计算机科学２００７Ｖ０１．３４Ｎ０．１２
分数阶Ｌｉｉ系统中的混沌及其控制＊）
武相军１王兴元２
（河南大学计算中心
开封４７５００４）１
（大连理工大学电信学院计算机系大连１１６０２４）２
摘要研究了分数阶Ｌｎ系统的混沌动力学行为、数值模拟证明分数阶Ｌｉｌ系统存在混沌，并且得出分数阶Ｌｎ系统能产生混沌吸引子的最低阶数为２．５阶。利用线性反馈控制法研究了分数阶Ｌｉｌ混沌系统的混沌控制问题，得出了受控分数阶ＬＩｉ混沌系统的混沌轨道达到不稳定平衡点时的条件，数值模拟进一步验证了该方法的有效性．关键词分数阶Ｌｎ系统，线性反馈控制法，混沌控制
ＣｈａｏｓｉｎｔｈｅＦｒａｃｔｉｏｎａｌＯｒｄｅｒＬｆｉＳｙｓｔｅｍａｎｄｉｔｓＣｏｎｔｒｏｌ
ＷＵＸｉａｎｇ－ＪｕｎＩＷＡＮＧＸｉｎｇ－Ｙｕａｎ２
（ＣｏｍｐｕｔｉｎｇＣｅｎｔｅｒ，ＨｅｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｋａｉｆｅｎｇ４７５００１）１
（Ｓｃｈｏｏｌｏｆ日ｅｃｔｒｏｎｉｃ＆ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＤａｌｉａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ。Ｄａｌｉ珊ａｉ１６０２４）ｚ
Ａｂｓｔｒａｃｔ
ＴｈｅｃｈａｏｔｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｓｉｎｔｈｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌｏｒｄｅｒＬＵｓｙｓｔｅｍｉｓｓｔｕｄｉｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｃｈａｏｓｅｘｉｓｔｓｉｎｔｈｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌ
ｔｏ
ｏｒｄｅｒＬＵｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈｏｒｄｅｒｌｅｓ￥ｔｈａｎ３ｖｅｒｉｆｉｅｄｂｙｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｈｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｌｏｗｅ．ｓｔｏｒｄｅｒｗｅｆｏｕｎｄｈａｖｅｃｈａｏｓ
ｉｎ
ｔｈｉｓｓｙｓｔｅｍｉｓ２．５．ＴｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｃｏｎｔｒｏｌｃｈａｏｔｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｔｈｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌｏｒｄｅｒＬｎｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｕｓｉｎｇｔｈｅｌｉｎｅａｒｆｅｅｄｂａｃｋｃｏｎｔｒｏｌｍｅｔｈｏｄｉｓａｄｄｒｅｓｓｅｄ．Ｔｈｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｓｕｐｐｒｅｓｓｉｎｇｃｈａｏｓｔｏｕｎｓｔａｂｌｅｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｐｏｉｎｔｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓｓｈｏｗｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｆｅｅｄｂａｃｋｍｅｔｈｏｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ
