平面的方程：
1、点法式：A (x -x 0) +B (y -y 0) +C (z -z 0) =0，其中n ={A , B , C },M 0(x 0, y 0, z 0) 2、一般方程：Ax +By +Cz +D =0x y z
3++=1
a b c
平面外任意一点到该平面的距离：d =
Ax 0+By 0+Cz 0+D
A 2+B 2+C 2
⎧x =x 0+m t
x -x y -y 0z -z 0 ⎪
0===t , 其中s ={m , n , p };参数方程：⎨y =y 0+nt
m n p ⎪z =z +pt
0⎩
多元函数微分法及应用
全微分：dz =
∂z ∂z ∂u ∂u ∂u
dx +dy du =dx +dy +dz ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z
多元复合函数的求导法：
dz ∂z ∂u ∂z ∂v
z =f [u (t ), v (t )]=⋅+⋅
dt ∂u ∂t ∂v ∂t
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v
z =f [u (x , y ), v (x , y )]=⋅+⋅
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
当u =u (x , y ) ，v =v (x , y ) 时，du =
∂u ∂u ∂v ∂v
dx +dy dv =dx +dy ∂x ∂y ∂x ∂y
隐函数的求导公式：
F x F F dy dy d 2y ∂∂
隐函数F (x , y ) =0=-2=(-x ) ＋(-x ) ⋅
dx F y ∂x F y ∂y F y dx dx F y F x ∂z ∂z
隐函数F (x , y , z ) =0=-=-
∂x F z ∂y F z
微分法在几何上的应用：
⎧x =ϕ(t )
x -x y -y 0z -z 0⎪
空间曲线⎨y =ψ(t ) 在点M (x 0, y 0, z 0) 0==
''ϕ(t 0) ψ(t 0) ω'(t 0) ⎪z =ω(t )
⎩
在点M 处的法平面方程：ϕ'(t 0)(x -x 0) +ψ'(t 0)(y -y 0) +ω'(t 0)(z -z 0) =0曲面F (x , y , z ) =0上一点M (x 0, y 0, z 0) ，则：
1、过此点的法向量：n ={F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)}
2、过此点的切平面方程：F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0) +F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0) +F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0) =0x -x 0y -y 0z -z 03==
F x (x 0, y 0, z 0) F y (x 0, y 0, z 0) F z (x 0, y 0, z 0)
方向导数与梯度：
∂f ∂f ∂f
函数z =f (x , y ) 在一点p (x , y ) 沿任一方向l =cos ϕ+sin ϕ
∂l ∂x ∂y 其中ϕ为x 轴到方向l 的转角。
∂f ∂f i +j ∂x ∂y
∂f
它与方向导数的关系是=grad f (x , y ) ⋅e ，其中e =cos ϕ⋅i +sin ϕ⋅j ，为l 方向上的
∂l
单位向量。∂f
∴是grad f (x , y ) 在l 上的投影。∂l 函数z =f (x , y ) 在一点p (x , y ) 的梯度：grad f (x , y ) =
多元函数的极值及其求法：
设f x (x 0, y 0) =f y (x 0, y 0) =0，令：f xx (x 0, y 0) =A , f xy (x 0, y 0) =B , f yy (x 0, y 0) =C ⎧⎧A
⎨⎪AC -B >0时，
⎩A >0, (x 0, y 0) 为极小值⎪⎪2
则：值⎨AC -B
柱面坐标和球面坐标：
⎧x =r cos θ
⎪
柱面坐标：f (x , y , z ) dxdydz =⎰⎰⎰F (r , θ, z ) rdrd θdz , ⎨y =r sin θ, ⎰⎰⎰ΩΩ⎪z =z
⎩其中：F (r , θ, z ) =f (r cos θ, r sin θ, z )
⎧x =r sin ϕcos θ⎪2
球面坐标：⎨y =r sin ϕsin θ， dv =rd ϕ⋅r sin ϕ⋅d θ⋅dr =r sin ϕdrd ϕd θ
⎪z =r cos ϕ⎩
2π
πr (ϕ, θ)
⎰⎰⎰f (x , y , z ) dxdydz =⎰⎰⎰F (r , ϕ, θ) r
Ω
Ω
2
sin ϕdrd ϕd θ=⎰d θ⎰d ϕ
⎰F (r , ϕ, θ) r
2
sin ϕdr
=
1M
⎰⎰⎰x ρdv , =
Ω
Ω
1M
⎰⎰⎰y ρdv , =
Ω
Ω
1M
⎰⎰⎰z ρdv ， 其中M ==⎰⎰⎰ρdv
Ω
Ω
Ω
转动惯量：I x =⎰⎰⎰(y 2+z 2) ρdv ， I y =⎰⎰⎰(x 2+z 2) ρdv ， I z =⎰⎰⎰(x 2+y 2) ρdv
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
