数学必修4——三角函数的图像与性质
1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2. 三角函数的单调区间:
的递增区间是,
递减区间是;
的递增区间是,
递减区间是
的递增区间是,
3. 函数
最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,初相是;其图象的对称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
4. 由y =sin x 的图象变换出y =sin (ωx +
途径,才能灵活地进行图象变换。
利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现. 无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。
途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y =sin x 的图象向左(>0)或向右(<0=平移||个单位,再将图象)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),便得到y =sin (ωx +)的图象。 途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y =sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),再沿x 轴向左(>0)或向右(<0,平移个单位,便得到y =sin (ωx +)的图象。
5. 对称轴与对称中心:
的对称轴为,对称中心为;
的对称轴为,对称中心为;
对于
值点相联系。 和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最
6. 五点法作y =A sin (ωx +)的简图:
五点法是设X=ωx +,由X 取0、
值,再描点作图。
、π、、2π来求相应的x 值及对应的y
【典型例题】
例1. 把函数y =cos(x +
值是( ) )的图象向左平移个单位,所得的函数为偶函数,则的最小
A. B. C. D.
解:先写出向左平移4个单位后的解析式,再利用偶函数的性质求解。
向左平移个单位后的解析式为y =cos(x ++)
则cos (-x ++)=cos(x ++),
cos x cos (+)+sinx sin (+)=cosx cos (+)-sin x sin (+) ∴sin x sin (+)=0,x ∈R.
∴+=k π,∴=k π->0
∴k >,∴k =2,∴=
答案:B
例2. 试述如何由y =sin (2x +)的图象得到y =sinx 的图象。
解:y =sin (2x +)
另法答案:
(1)先将y =sin (2x +)的图象向右平移个单位,得y =sin2x 的图象;
(2)再将y =sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得y =sin x 的图象;
(3)再将y =sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到y =sinx 的图象。
例3. 求函数y =sin4x +2sin x cos x -cos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π
]
上的单调递增区间。
解:y =sin4x +2sin x cos x -cos 4x
=(sin 2x +cos2x )(sin 2x -cos 2x )+sin2x
=sin2x -cos2x
=2sin(2x -).
故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;单调递增区间是[0,],[,π] 点评:把三角函数式化简为y =A sin (ωx +)+k (ω>0)是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法。
例4. 已知电流I 与时间t 的关系式为。
(1)下图是(ω>0,)
在一个周期内的图象,根据图中数据求
的解析式;
(2)如果t 在任意一段秒的时间内,电流都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?
解:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力。
(1)由图可知 A =300
设t 1=-,t 2=
则周期T =2(t 2-t 1)=2(+)=
∴ω==150π
将点代入
∴=
故所求的解析式为
(2)依题意,周期T ≤,即≤,(ω>0)
∴ω≥300π>942,又ω∈N *
故最小正整数ω=943.
点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言.其中,读图、识图、用图是形数结合的有效途径。
【模拟试题】
1. 在(0,2π)内,使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( )
A. (,)∪(π,) B. (,π)
C. (,) D. (,π)∪(,)
2. 如果函数f (x )=sin(πx +θ)(0<θ<2π=的最小正周期是T ,且当x =2时取得最大值,那么( )
A. T =2,θ= B. T =1,θ=π C. T =2,θ=π D. T =1,θ=
3. 设函数f (x )=A +B sin x ,若B <0时,(x )f 的最大值是
B =_______。 ,最小值是-,则A =_______,
4. 已知函数y =tan(2x +)的图象过点(,0),则可以是( )
A. - B. C. - D.
5. 函数y =sin(-2x )+sin2x 的最小正周期是( )
A. 2π B. π C. D. 4π
6. 若f (x )sin x 是周期为π的奇函数,则f (x )可以是( )
A. sinx B. cosx C. sin2x D. cos2x
7. 函数y =2sin(-2x )(x ∈[0,π])为增函数的区间是( )
A. [0,] B. [,]
C. [,] D. [,π]
8. 把y =sinx 的图象向左平移个单位,得到函数__________的图象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标保持不变,得到函数__________的图象。
9. 函数y =lg(cos x -sin x )的定义域是_______.
10. f (x )=2cos2x +
的值等于( ) sin2x +a (a 为实常数)在区间[0,]上的最小值为-4,那么a
A. 4 B. -6 C. -4 D. -3
【试题答案】
1. 答案:C
2. 解析:T ==2,又当x =2时,sin (π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ,要使上式取得最大值,可取θ=
答案:A 。
3. 解析:根据题意,由可得结论
答案: -1
4. 解析:将(
答案:A ,0)代入原函数可得,tan (+)=0,再将A 、B 、C 、D 代入检验即可。
5. 解析:y =
答案:B
6. 答案:B cos2x -sin2x +sin2x =cos2x +sin2x =sin(+2x ),T =π.
7. 解析:对于y =2sin(-2x )=-2sin (2x -),其增区间可由y =2sin(2x -)的减区间得到,即2k π+≤2x -≤2k π+,k ∈Z 。
∴k π+
答案:C ≤x ≤k π+,k ∈Z. 令k =0,故选C.
8. 解析:向左平移个单位,即以x +代x ,得到函数y =sin(x +),再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,即以x 代x ,得到函数:y =sin(x +)。
答案:y =sin(x +) y =sin(x +)
9. 解析:由cos x -sin x >0cos x >sin x . 由图象观察,知2k π-<x <2k π+(k ∈Z )
答案:2k π-<x <2k π+(k ∈Z )
10. 解析:f (x )=1+cos2x +sin2x +a =2sin(2x +)+a +1.
∵x ∈[0,],∴2x +∈[,].
∴f (x )的最小值为2×(-
∴a =-4. )+a +1=-4