ａｒｅ
ｄｅｒｉｖｅｄ．Ｎｕ．
ＦｒａｃｔｉｏｎａｌｏｒｄｅｒＬｎｓｙｓｔｅｍ。Ｌｉｎｅａｒｆｅｅｄｂａｃｋｃｏｎｔｒｏｌｍｅｔｈｏｄ，Ｃｈａｏｓｃｏｎｔｒ０１
分数阶微积分的理论研究已有３００多年的历史，但是分数阶微积分理论由于长期没有实际应用背景而发展缓慢。近年来，国内外学者研究发现，在黏弹性系统、电介质偏振现象、电极一电解偏振现象、电磁波中存在分数阶动力系统，从而使得分数阶微积分理论应用到物理和工程领域成为一个热点研究课题Ｅ］，２３。最近，分数阶混沌系统引起人们广泛的兴趣和深入的研究。在Ｌｏｒｅｎｚ混沌系统，Ｄｕｆｆｉｎｇ混沌系统、Ｃｈｕａ’ｓ混沌电路、ＲＯｓｓｌｅｒ混沌和超混沌系统以及临界混沌系统［刀中，通过数值仿真，发现当系统的阶数为分数时仍出现混沌状态Ｅ３－ｑ，且更能反映系统呈现的工程物理现象，从而促进了分数阶混沌的研究以及分数阶微积分理论的发展。近来，人们
它的分数阶微分就不一定具有这样的意义了，因此函数，（￡）的初始值常常难以测度和给定。
下面我们看另一种分数阶微分定义——ｃａｐｕｔｏ定义的分数阶微分‘２川］，其数学表达式如下，
业２：，一业．
ｄｅ
。
舻’
（３）
式中，玎一１≤＜起，口为分数，挖为正整数，Ｊ，是卢（胗０）阶硒一
ｅａｍｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ积分算子，定义如下
珊（￡）一南Ｊ
值容易测度和确定。
１
６尚ｄｒ
∥一、
（４）
尝试研究分数阶混沌系统的控制与同步问题。文Ｅ８３研究了
分数阶Ｃｈｅｎ系统的混沌特性和分数阶Ｃｈｅｎ系统的混沌控
使用Ｃａｐｕｔｏ定义的分数阶微分，对于初始值，（ｏ），／（ｏ）’．．・，，”Ｄ（ｏ），由于它们具有各自的含义，因此这些初始
如果使用Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ定义的分数阶微分，需要预先给定初始条件，并且要求这些初始条件具有相同的意义或性质；而Ｃａｐｕｔｏ定义的分数阶微分允许非同质的初始条件，在初始条件完全相同的情况下，ＲｉｅｍａｎｒｒＬｉｏｕｖｉＵｅ定义的分
制；文［９３讨论了分数阶混沌系统的混沌同步问题。
分数阶微分有多种定义［１’２’１引，在以上文献的分数阶微分研究中，应用的都是Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ定义的分数阶微分，其数学表达式如下：
生世：！丑业ｆ￡．丛互２。ｄｒｒ（起一口）ｄｅ＇’ｏ（－－ｒ）。一。＋ｌ’
ｄ，
数阶微分和Ｃａｐｕｔｏ定义的分数阶微分是等价的［１．ｚ］．基于
ｆ１、
、１７
以上的分析，作者使用Ｃａｐｕｔｏ定义的分数阶微分研究了分数阶Ｌｔｉ系统的混沌动力学行为。给出了数值仿真结果，并且利用线性反馈控制法研究了分数阶Ｌｎ系统的混沌控制，数值
式中，ｒ（・）是伽马函数，玎一１≤口＜他，口为分数，露为正整数．
如果函数八￡）的初始值均为零，则（１）式的拉普拉斯变换表
达式可表示为
模拟进一步验证了该控制方法的有效性。
（２）
Ｌ｛掣｝＝川彻）
１
分数阶微分及其近似计算
２００２年，吕金虎等人发现了介于Ｌｏｒｅｎｚ系统ｍ１和Ｃｈｅｒｔ
使用Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ定义的分数阶微分．必须精确知道分数阶微分的未知函数在初始时间ｔ＝０时的初始值ｍ】。在实际应用中，函数，（￡）可能有某种特定的物理意义，但是
系统‘１钉之间的一个新系统，即Ｌｕ系统‘・‘］，它由如下的三维自治方程组来描述
