A ＝ sinB ＝ sin C ＝
2π2π
，则ω==3. 3T
③a ∶b ∶c ＝
习题：58、在△ABC
中，A =60则B 等于
A ．45或135︒ B.
, a =b =π
4
) .
法
一
：
135︒ C. 45 D. 60
解
注：利用正弦定理求解三角形中的角时，需注意 “三角形内角和为180”这个隐含条件，要对求得的解做检验，往往利用大角对大边，大边对大角 余弦定理
(1)三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即
2ππ12
f (α+) =4sin(2α+) =2cos 2α=31225
，
∴
2
c o 2s α=
3
5
，
a 2＝ c 2＝
(2)变形 cos A ＝ cos C ＝
，b ＝
2
，
11
∴sin α=(1-cos 2α) =
25
. （注意已知角）
cosB ＝
α=± ∴s i n
解
法
5
二
：
.
使用条件：①知三边及三边关系；②知两边一角。 59、在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、
222
C ，若a ＋b －c ＋ab ＝0，则角C 的大小为______．135°
60、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为
a , b , c , A =
π
3
, a =b =1, 则c =
A ． 1 B . 2
C.
1 D. 3
61、△ABC的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c. 若a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cosB ＝ 362、在△ABC中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a2
＋c 2
－b 2
)tanB ＝3ac ，则角B 的值为 π2π
33
63、在△ABC 中，角A , B , C 所对的变成分别为a , b , c .
若a
2
-b 2
，sin C =B ，则A =
A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500 注：两个定理可以实现将“边，角混合”的等式，转化成“边或角的单一”等式．
64、∆ABC 的三内角A,B,C 的对边边长分别为a , b , c ，
若
a =
2
b , A =2B ，则cos B = .
17、常用结论
(1)三角形定理：①A +
B +C =1800
②大边对大角，小边对小角，等边对等角 （2）在△ABC 中，C 为最大角，则 ①C 为锐角⇔ ； ②C 为直角⇔ ；
③C 为钝角⇔
.
65、在△ABC 中，c cos C
b ＝cos B
，则此三角形为 ( )
A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形
66、在△ABC 中，若sin A +sin B =sin C ⋅(cosA +cos B ) ，试判断△ABC 的形状.
三角形面积公式：S 1∆ABC
=
2ah =1
2
ab sin C 习题：67、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c ，若c =b B =120 ，则△ABC 的面积等于
A
B ．1 C
D
注：面积公式中量的关系是两边夹一角，即B 已知，
因此可以尝试求出a 。
68、已知△ABC 的面积是30，内角A 、B 、C 所对边
分别为a , b , c ，cos A
=
12
13
．若c -b =1，则a 的值是
A ． 3 . B ．4 . C ．5 . D ．6.
69在∆ABC 中，AB=3，AC=2，BC=，则AB ⋅AC =
A ．-
32 B．-2
233
C3 D2
70、已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且a ＝2，cos B ＝3
5
(1)若b ＝4，求sin A 的值．
(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值． [解] (1)∵cos B ＝3
5＞0，且0＜B ＜π
∴sin B ＝1－cos B ＝4
5
由正弦定理a b a sin B
2×452sin A ＝sin B 得sin A ＝b 4＝5.
(2)∵S ＝4，即1
△ABC 2ac sin B ＝4
122×c ×4
5
＝4，∴c ＝5 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ∴b ＝
22＋52－2×2×5×3
5
＝17.
71、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 25→→
2＝5
，AB ·AC ＝3.
(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．
[解析] (1)因为cos A 2255，∴cos A ＝2cos 2A
21
＝35，sin A ＝45，又由AB →·AC →
＝3，得bc cos A ＝3，∴bc ＝5，∴S 1
△ABC ＝2
sin A ＝2.
(2)对于bc ＝5，又b ＋c ＝6，∴b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，∴a ＝25.
