新定义型专题 第一部分 讲解部分
（一）专题诠释
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点
. 在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力
（二）解题策略和解法精讲
“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；2的差倒数是
1111
=．已知a 1＝－，a 2是a 1的差倒=-1，－1的差倒数是
1-(-1) 231-2
数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2009＝ ．
【分析】：理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可．
【解】：解：根据差倒数定义可得：a 2=
113
==， 1-a 11+14
3
a 3=
11
==4
31-a 21-4111
==-． 1-a 31-43
a 4=
显然每三个循环一次，又2009÷3＝669余2
，故a 2009和a 2的值相等．
【评注】：此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律．
考点二：运算题型中的新定义
例2. （2011毕节地区，18
，3分）对于两个不相等的实数a 、b
，定义一种新的运算如下，
a *b =
=
， ，如：3*2=a +b ＞0）
3﹣2那么6*（5*4）= ．
【分析】：本题需先根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4
）的值即可求出结果． 【解】：∵a *b =
，∴5*4==3， a +b ＞0）
5﹣4=1．故答案为：1． ∴6*（5*4）=6*3，【评注】本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．
例3. （2010重庆江津区，15，4分）我们定义
ab cd
例如错误！=ad -bc ，
23
=2×545
x
﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x ，y 均为整数，且满足1＜错误！未指定书签。＜3，则x+y的值
y 4
是 ．
【分析】：先根据题意列出不等式，根据x 的取值范围及x 为整数求出x 的值，再把x 的值代入求出y 的值即可．
⎧xy
xy >1⎩
∵x 、y 均为整数，∴xy 为整数，∴xy =2，∴x =±1时，y=±2； x=±2时，y =±1；∴x+y=2+1=3或x+y=﹣2﹣1=﹣3．
【评注】：此题比较简单，解答此题的关键是根据题意列出不等式，根据x ，y 均为整数求出x 、y 的值即可．
考点三：探索题型中的新定义
例4. (2009 台州，23， 分）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等
的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P 就是四边形ABCD
的准内点．
（1）如图2，∠AFD 与∠DEC 的角平分线FP ，EP 相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD
的准内点．
（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必
要的说明）
（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”． ①任意凸四边形一定存在准内点．（ ） ②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ）
③若P 是任意凸四边形ABCD 的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（ ）
【分析】：（1）过点P 作PG ⊥AB ，PH ⊥BC ，PI ⊥CD ，PJ ⊥AD ，由角平分线的性质可知PJ=PH，PG=PI；
（2）平行四边形对角线的交点，即为平行四边形的准内点；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点，即为梯形的准内点；
（3）①当凸四边形为平行四边形时，易知其对角线交点即为其准内点；②当凸四边形不为平行四边形时，可以将四边形的两边延长，构造三角形，其对角线交点即为准内点．
【解】：（1）如图2，过点P 作PG ⊥AB ，PH ⊥BC ，PI ⊥CD ，PJ ⊥AD ∵EP 平分∠DEC ∴PJ=PH．（3分）同理PG=PI．（1分） ∴P 是四边形ABCD 的准内点．（1分）
（2）
（4分）
平行四边形对角线AC ，BD 的交点P 1就是准内点，如图3（1）． 或者取平行四边形两对边中点连线的交点P 1就是准内点，如图3（2）； 梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P 2就是准内点．如图4．
（3）真；真；假．
【评注】：此题是一道新定义探索性题目，考查了对新信息的理解与应用能力，同时考查了三角形及四边形的性质．
考点四：开放题型中的新定义
例5. （2011浙江台州，15，5分）如果点P （x ，y ）的坐标满足x +y =xy ，那么称点P 为和谐点．请写出一个和谐点的坐标：
．
【分析】：由题意点P （x ，y ）的坐标满足x +y =xy ，解答x +y =xy ，即可得出答案． 【解】：∵点P （x ，y ）的坐标满足x +y =xy ，∴x ，y 符号相同，代入数字进行验证，符合条件的点的坐标有（0，0），（2，2）等．故答案为：（0，0）
【评注】：本题考查了和谐点的性质及等式求解，比较简单． 考点五：阅读材料题型中的新定义 （2010广东佛山，25，8分）阅读材料
我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；
比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形；
我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识； 请解决以下问题：
如图，我们把满足AB =AD 、CB =CD 且AB ≠BC 的四边形ABCD 叫做“筝形”； （1）写出筝形的两个性质（定义除外）； （2）写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明．
【分析】：（1）根据题意及图示即可得出筝形的性质；
（2）根据筝形的性质即可写出判断方法，然后根据题意及图示即可进行证明． 【解】：（1）性质1：只有一组对角相等， 性质2：只有一条对角线平分对角；
