牛吃草问题讲义 牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：
（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1" ，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我只介绍一些比较浅显的牛吃草问题，给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点
特点：在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。
典例评析
例1、有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天，那么它可供几头牛吃20天？
例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头年吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？
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例3、一片匀速生长的草地，可以供18投牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量。请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？
牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？
【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量——即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。
从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，都是什么不变啊？草是以匀速生长的，也就是说每天长的草是不变的; ，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？这就是我们解题的关键。这里因为未知数很多，我教大家一种巧妙的设未知数的方法，叫做设“1”法。我们设牛每天吃草的数量为1份，具体1份是多少我们不知道，也不用管它，
【思考1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？ 设1头牛1天吃的草为1份。则每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份，
原来的草量是（24-14）×6=60份。可供18头牛吃60÷（18-14）=15天
例2 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天?
【分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量
【思考2】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛 吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？
8天，设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原来的草量：（20+4）× 5=120份，可供11头牛吃120÷(11+4)=8天。
总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。
知识衍变
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牛吃草基本问题就先介绍到这，希望大家掌握这种方法，以后出现样吃草问题，驴吃草问题也知道怎么做，甚至，以下这些问题都可以应用牛吃草问题解决方法
例3 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走20级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？
【分析】在这道题中，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度”, 所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答。
【思考3】两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只恰好用了6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？
大家说这里什么是牛？什么是草？都什么是不变的？
15米。
蜗牛每夜下降：（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米
所以井深：（20+10）×5=150分米=15米
例4 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完，需要多少人？
【分析】典型的“牛吃草”问题，找出“牛”和“草”是解题的关键
【思考4】一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？
5小时。设一台抽水机一小时抽水一份。则每小时涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份，池内原有的水是：（10-5）×20=100份. 所以, 用25部抽水机需要:100÷(25-5)=5小时
思维拓展
例5 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？
【分析】“牛吃草”问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加。解答时，要抓住这个关键问题，也就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。
【思考5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，现有一群牛吃了4天后卖掉2头，余下的牛又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多少头？
25头。设每头牛每天的吃草量为1份。每天新生的草量为：（23×9-27×6）÷（20-10）=15份，原有的草量为（27-15）×6=72份。如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃草量72+15×8+2×4=200份。所以这群牛原来有200÷8=25头
例6 有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。第三块草地可供19头牛吃多少天？
【分析】由题目可知，这是三块面积不同的草地，为了解决这个问题，首先要将这三块草地的面积统一起来。 例1一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天
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把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？
摘录条件：
27头 6天 原有草+6天生长草
23头 9天 原有草+9天生长草
21头 ？天 原有草+？天生长草
小学解答：解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为"1" ，由条件可知，前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45。为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）＝3天生长出来的，所以每天生长的青草为45÷3=15
现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？
（27-15）×6=72
那么：第一次吃草量27×6=162第二次吃草量23×9=207
每天生长草量45÷3=15
原有草量（27-15）×6=72或162-15×6=72
21头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72÷6=12（天）
初中解答：假设原来有的草为x 份，每天长出来的草为y 份，每头牛每天吃草1份。