①sin(A ＋B ) ＝
②cos(A ＋B ) ＝
A +B
= 2
54
习题：72、在⊿ABC 中，cos B =-, cos C =，
135
33
则sin A =
65
π
73、在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别a , b , c , B =
，
3
4
cos A =, b sin C =______c=
5
③tan(A ＋B ) ＝
；④sin
4) A 、B 、C 成等差的充要条件是：B ＝60°； 习题：74、已知a , b , c 分别是∆ABC 的三个内角
解
析
;
解析（Ⅰ）因为，
∠BCD =90 +60 =150
CB =AC =CD ，
所以∠CBE =15． 所
以
cos ∠CBE =cos(45 -30 ) =
（Ⅱ）在△ABE 中，AB =2， 由正弦定理
A 、B 、C 所对的边，
若a =1, b A +C =2B ，则
s i n C =______．1
75、如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰
直角三角形，∠ACB =90，BD 交
AE 2
． =
sin(45-15) sin(90+15)
AC 于E ，
故AE =
2sin 30
=
cos15
2⨯
1AB =2．
（Ⅰ）求cos ∠CAE 的值；
=三角函数的图象与性质
1
习题：76、在［0，2π］上满足sin x ≥ 的x 取值范
2围是
A. ⎡0, π⎤ B.⎡π, 5π⎤ C⎡π, 2π⎤ D ⎡5π, π⎤
⎢66⎥⎢63⎥⎢6⎥⎢6⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦77、函数f (x ) ＝cos2x ＋2sin x 的最小值和最大值分别为
－3，32
注：不能用归一公式化成三角函数的基本形式，而满足二次函数时，要注意换元时t =sin x 的取值范围。
1x -π
78
、已知函数f (x ) =
)
cos x
， （1）求函数
f (x ) 的定义域；
（2）设α是第四象限的角，且tan α=-
4
3
，求f (α) 的值．
解：解：（1）函数
f (x ) 要有意义，需满足：
cos x ≠0，
解得x ≠π
2
+k π, k ∈Z ，------------2分
即
f (x )
的
定
义
域
为
{x |x ≠
π
2
+k π, k ∈Z }-------------------------------
------4分
（2
）∵
1x -
π
f (x ) =
)
cos x 1=
2x 2x ) cos x
=
1+cos 2x -sin 2x
cos x --------6分 2
=
2cos x -2sin x cos x cos x
=2(cosx -sin x ) -------------------------------------------------8分 由tan α=-
43，得sin α=-4
3
cos α, 又sin 2
α+cos 2
α=1
∴cos 2
α=9
25，∵α是第四象限的角∴
cos α=35，sin α=-4
5
---------------------10分
∴
f (α) =2(cosα-sin α) =
14
5
．-----------------------------------------------------------12分
79、设函数
f (x )=sin ⎛
π⎫⎝2x -2⎪⎭
, x ∈R ，
则f (x )是A 最小正周期为π的奇函数 B 最小正周期为π偶函数
C 最小正周期为π2奇函数 D 最小正周期为π
2
偶函数 注：函数
y =A sin ωx 和y =A tan ωx 是奇函数，
y =A cos ωx +b 为偶函数，因此判断一个函数
y =A sin(ωx +ϕ)(A ω≠0) 、y =A cos(ωx +ϕ)(A ω≠0) 是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为
y =A sin ωx 或y =A cos ωx +b 。
①要使y =A s i n ω(x +ϕ) A (ω≠
为0奇函数，则