（2）判定方法1：只有一条对角线平分对角的四边形是筝形，判定方法2：两条对角线互相垂直且只有一条被平分的四边形是筝形，
证明方法1：∵∠BAC =∠DAC ，∠BCA =∠DCA ，AC =AC ， ∴△ABC ≌△ADC ， ∴AB =AD ，CB =CD ，① 易知AC ⊥BD ，
又∵∠ABD ≠∠CBD ，
∴∠BAC ≠∠CBA ，AB ≠BC ，② 由①②知四边形ABCD 是筝形． 【评注】：本题主要考查了根据题意及图示判断筝形的定义及性质，然后根据题目要求依次进行解答，难度适中． （四）真题演练
1. （2011安徽，14，4分）定义运算a ⊗b =a （1﹣b ），下列给出了关于这种运算的几点结论： ①2⊗（﹣2）=6；②a ⊗b =b ⊗a ；③若a +b =0，则（a ⊗b ）+（b ⊗a ）=2ab ；④若a ⊗b =0，则a =0．
其中正确结论序号是 ．（把在横线上填上你认为所有正确结论的序号）
2. （2010江苏连云港，27，10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有 ；（2）如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，如果延长DC 到E ，使CE ＝AB ，连接AE ，那么有S
请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线（不梯形ABCD ＝S △ADE ．
写作法，保留作图痕迹）； （3）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，S △ADC ＞S △ABC ，过点A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．
3. 2011山东烟台，12，4分） 如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线FK 1K 2K 3K 4K 5K 6K 7…… ，K K ，K K ，K K ，K K ，K K ，……的圆心依叫做“正六边形的渐开线”，其中FK [1**********]
次按点A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，其弧长分别记为l 1，l 2，l 3，l 4，l 5，l 6，…….当AB ＝1时，l 2 011等于（ ）
A.
2011π2
B.
2011π3
C.
2011π4
D.
2011π6
7
（第12题图）
第二部分 练习部分
一、选择题
11
1、（2011山东菏泽，6，4分）定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＋ 错误！未找到引用源。
a b 错误！未找到引用源。，根据这个规则，计算2☆3的值是（ ） A.
51
B. C.5 D.6 65
2. （2011滨州，10，3分）在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和
我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=72．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（ ） A 、1，2 B 、1，3 C 、4，2 D 、4，3 3. （2010浙江杭州，10，3分）定义[a ，b ，c ]为函数y ＝a x 2+bx +c 的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m ，﹣1﹣m]的函数的一些结论： ①当m ＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（,
18
）； 33
3
错误！未找到引用源。； 2
②当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于③当m ＜0时，函数在x ＞
1
错误！未找到引用源。时，y 随x 的增大而减小； 4
④当m≠0时，函数图象经过同一个点． 其中正确的结论有（ ）
A 、①②③④
B 、①②④ C 、①③④
D 、②④
错误！未指定书签。二、填空题
4. （2011甘肃兰州，26，9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大
小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正
底边BC
. 容=
腰AB
易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°= . （2）对于0°
对（sad ）. 如图①在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA =（3）如图②，已知sinA =
A
3
，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值. 5
B
图①
C
C
A
图②
x 2
5、（2011贵港，18，2分）若记y =f （x ）=，其中f （1）表示当x =1时y 的值，即f （1）
1+x 2
12（）
1111111（f ）====；f （）表示当x =时y 的值，即f （）=；…；则f （1）
1251+12222221+（）2
12（）1111f ）==）+f （3）+f （）+…+f （2011）+f （+f （2）+f （（）=
252320111+（）2
2
． 三、解答题
7. （2011浙江绍兴，21，10分）在平面直角坐标系中．过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P 分別作x 轴，y 轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，则点P 是和谐点． （1）判断点M （l ，2），N （4，4）是否为和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P （a ，3）在直线y=﹣x+b（b 为常数）上，求a ，b 的值．
8. （2009山东济宁，23，8分）
阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.
下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数
（第23题）
y =k 1x +b 1(k 1≠0) 的图象为直线l 1，一次函数y =k 2x +b 2(k 2≠0) 的图象为直线l 2，若k 1=k 2，且b 1≠b 2，我们就称直线l 1与直线l 2互
相平行.