＊）本文得到国家自然科学基金（编号：６０５７３１７２）和河南省自然科学基金（编号。０５１１０１１４００和０６１１０５４７００）资助．・２０４・
万方数据
ｆｚ＆＝ｎ（ｙ—ｚ）其中黛、Ｙ、＝为系统的状恣变量，ａ、ｂ和ｆ为系统的控制参数。
．｛ｙ＆＝－－ｘｚ＋ｃｙ，
（５）
当参数ａ－－－－３６、ｂ＝３和ｃ＝２０时，系统（５）进入混沌状态，图１
【ｚ＆＝ｘｙ一搬
所承为如系统的混沌吸弓ｌ子。
Ｚ
Ｊ
），
匿１糙系统酶混淹吸萼｜子
ｆ鲁＝口（ｙ－－ｘ）
斟ｔ毛＋—‰口（豫ｔ一珠・）十｛辫一鞘◆锣．氛磊ｈ．＝ｅｌＦ两妻口ｌ幽一ｌａＣ。ｙｊ一而）国
跚２殉÷志ｅ一粕翻＋嘲汁㈣・茅石而岩∥１幽一ｌ一而）
悟－－＇ｒｙ
Ｏ’Ｚ
龈ｔ＝翱＋志（臻，蠕＋ｔ一６２‰ｔ）＋
氚瓦ｈｅ＋ｚ２）二∥２．ｍ＋１（一而ｚ，＋ｃＭ）
根据文［１ｓ～１７］，我识霹浚褥戮系统＜６＞鹊溪溺一修正算
法，该方法是Ａｄａｍｓ－Ｂａｓｈｆｏｒｔｈ－Ｍｏｕｈｏｎ方法的一般化。微亍哥差等丽查舔一种ｌ（乃弱一酝ｉ）赢瓦硒暑∥３一种ｌ
ｔ乃弱一％’分方程
式巾，
。等＝“∽），ｏ≤≤Ｔ
．
ｆ磁＋，＝动＋亍巧１再差狰小抖ｔ口（∞一而）
ｚ疆’（Ｏ）；森酚，ｋ＝Ｏ，１，２。…，ｎ－－１
｛难ｔ２骛＋ｉ孓瑟ｊ羞》Ｊ。一ｔ（一妨≈＋ｃｙｊ），
等价于如下的Ｖｏｌｔｅｒｒａ积分方程㈣
ｚ＝勖）ｌ！｝＋忐Ｊｓ磐抟如
㈣
【锑＋ｔ＝知＋志盏ｐ西一ｔ（而＂一慨）
ｄｔｉ，ｊ。＃＋ｌ。
瑕设矗２：ｙ炎，气＝ｎｈ（ｎ＝０，１，２，…，Ｎ），弱式（７）霹用蘩
ｆ嘏十‘～（携一壤）≤露＋１）赣，
ｊ－－Ｏ下式子表示；
＿｛（ｎ－－ｊ＋２）８ｉ＋１＋（ｎ－－ｊ）８ｉ＋１－－２（ｎ－－ｊ＋１）ｅ，＋１．
１≤０≤孵，。
魏（“－）一磊毋，锊＋穴轰丽““ｔ．霸（“一））
１１．
ｊ＝ｎ＋１
编∑鸯，一ｌｆ（ｔｉ，磊＜务））
届小时ｌ＝警（（靠一Ｉ『＋１）ｄＩ一妇一』）吨）。
Ｏ≤ｊ≤露，ｉ＝１，２，３．
式中．
２分数阶Ｌ矗混沌系统的数值模拟
ａｊ．一１２
ｆｎ＂＋１－－（ｎ－－ａ）（ｎ＋１）。＋１。
ｊ＝Ｏ
在以下的数值模拟中，分数阶系统（６）的参数仍然取口一｛（撵一歹＋２）ｆ｝１＋（ｎ－－ｊ）。州－－２（ｎ－－ｊ＋１）．＋１，ｌ≤，《洳，
３６、ｂ＝３翔ｃ＝２０。佟者分别利用第２节分数阶系统的离｛敦
【１。ｊ＝ｎ＋ｌ
纯方法耱Ｗｏｌｆ求系统最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ擐羧瞻方法疆《，褒究了
当初始值分别取ｚ（Ｏ）－－－－－１、，（ｏ）＝ｚ和ｚ（Ｏ）＝３，受（ｏ＜绕≤ｌ，ｉ霸（“）一窟ｔ－－Ｏ舻智＋志磐州ｆ（ｔｉ州枷，
；ｌ，２，３）取不同值时，分数阶Ｌｎ系统的幼力学特性。
岛，抖ｚ一警（（抖～歹＋１）．一＜蔸一Ｊ）。）。
（１）０１＋岛＋岛＞／－２．５
銎巍＝ｏ。９、岛＝ｏ．９４和岛＝ｏ。９６嚣寸，分数阶系统（ｇ）的
误差德诗麦￡一Ｍａｘｌｚ（ｔｊ）一蕊（务）｜＝０（妒）０一Ｏ，１，…，耀黧魏烫２瑟示，其最大跏辨ｎｏｖ揍数必筑５４６８，霉凳分数
＾Ｄ，其中ｐ＝Ｍｉｎ（２，】＋口）．
阶系统（６）确实处予混沌状态。当蘸一Ｏ．９、受一ｏ．８和秘一使用上述方法，可将分数阶系统（６）离散化为如下表达０．８时，分数阶系统（６）的相图如图３所承，其最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ式：
指数为０．３９５４，可见分数阶系统（６）是混沌系统。当融一Ｏ．９、瑰－－－０．７和岛＝ｏ．９时，分数阶系统（６）的榴匿如蓬４所零，
万
方数据・２０５・
其最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数为０．３２１６，可见系统（６）是混沌系统。同理，当０＜岛≤１（ｉ＝１，２，３）且ａ＋岛＋岛≥２．５时，系统同
样处于混沌状态。
Ｚ
），