ϕ=k π(k ∈Z ) ； ②要使y =A sin(ωx +ϕ)(A ω≠0)
为偶函数，则ϕ=k π+
π
2
(k ∈Z ) ；③要使
y =A c o ωs (x +ϕ) A ω(≠为奇函数，则ϕ=k π+π
2
(k ∈Z ) ；
④要使y =A c o s ω(x +ϕ) (A ω≠0为) 偶函数，则
ϕ=k π(k ∈Z ) ；
习题：80、函数y =2cos 2x +sin 2x 的最小值是
___________
. 181、函数
y =2sin(x -
π
3
)(x ∈[-π, 0])的单调增
区间是
A
⎡⎢5⎤⎡π⎤⎣-π, -6π⎥⎦ B ⎢⎣-5
6π, -6⎥⎦ C. ⎡⎢⎣-π3，0⎤⎥⎦ D. ⎡⎢⎣-π6，0⎤
⎥⎦
注：对于求解三角函数的性质，都要化简到三角函数的基本形式，即三角函数
y =A sin(ωx +ϕ) +B
（或
y =A cos(ωx +ϕ) +B ）
，可以把“ωx +ϕ”
看作一个整体（保证ω
>0）
，利用换元的思想放入y =sin x 或y =cos x 的性质内，解相应的不等式
或方程求得，要注意化归思想，整体思想、数形结合思想，并注意k 的整数取值检验。 82、已知函数
∴f (x ) 在区间⎢-, ⎥上的最大
⎣62⎦
值为1
，最小值为-
⎡ππ⎤
f (x ) =sin(ωx +ϕ), 其中ω>0，
⎛|ϕ|
，其图像经过点M 0， 2⎝⎭
π
. 2
注：解题思路：有x 的取值范围，得出ωx +ϕ的取值范围，将ωx +ϕ看作整体，利用换元的思想放入
且函数
f (x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等
y =sin x 或y =cos x 的图象内，求最值。
函数
于
π
，求函数f (x ) 的解析式。 3
解：函数
y =A sin(ωx +ϕ) 几个物理量：A ― ；
f (x )
图像经过
点
⎛M 02，
则⎝⎭
f =
ϕ―
习题：84、已知函数
1
T
― （周期的倒数）；ωx +ϕ― ；
sin ϕ=
|ϕ|
π
2
，从而ϕ=
π
4
f (x ) =A sin(ωx +ϕ), x ∈R
. 又函数
（其中
A >0, ω>0,0
π
2
）的图象与x 轴的
f (x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
π3
，因而
T 2ππ==2ω2=)
交点中，相邻两个交点之间的距离为
，
3(
即
个最低点为
π
，且图象上一2
ω=3, ∴f x (
π
4
M (
x s . i +n 3)
（Ⅱ）当x ∈[
2π
, -2) (Ⅰ) 求f (x ) 的解析式；3
注：通过函数图像特征的分析求出函数的解析式，其中“图像的相邻两条对称轴之间的距离”蕴涵着半周期，两相邻零点之间的距离亦是半周期。 83、已知函数（Ⅰ）求
, ]，求f (x ) 的值域 122
2π
解：(Ⅰ) 由最低点为M (, -2) 得A =2.
3
由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为
ππ
f (x ) =2sin(π-x )cos x
π得2
T π2π2π=，即T =π，ω===2 22T π
2π
由点M (在) 图像上的-, 2⎡ππ⎤
-, 上的最大值和最小值 3⎢⎣62⎥⎦2π4π
2sin(2⨯+ϕ) =-2, 即sin(+ϕ) =-1
解：（Ⅰ）∵33
4ππ
f (x )=2sin (π-x )cos x =2sin x cos x =sin 2x 故+ϕ=2k π-, k ∈Z
3211π，
∴ϕ=2k π-6∴函数f (x ) 的最小正周期为π.
f (x ) 的最小正周期（Ⅱ）求f (x ) 在区间
又
（
Ⅱ
）
，
由∴
-
π
6
≤x ≤
π
2
⇒-
π
3
πππ
ϕ∈(0,), ∴ϕ=, 故f (x ) =2sin(2x +)
2
6
6
（
Ⅱ
）
≤2x ≤π
-≤sin 2x ≤1， 2
ππππ7π x ∈[, ], ∴2x +∈[, ]
122636
当2x +
ππ
6
=
2
，即x =
π
6
时，f (x ) 取得最大值2；当2x +
π
7π6
=
6 即x =
π
2
时，f (x ) 取得最小值-1，故
f (x ) 的值域为[-1,2].