⎧x =ϕ(t ) 设f (x , y ) 在L 上连续，L 的参数方程为：, (α≤t ≤β), 则：⎨
⎩y =ψ(t )
⎰
L
⎧x =t 22
''f (x , y ) ds =⎰f [ϕ(t ), ψ(t (t ) +ψ(t ) dt (α
⎩y =ϕ(t ) α
β
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：⎧x =ϕ(t ) 设L 的参数方程为，则：⎨
⎩y =ψ(t )
β
⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =α⎰{P [ϕ(t ), ψ(t )]ϕ'(t ) +Q [ϕ(t ), ψ(t )]ψ'(t )}dt
L
两类曲线积分之间的关系：⎰Pdx +Qdy =⎰(P cos α+Q cos β) ds ，其中α和β分别为
L
L
L 上积分起止点处切向量的方向角。
∂Q ∂P ∂Q ∂P
格林公式：(-) dxdy =Pdx +Qdy 格林公式：(-) dxdy =Pdx +Qdy ⎰⎰⎰⎰∂x ∂y ∂x ∂y D L D L ∂Q ∂P 1当P =-y , Q =x -=2时，得到D 的面积：A =⎰⎰dxdy =xdy -ydx
∂x ∂y 2L
D ·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G 是一个单连通区域；
2、P (x , y ) ，Q (x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！
·二元函数的全微分求积：∂Q ∂P
在＝时，Pdx +Qdy 才是二元函数u (x , y ) 的全微分，其中：∂x ∂y
(x , y )
∂Q ∂P
＝。注意奇点，如(0, 0) ，应∂x ∂y
u (x , y ) =
(x 0, y 0)
⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ，通常设x
=y 0=0。
曲面积分：
22
对面积的曲面积分：⎰⎰f (x , y , z ) ds =⎰⎰f [x , y , z (x , y +z x (x , y ) +z y (x , y ) dxdy
∑
D xy
对坐标的曲面积分：，其中：⎰⎰P (x , y , z ) dydz +Q (x , y , z ) dzdx +R (x , y , z ) dxdy
∑
号；⎰⎰R (x , y , z ) dxdy =±⎰⎰R [x , y , z (x , y )]dxdy ，取曲面的上侧时取正
∑
D xy
号；⎰⎰P (x , y , z ) dydz =±⎰⎰P [x (y , z ), y , z ]dydz ，取曲面的前侧时取正
∑
D yz
号。⎰⎰Q (x , y , z ) dzdx =±⎰⎰Q [x , y (z , x ), z ]dzdx ，取曲面的右侧时取正
∑
D zx
两类曲面积分之间的关系：⎰⎰Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =⎰⎰(P cos α+Q cos β+R cos γ) ds
∑
∑
级数审敛法：
1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：⎧ρ
⎪
设：ρ=lim u n ，则⎨ρ>1时，级数发散
n →∞
⎪ρ=1时，不确定⎩2、比值审敛法：
⎧ρ
U ⎪
设：ρ=lim n +1，则⎨ρ>1时，级数发散
n →∞U n ⎪ρ=1时，不确定
⎩3、定义法：
s n =u 1+u 2+ +u n ; lim s n 存在，则收敛；否则发散。
n →∞
交错级数u 1-u 2+u 3-u 4+ (或-u 1+u 2-u 3+ , u n >0) 的审敛法——莱布尼兹定理：⎧ ⎪u n ≥u n +1如果交错级数满足，那么级数收敛且其和s ≤u , 其余项r r ≤u 。⎨lim u =01n n n +1
n ⎪⎩n →∞
绝对收敛与条件收敛：
(1) u 1+u 2+ +u n + ，其中u n 为任意实数；(2) u 1+u 2+u 3+ +u n +
如果(2) 收敛，则(1) 肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2) 发散，而(1) 收敛，则称(1) 为条件收敛级数。 1(-1) n
调和级数：∑n 发散，而∑n 1
级数：∑n 2收敛；
≤１时发散1
p 级数：∑n p p >1时收敛
幂级数：
1
x
对于级数(3) a 0+a 1x +a 2x 2+ +a n x n + ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
x
数轴上都收敛，则必存在R ，使x >R 时发散，其中R 称为收敛半径。
x =R 时不定
1
ρ≠0时，R =
求收敛半径的方法：设lim
a n +1
=ρ，其中a n ，a n +1是(3) ρ=0时，R =+∞
n →∞a n
ρ=+∞时，R =0
ρ
函数展开成幂级数：
f ''(x 0) f (n ) (x 0) 2
函数展开成泰勒级数：f (x ) =f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0) + +(x -x 0) n +
2! n !