图２岛＝Ｏ．９，＆＝Ｏ．９４和岛＝Ｏ．９６时分数阶Ｌｉｌ系统的相图
），
图３岛＝ｏ．９，晓＝Ｏ．８和岛＝０．８时分数阶Ｌｌｌ系统的相图
），
图４岛－－－－０９，岛＝Ｏ．７和岛－－－－０．９时分数阶Ｌｉｌ系统的相图
），
图５毋＝Ｏ．９，如－－－－０．７和侥＝０．７时分数阶Ｌｉｌ系统的相图
当兜＝０．９、＆＝０．７和岛＝Ｏ．７时，系统（６）的相图如图５所示，系统的运动轨道趋向于一个极限环（不稳定周期轨道），
・２０６．
可见系统（６）不是混沌的。同理，当Ｏ＜晚≤１（ｉ＝１，２，３）且岛
（下转第２１０页）
万方数据
ＶＭ更为显著的识别效果。
参考文献
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（上接第２０６页）
＋如＋０３＜２．５时，系统同样也不是混沌的。
综合（１）、（２），可知分数阶Ｌｎ系统能产生混沌吸引子的最低阶数为２．５阶。
（６）的混沌运动轨道镇定到不稳定平衡点Ｅ上。设计线性反馈控制器为
ｒ让１５五ｌ（ｚ一；）
＜砌＝乜（ｙ－－ｙ），
（１０）
３分数阶Ｌｎ混沌系统的控制
在本节中，我们研究将分数阶Ｌｎ混沌系统镇定到它的不稳定平衡点。取研一岛＝岛＝Ｏ．９，显然，分数阶Ｌｎ系统处于混沌状态，并且Ｅ（０，Ｏ，Ｏ）是它的一个不稳定平衡点。下面我们利用线性反馈控制法将分数阶Ｌｎ混沌系统的运动轨道镇定到不稳定平衡点。
受控分数阶Ｌｎ系统为
ｆ掸ｚ
，
、
【均＝五，（２一；）
式（１０）中（至，；，三）代表系统（６）的不稳定平衡点Ｅ，愚１、岛
和岛是反馈增益。
受控系统（９）在平衡点处的Ｊａｃｏｂｉ矩阵为
ｒ一口一愚１
ａ
００
产１。０
其特征方程为
ｃ一是２
Ｏ
一６一岛
ｌ面２口（Ｙ一工）一“ｌ
（Ａ＋口＋量１）（Ａ—ｃ＋忌２）（Ａ＋ｂ＋ｋ３）＝Ｏ
显然，特征方程的特征根为
（９）
Ａ１＝一ｎ一愚ｌ’Ａ２＝ｃ一愚ｚ，Ａ３＝一６一岛
｛参一ｘｚ＋ｃｘ飞。
Ｉ水ｚ
．
当特征方程的实特征根均为负值时，受控系统（９）渐近稳定地趋于平衡点Ｅ，可求得岛＞一３６、量２＞２０和五３＞－－３。
【面。ｘｙ—ｂｚ一均
这里０＝２９，ｔ／．／（ｉ＝１，２，３），是反馈外部输入控制，可使系统
ｔ／ｓ
图６利用线性反馈法镇定分数阶Ｌｎ系统到平衡点时工（￡）、ｙ（ｆ）和２（￡）的变化曲线
图６给出了当选取受控系统（９）的初始点为：ｚ（０）＝２、Ｙ（Ｏ）一１和ｚ（Ｏ）＝一１，取ｋｌ—Ｏ、量２－－－－２５和愚３＝Ｏ时，受控系统（９）镇定到平衡点Ｅ（０，０，ｏ）上的结果。由图６可见：当ｔ分别接近５．８ｓ、７．８ｓ和１３．８ｓ时，ｚ（ｆ）、ｙ（￡）和ｚ（ｔ）分别稳定到了零点，即受控系统（９）被镇定到平衡点Ｅ（０，０，ｏ）上。
结论本文研究了分数阶Ｌｎ系统的混沌动力学特性，数值模拟证明分数阶Ｌｎ系统确实存在混沌，并且得出分数阶Ｌｎ系统能产生混沌吸引子的最低阶数为２．５阶。作者利
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万方数据
分数阶Lü系统中的混沌及其控制
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
武相军， 王兴元， WU Xiang-Jun， WANG Xing-Yuan
武相军,WU Xiang-Jun(河南大学计算中心,开封,475004)， 王兴元,WANG Xing-Yuan(大连理工大学电信学院计算机系,大连,116024)计算机科学
COMPUTER SCIENCE2007,34(12)4次
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引用本文格式：武相军. 王兴元. WU Xiang-Jun. WANG Xing-Yuan 分数阶Lü系统中的混沌及其控制[期刊论文]-计算机科学 2007(12)