（2）函数
y =A sin(ωx +ϕ) 表达式的确定：A 由
最 定；ω由 确定；ϕ由图象上的特殊点（一般为最高点或最低点）确定， 习题：85函数
f (x ) =A sin(ωx +ϕ) ，
其中A >0,|ϕ|
2
的图象如图所示，则
f (0)=______
第10题图
86、函数f (x ) ＝A sin(ωx＋φ)(A ＞0、ω＞0、|φ|＜π
2) 的部
分图象如图所示，则将y ＝f (x ) 的图象向右平移π
6
个单位
后，得到的图象解析式为
(
)
A ．y ＝sin2x
B ．y ＝cos2
x C ．y ＝sin(2x ＋2π
3
D ．y ＝sin(2x －π
6
)
87已知函数
f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A >0, ω>0,|ϕ|
2
) 的
部分图象如图所示.
(Ⅰ) 求函数f (x ) 的解析式； (Ⅱ) 若f (α2) =4π5,0
，求cos α的
值.
解：（Ⅰ）由图象知A =1
f (x ) 的最小正周期T =4⨯(
5π12-π
6
) =π, 故ω=
2π
T
=2 将点(
π
6
, 1代) 入f (x ) 的解析式得
sin(π+ϕ) =1, 又|ϕ|
3
2=6
故函数f (x ) 的解析式为
f (x =)
s +i π
6 (2)
(Ⅱ) f (α4π4
2) =5, 即sin(α+6) =5
，注意
到0
π
3
，则
π
6
π
6
π
2
，
所以cos(α+π
6
) =
35
.
又
cos α=[(α+π) -π]=cos(α+π)cos π+sin(ππ
6666α+6)sin 6
注：如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数式y =A sin (ωx +ϕ)中的参数A 和
ω，注意的是，所选择的点要认清其属“五点
法”中的哪一位置点，并能正确代入列式. 依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下：“第一点”（即图象上升时与x 轴的交点）为
ωx +ϕ=0;“第二点”（即图象曲线的“峰点”）
为ωx +ϕ=
π
2
;“第三点”（即图象下降时与x
轴的交点）为ωx +ϕ=π；“第四点”（即图象曲线的“谷点”）为ωx +ϕ=
3π
2
;“第五点”为ωx +ϕ=2π
（3）函数
y =A sin(ωx +ϕ) 图象的画法：①“五
点法”――设
X =ωx +ϕ
，分别令
X
＝
求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 习题：88、函数
y =sin 11
3x -cos 3
x -1的振幅
为 ，周期为 ，初相为 89、函数y =sin x cos x +cos 2x +
-3 2
31
cos 2x +sin 2x 22
(1)用“五点法”画出它的图象； (2)求它的振幅、周期及初相；
(3)说明该函数的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到？
注：用“五点法”作图应抓住四条：①化为y ＝A sin(ω
通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A , ω, ϕ. 这里需要注意的是，所选择的点要认清其属“五点法”中的哪一位置点，并能
正确代入列式. 依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下：“第一点”（即图象上升时与x 轴的交点）为ωx +ϕ=0;“第二点”（即图象曲线的“峰点”）为ωx +ϕ=
x ＋φ)(A ＞0，ω＞0) 或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω
＞0) 的形式；②求出周期T ＝
2π
ω
；③求出振幅A ；④
列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．⑤图象的变换顺序有两种，一是先平移，后伸缩；二是先伸缩，后平移．两者平移量不同，前者横移|φ|个单位，后者是横移
90、设函数
ϕ
ω
个单位
π
2
;“第三点”（即图
象下降时与x 轴的交点）为ωx +ϕ=π；“第
f (x ) =sin(2x +ϕ) (-π
四点”（即图象曲线的“谷点”）为
y =f (x ) 图像在x =