f (n +1) (ξ)
余项：R n =(x -x 0) n +1, f (x ) 可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim R n =0
n →∞(n +1)! f ''(0) 2f (n ) (0) n
x 0=0时即为麦克劳林公式：f (x ) =f (0) +f '(0) x +x + +x +
2! n !
一些函数展开成幂级数：
m (m -1) 2m (m -1) (m -n +1) n
x + +x + (-1
352n -1
x x x
sin x =x -+- +(-1) n -1+ (-∞
3! 5! (2n -1)! (1+x ) m =1+mx +
欧拉公式：
⎧e ix +e -ix
cos x =⎪⎪2ix
e =cos x +i sin x 或⎨ix -ix
⎪sin x =e -e ⎪2⎩
a 0∞n πx n πx
f (x ) =+∑(a n cos +b n sin ) ，周期=2l
2n =1l l
l ⎧1n πx a =f (x ) cos dx (n =0, 1, 2 ) ⎪n ⎰l l ⎪-l
其中⎨l
⎪b =1f (x ) sin n πx dx (n =1, 2, 3 ) ⎪n l ⎰l -l ⎩
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：y '=f (x , y ) 或 P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0
可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g (y ) dy =f (x ) dx 的形式，解法：
⎰g (y ) dy =⎰f (x ) dx 得：G (y ) =F (x ) +C 称为隐式通解。
dy y
=f (x , y ) =ϕ(x , y ) ，即写成的函数，解法： dx x
y dy du du dx du y 设u =，则=u +x ，u +=ϕ(u ) ，∴=代替u ，
x dx dx dx x ϕ(u ) -u x 齐次方程：一阶微分方即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
dy
1+P (x ) y =Q (x )
dx
-P (x ) dx
当Q (x ) =0时, 为齐次方程，y =Ce ⎰
当Q (x ) ≠0时，为非齐次方程，y =(⎰Q (x ) e ⎰dy
2+P (x ) y =Q (x ) y n ，(n ≠0, 1)
dx
全微分方程：
P (x ) dx
dx +C ) e ⎰
-P (x ) dx
如果P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0中左端是某函数的全微分方程，即：
∂u ∂u
du (x , y ) =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0=P (x , y ) =Q (x , y )
∂x ∂y ∴u (x , y ) =C 应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程：
f (x ) ≡0时为齐次d 2y dy
+P (x ) +Q (x ) y =f (x ) dx dx 2f (x ) ≠0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)y ''+p y '+qy =0，其中p , q 为常数；求解步骤：
1、写出特征方程：(∆) r 2+pr +q =0，其中r 2，r 的系数及常数项恰好是(*)式中y '', y ', y 的系数；2、求出(∆) 式的两个根r 1, r 2
3、根据r 1, r 2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：
二阶常系数非齐次线性微分方程
y ''+p y '+qy =f (x ) ，p , q 为常数f (x ) =e λx P m (x ) 型，λ为常数；f (x ) =e λx [P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]型