解答下面的问题：
（1）求过点P (1,4) 且与已知直线y =-2x -1
平行的直线l 的函数表达式, 并画出直线l 的图象；
x
（2）设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，如果直线m ：y =kx +t (t >0) 与直线l
平行且交x 轴于点C ，求出△ABC 的面积S 关于t 的函数表达式.
（10分3. 解：l 1=
60π⨯1
）
错误！未找到引用源。=
π60π⨯2错误！未找到引用源。 l 2=错误！未找到3180180
2π60π⨯33π
引用源。=错误！未找到引用源。 l 3=错误！未找到引用源。=错误！未找到
18033
60π⨯44π
引用源。 l 4=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
1803
n π2011π
按照这种规律可以得到：l n =错误！未找到引用源。 ∴l 2011=错误！未找到引用源。．故
33
选B ．
练习部分 1. 解：∵a ☆b =
11115
．故选A ． +，∴2☆3=+=错误！未找到引用源。
a b 236
2. 解：要计算a×b ，左手应伸出（a ﹣5）个手指，未伸出的手指数为5﹣（a ﹣5）=10﹣a ；右
手应伸出（b ﹣5）个手指，未伸出的手指数为5﹣（b ﹣5）=10﹣b 两手伸出的手指数的和为（a ﹣5）+（b ﹣5）=a+b﹣10， 未伸出的手指数的积为（10﹣a ）×（10﹣b ）=100﹣10a ﹣10b+a×b 根据题中的规则，a×b 的结果为10×（a+b﹣10）+（100﹣10a ﹣10b+a×b ） 而10×（a+b﹣10）+（100﹣10a ﹣10b+a×b ）=10a+10b﹣100+100﹣10a ﹣10b+a×b=a×b 所以用题中给出的规则计算a×b 是正确的 故选A ．
3. 解：根据定义可得函数y ＝2m x 2+（1﹣m ）x +（﹣1﹣m ）， ①当m ＝﹣3时，函数解析式为y ＝﹣6x 2+4x +2，
b 414ac -b 24⨯(-6) ⨯2-428∴-=-=, ==，
2a 2⨯(-6) 34a 4⨯(-6) 3
∴顶点坐标是（,
18
），正确； 33
m +1
错误！2m
②函数y ＝2m x 2+（1﹣m ）x +（﹣1﹣m ）与x 轴两交点坐标为（1，0），（﹣未找到引用源。，0）， 当m ＞0时，1﹣（﹣
m +1313
错误！未找到引用源。）＝+>，正确； 2m 22m 2
③当m ＜0时，函数y ＝2m x 2+（1﹣m ）x +（﹣1﹣m ）开口向下，对称轴x =错误；
④当m≠0时，x ＝1代入解析式y ＝0，则函数一定经过点（1，0），正确． 故选B ．
4. 解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
111
->，44m 4
1
则三角形为等边三角形，则sad60°=错误！未找到引用源。=1．故答案为1．
1
（2）当∠A 接近0°时，sadα接近0， 当∠A 接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2． 于是sadA 的取值范围是0＜sadA ＜2． 故答案为0＜sadA ＜2．
3
（3）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，sin ∠A=错误！未找到引用源。．
5在AB 上取点D ，使AD =AC ，
作DH ⊥AC ，H 为垂足，令BC =3k，AB =5k，则AD =AC
=4k ，
312
又在△ADH 中，∠AHD =90°，sin ∠A=错误！未找到引用源。．∴DH =ADsin ∠A=错误！
55未找到引用源。k ，
AH
错误！未找到引用源。=
16
错误！未找到引用源。k ． 5
则在△CDH 中，CH =AC ﹣AH =引用源。
4
错误！未找到引用源。k ，CD
5
k ． k ． 错误！未找到引用源。，即
于是在△ACD 中，AD =AC =4k，CD
由正对的定义可得：sadA=错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。．
x 2
6. 解：∵y =f （x ）=， 2
1+x
12（）11∴f （）==， 22x 1+x 1+（）
x 1
∴f （x ）+f （）=1，
x
111
∴f （1）+f （2）+f （）+f （3）+f （）+…+f （2011）+f （）
222011111
=f （1）+[f （2）+f （）]+[f （3）+f （）]+…+[f （2011）+f （）]
232011
1
=+1+1+…+1 21
=+2010 2
1=2010．
2
1
故答案为：2010．
2
6、（2011湖北孝感，17，3分）对实数a ．b ，定义运算☆如下：a ☆b =错误！未找到引用源。
b ⎧1⎪a (a ＞b , a ≠0）
，例如2☆3=错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。＝算[2☆（﹣⎨-b
8⎪⎩a (a ≤b , a ≠0）
4）]×[（﹣4）☆（﹣2）]=解：[2☆（﹣4）]×[（﹣4）☆（﹣2）]， =24×（﹣4）2，
=错误！未找到引用源。×16， =1．
故答案为：1．
7. （1）解：∵1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4）， ∴点M 不是和谐点，点N 是和谐点．
（2）解：由题意得：当a ＞0时，（a+3）×2=3a， ∴a=6，
点P （a ，3）在直线 y=﹣x+b上，代入得：b=9
当a ＜0时，（﹣a+3）×2=﹣3a ， ∴a=﹣6，
点P （a ，3）在直线y=﹣x+b上，代入得：b=﹣3， ∴a=6，b=9或a=﹣6，b=﹣3．
8. 解：（1）设直线l 的函数表达式为y ＝k x＋b .