画出函数
π
8
取得最小值（Ⅰ）求ϕ（Ⅱ）
ωx +ϕ=
y =f (x ) 在区间[0, π]上的图像
3π
;“第五点”为ωx +ϕ=2π 2
解：（Ⅰ）∵函数在x =
π
8
取得最小值，从而
，，
∴即
函数
f (x ) =A sin(ωx +ϕ) 和f (x ) =A cos(ωx +ϕ)
∴
sin(2⨯
π
8
+ϕ) =-1
的最小正周期都是T 函数
= 。
π
4
+ϕ=2k π-
π
2
, k ∈Z
y =tan(wx +ϕ) 的最小正周期是
3π
ϕ=2k π-, k ∈Z
4
3
∵-π
43π
（Ⅱ）由y =sin(2x -)
知
3
习题：91、函数y ＝tan x 是
5
5
A. 周期为π的偶函数 B.周期为π的奇函数
35
C. 周期为3 π的偶函数 D. 周期为π的奇函数
+ϕ) +k 的图象与y =sin x ，若由
的图象，则向左或向右平移应平
移 个单位。 习题：92、把函数
y =sin (ωx )得到
y =sin x (x ∈R ) 的图象上所有
的点的横坐标缩短到原来的12
倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动π
3
个单位长度，得到
的图象所表示的函数是（ ）
A
y =sin(2x -π3) B y =x π
2+6)
C y =sin(2x +π2π
3) D y =sin(2x +3
)
93、已知函数f (
x )=
sin 2x ，为了得到函
数
g (x )=sin 2x +cos 2x 的图象，只要将
y =f (x )的图象
A 向右平移
π4个单位长度 B 向左平移π
4
个单位长度 C 向右平移π8个单位长度D 向左平移π
8
个单位长度
注：在变换中是针对自变量x 而言，先伸缩后平移
ϕ
ω
94、要得到函数
y =sin x
的图象，只需将函数
y =cos ⎛
π⎫⎝x -3⎪⎭的图象（ ）
A ．向右平移π
6个单位 B ．向右平移π
3
个单位 C ．向左平移π
3
个单位
D ．向左平移
π
6
个单位 95、已知函数
f (x ) =sin(ωx +π
4
)(x ∈R , ω>0)
的最小正周期为π，为了得到函数g (x ) =cos ωx
的图象，只要将
y =f (x ) 的图象A 向左平移
π8个单位长度B 向右平移π
8个单位长度C 向左平移π4个单位长度D 向右平移π
4
个单位长度
注：当两个函数的名称不同时，首先要利用诱导公式
将函数名称统一（加π2减
π
2
，注意符号的正负。），
其次要把ωx +ϕ变换成ω(x +ϕ
ω
) ，再确定平移的单位长度，根据
ϕω
的符号确定平移的方向，平移只是
针对其中的自变量x 而言。 96、设ω
>0，
函数y =sin ωx ωx 的图
像向右平移4π
3
个单位后与原图像重合，则ω的最小
值是
A.
23 B. 43 C. 3
2
D. 3 注：函数图像向右平移4π
3
个单位后与原图像重合，
意味着4π3
正好是函数周期的整数倍。
研究函数
y =A sin(ωx +ϕ) 性质的方法：类比于研究
y =sin x 的性质，
只需将y =A sin(ωx +ϕ) 中的 ___________看成y =sin x 中的x ，但在求
y =A sin(ωx +ϕ) 的单调区间时，
要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。
习题：97、函数y ＝sin(2x ＋π
3
的递增区间是
98、函数y ＝sin(
π
4
-2x ) 的递增区间是 99、已知函数f (x ) 3sin ωx＋cos ωx(ω＞0) ，y ＝f (x ) 的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x ) 的单调递增区间是
A ．[k π－π12，k π＋5π
12]，k ∈Z
B ．[k π＋5π12，k π＋11π
12，k ∈Z
C ．[k π－π3，k π＋π
6]，k ∈Z
D ．[k π＋π2π
6，k π＋3，k ∈Z
100、已知函数y ＝
3sin2x ＋cos2x ，x ∈R .
（1）求最小正周期；
（2）求函数的单调递增与递减区间；
（3）求函数的最大值、最小值，及函数取得最大、最小值时值自变量x 的集合； （4）求函数的对称中心及对称轴；
（5）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
答案