那么可以列方程：
x+6y=27×6
x+9y=23×9
解得x=72,y=15
若放21头牛，设n 天可以吃完，则：
72+15n=21n
n=12
例2一水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？
摘录条件：
5台 20天 原有水+20天入库量
6台 15天 原有水+15天入库量
？台 6天 原有水+6天入库量
小学解答：设1台1天抽水量为"1" ，第一次总量为5×20=100，第二次总量为6×15=90
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每天入库量(100-90)÷(20-15)=2
20天入库2×20=40，原有水100-40=60
60+2×6=7272÷6=12（台）
初中解答：假设原来有的水为x 份，每天流进来的水为y 份，每台机器抽出的水是1个单位。
那么可以列方程：
x+20y=20×5
x+15y=6×15
解得x=60,y=2
若要6天抽完，设n 台机器可以抽完，则：
60+6×2=6 n
n=12
巩固练习
1. 一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供10头牛吃40天，供15头牛吃20天。可供
25头牛吃＿＿天。 （ ）
A. 10 B. 5 C. 20
A 假设1头牛1天吃草的量为1份。每天新生的草量为：(10×40-15×20) ÷（40-20）=5（份）。那么
愿草量为：10×40-40×5=200（份），安排5头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25头牛吃：200÷（25-5）=10（天）。
2. 一块草地上的草以均匀的速度生长，如果20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而
14只羊则要10天吃光。那么想用4天的时间，把这块草地的草吃光，需要＿＿只羊。 （ ）
A. 22 B. 23 C. 24
B 假设1只羊1天吃草的量为1份。每天新生草量是：（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量是：
20×5-8×5＝60（份）安排8只羊专门吃每天新长出来的草，4天时间吃光这块草地共需羊：60÷4+8＝23（只）
3．画展9时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。
如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是8点＿＿分。 （ ）
A. 10 B. 12 C. 15
C 假设每个人口每分钟进入的观众量是1份。
每分钟来的观众人数为（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5（份）
到9时止，已来的观众人数为：3×9-0.5×9＝22.5（份）
第一个观众来到时比9时提前了：22.5÷0.5＝45（分）
所以第一个观众到达的时间是9时-45分=8时15分。
4. 经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或 可供80亿人生活300年。假设地球新生成的
资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（ ）亿人。
70 设1亿人1年所消耗的资源为1份
那么地球上每年新生成的资源量为：（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）
只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断
发展的需要。所以地球最多只能养活：70÷1=70（亿人）
5. 快、中、慢三车同时从A 地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时24千米、
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20千米、19千米。快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用（ ）小时。
12 自行车的速度是：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小时）
三车出发时自行车距A 地：（24-14）×6==60（千米）
慢车追上自行车所用的时间为：60÷（19-14）=12（小时）
6. 一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若用24根抽水管抽水，6小时可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，（ ）小时可将可将水池中的水抽干。
18 设1根抽水管每小时抽水量为1份。
（1）进水管每小时卸货量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）
（2）水池中原有的水量为：21×8-12×8＝72（份）
（3）16根抽水管，要将水池中的水全部抽干需：72÷（16-12）=18（小时）
7. 某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用9辆汽车，12小时可以把它们运完，如果用8辆汽车，16小时可以把它们运完。如果开始只用3辆汽车，10小时后增加若干辆，再过4小时也能运完，那么后来增加的汽车是（ ）辆。
19 设每两汽车每小时运的货物为1份。
（1）进水管每小时的进水量为：（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份）
（2）码头原有货物量是：9×12-12×5＝48（份）
（3）3辆汽车运10小时后还有货物量是：48+（5-3）×10=68（份）
（4）后来增加的汽车辆数是：（68+4×5）÷4-3=19（辆）
8．有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
8天
（1）按牛的吃草量来计算，80只羊相当于80÷4=20（头）牛。
（2）设1头牛1天的吃草量为1份。
（3）先求出这片草地每天新生长的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）
（4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20＝120（份）
（5）最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数：120÷（10+60÷4-10）=8（天）
9. 某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加。为了防洪，需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位降到安全线。现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？
4个 设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份。
（1）水库中每小时增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）
（2）水库中原有的超过安全线的水量为：1×30-0.5×30＝15（份）
（3）在5.5小时内共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份）
（4）至少要开的闸门个数为：17.75÷5.5≈4（个）（采用“进1”法取值）
10. 现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车，5小时后能追上，如果甲车以现在的速度去追乙车，3小时后能追上。那么甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？
15小时
设甲车现在的速度为每小时行单位“1”，那么乙车的速度为：
（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5
乙车原来与甲车的距离为：
2×5-0.5×5＝7.5
所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：
7.5÷（1-0.5）=15（小时）
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