∵ 直线l 与直线y ＝—2x —1平行，∴ k ＝—2. ∵ 直线l 过点（1，4），∴ —2＋b ＝4，∴ b ＝6.
∴ 直线l 的函数表达式为y ＝—2x ＋6.
直线l 的图象如图.
(2) ∵直线l 分别与y 轴、x 轴交于点
B ，∴点A 、B 的坐标分别为（0，
（3，0）.
∵l ∥m , ∴直线m 为y ＝—2x +t . ∴C 点的坐标为(t
2
,0) . x ∵ t ＞0, ∴
t
2
0. ∴C 点在x 轴的正半轴上. （第23题）
当C 点在B 点的左侧时，S =
12⨯(3-t 2) ⨯6=9-3t 2; 当C 点在B 点的右侧时， S =1t 3t
2⨯(2-3) ⨯6=2
-9.
∴△ABC 的面积S 关于t 的函数表达式为
⎧9-3t
S =⎪⎪(0
-9(t >6). 参考答案 真题演练
1. 解：∵a ⊗b =a （1﹣b ），
①2⊗（﹣2）=6 =2×[1﹣（﹣2）] =2×3 =6
故本选项正确 ②a ⊗b =a ×（1﹣b ） =a ﹣ab
故本选项错误
A 、
6）、
③∵（a ⊗b ）+（b ⊗a ）
=[a （1﹣b ）]+[b （1﹣a }]
=a ﹣ab +b ﹣ab
∵a +b =0，
∴原式=﹣2ab ，
故本选项错误
④∵a ⊗b
=a （1﹣b ）=0，
∴a =0错误
故答案为①
2. 解：（1）中线所在的直线；（2分）
（2）方法一：连接BE ，因为AB ∥CE ，AB ＝CE ，所以四边形ABEC 为平行四边形， 所以BE ∥AC （3分），
所以△ABC 和△AEC 的公共边AC 上的高也相等，
所以有S △ABC ＝S △AEC ，
所以S 梯形ABCD ＝S △ACD +S△ABC ＝S △ACD +S△AEC ＝S △AED ．（5分）
方法二：设AE 与BC 相交于点F ．
因为AB ∥CE 所以∠ABF ＝∠ECF ，∠BAF ＝∠CEF ，
又因为AB ＝CE ，
所以△ABF ≌△ECF ，（4分）
所以S 梯形ABCD ＝S △ACD +S△ABC ＝S △ACD +S△AEC ＝S △AED ．（5分）
过点A 的梯形ABCD 的面积等分线的画法如图所示：作DE 的垂直平分线，交DE 于G ，连接AG ．则AG 是梯形ABCD 的面积等分线；
（3）能，连接AC ，过点B 作BE ∥AC 交DC 的延长线于点E ，连接AE ．
因为BE ∥AC ，所以△ABC 和△AEC 的公共边AC 上的高也相等，所以有S △ABC ＝S △AEC ， 所以S 四边形ABCD ＝S △ACD +S△ABC ＝S △ACD +S△AEC ＝S △AED ．（8分）
因为S △ACD ＞S △ABC ，
所以面积等分线必与CD 相交，取DE 中点F ，则直线AF 即为要求作的四边形ABCD 的面积等分线，作图如下：
由山东省文登市七里汤中学邓增玉组稿。欢迎批评指正。