2016年陕西省中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．计算：（﹣）×2=（ ）
A ．﹣1 B．1 C．4 D．﹣4
2．如图，下面的几何体由三个大小相同的小立方块组成，则它的左视图是（ ）
A ． B ． C ． D ．
3．下列计算正确的是（ ）
A ．x 2+3x2=4x4B ．x 2y •2x 3=2x4y C．（6x 2y 2）÷（3x ）=2x2D ．（﹣3x ）2=9x2
4．如图，AB ∥CD ，AE 平分∠CAB 交CD 于点E ，若∠C=50°，则∠AED=（ ）
A ．65° B．115° C．125° D．130°
5．b ） 设点A （a ，是正比例函数y=﹣x 图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（ ）A ．2a+3b=0 B．2a ﹣3b=0 C．3a ﹣2b=0 D．3a+2b=0
6．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（ ）
A ．7 B．8 C．9 D．10
7．已知一次函数y=kx+5和y=k′x+7，假设k ＞0且k ′＜0，则这两个一次函数的图象的交点在（ ）
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
8．如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点M ′、N ′，则图中的全等三角形共有（ ）
A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对
9．OC ．⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，如图，连接OB 、若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为（ ）
A ．3B ．4C ．5D ．6
10．已知抛物线y=﹣x 2﹣2x+3与x 轴交于A 、B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC 、BC ，则tan ∠CAB 的值为（ ）
A ． B ． C ． D ．2
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
11．不等式﹣x+3＜0的解集是．
12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A ．一个多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是．
B ．运用科学计算器计算：3sin73°52′≈ ．（结果精确到0.1）
13．已知一次函数y=2x+4的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C ，且AB=2BC，则这个反比例函数的表达式为 ．
14．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=2，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P 、D （P 、D 两点不重合）两点间的最短距离为 ．
三、解答题（共11小题，满分78分）
15．计算：﹣|1﹣|+（7+π）0．
16．化简：（x ﹣5+
）÷．
17．如图，已知△ABC ，∠BAC=90°，请用尺规过点A 作一条直线，使其将△ABC 分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）
18．某校为了进一步改变本校七年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在七年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查．我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答（喜欢程度分为：“A ﹣非常喜欢”、“B ﹣比较喜欢”、“C ﹣不太喜欢”、“D ﹣很不喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项）结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是 ；
（3）若该校七年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？
19．如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF=DE，连接AF 、CE ．
求证：AF ∥CE ．
20．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM 上平放一平面镜，
在镜面上做了一个标记，
这个标记在直线BM 上的对应位置为点C ，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D 时，看到“望月阁”顶端点A 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D 点沿DM 方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG 的影长FH=2.5米，FG=1.65米．
如图，已知AB ⊥BM ，ED ⊥BM ，GF ⊥BM ，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB 的长度．
21．昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y （千米）与他离家的时间x （时）之间的函数图象．
根据下面图象，回答下列问题：
（1）求线段AB 所表示的函数关系式；
（2）已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？
22．某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶、红茶和可乐，抽奖规则如下：①如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品．
根据以上规则，回答下列问题：
（1）求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；
（2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．
23．如图，已知：AB 是⊙O 的弦，过点B 作BC ⊥AB 交⊙O 于点C ，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，取AD 的中点E ，过点E 作EF ∥BC 交DC 的延长线于点F ，连接AF 并延长交BC 的延长线于点G ．
求证：
（1）FC=FG；
（2）AB 2=BC•BG ．
24．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M （1，3）和N （3，5）
（1）试判断该抛物线与x 轴交点的情况；
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A （﹣2，0），且与y 轴交于点B ，同时满足以A 、O 、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
25．问题提出
（1）如图①，已知△ABC ，请画出△ABC 关于直线AC 对称的三角形．
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC 、CD 上分别存在点G 、H ，使得四边形EFGH 的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD ，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH 部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E 、F 、G 分别在边AD 、AB 、BC 上，且AF ＜BF ，并满足点H 在矩形ABCD 内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH 部件？若能，求出裁得的四边形EFGH 部件的面积；若不能，请说明理由．
2016年陕西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．计算：（﹣）×2=（ ）
A ．﹣1 B．1 C．4 D．﹣4
【考点】有理数的乘法．
【分析】原式利用乘法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣1，
故选A
2．如图，下面的几何体由三个大小相同的小立方块组成，则它的左视图是（
A ． B ． C ． D ．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据已知几何体，确定出左视图即可．
【解答】解：根据题意得到几何体的左视图为，
故选C
3．下列计算正确的是（ ）
A ．x 2+3x2=4x4B ．x 2y •2x 3=2x4y C．（6x 2y 2）÷（3x ）=2x2D ．（﹣3x ）2=9x2
【考点】整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
【分析】A 、原式合并得到结果，即可作出判断；
B 、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；
C 、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；
D 、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A 、原式=4x2，错误；
B 、原式=2x5y ，错误；
C 、原式=2xy2，错误；
D 、原式=9x2，正确，
故选D
4．如图，AB ∥CD ，AE 平分∠CAB 交CD 于点E ，若∠C=50°，则∠AED=（
）
）
A ．65° B．115° C．125° D．130°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线性质求出∠CAB 的度数，根据角平分线求出∠EAB 的度数，根据平行线性质求出∠AED 的度数即可．
【解答】解：∵AB ∥CD ，
∴∠C+∠CAB=180°，
∵∠C=50°，
∴∠CAB=180°﹣50°=130°，
∵AE 平分∠CAB ，
∴∠EAB=65°，
∵AB ∥CD ，
∴∠EAB+∠AED=180°，
∴∠AED=180°﹣65°=115°，
故选B ．
5．b ） 设点A （a ，是正比例函数y=﹣x 图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（ ）A ．2a+3b=0 B．2a ﹣3b=0 C．3a ﹣2b=0 D．3a+2b=0
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接把点A （a ，b ）代入正比例函数y=﹣x ，求出a ，b 的关系即可．
【解答】解：把点A （a ，b ）代入正比例函数y=﹣x ，
可得：﹣3a=2b，
可得：3a+2b=0，
故选D
6．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（ ）
A ．7 B．8 C．9 D．10
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE ，得到DF ∥BM ，再证明EC=EF=AC ，由此即可解决问题．
【解答】解：在RT △ABC 中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC===10，
∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DF ∥BM ，DE=BC=3，
∴∠EFC=∠FCM ，
∵∠FCE=∠FCM ，
∴∠EFC=∠ECF ，
∴EC=EF=AC=5，
∴DF=DE+EF=3+5=8．
故选B ．
7．已知一次函数y=kx+5和y=k′x+7，假设k ＞0且k ′＜0，则这两个一次函数的图象的交点在（ ）
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】根据k 的符号来求确定一次函数y=kx+b的图象所经过的象限，然后根据b 的情况即可求得交点的位置．
【解答】解：∵一次函数y=kx+5中k ＞0，
∴一次函数y=kx+5的图象经过第一、二、三象限．
又∵一次函数y=k′x+7中k ′＜0，
∴一次函数y=k′x+7的图象经过第一、二、四象限．
∵5＜7，
∴这两个一次函数的图象的交点在第一象限，
故选A ．
8．如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点M ′、N ′，则图中的全等三角形共有（ ）
A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定．
【分析】可以判断△ABD ≌△BCD ，△MDO ≌△M ′BO ，△NOD ≌△N ′OB ，△MON ≌△M ′ON ′由此即可对称结论．
【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD ∥BC ，
在△ABD 和△BCD 中，
，
∴△ABD ≌△BCD ，
∵AD ∥BC ，
∴∠MDO=∠M ′BO ，
在△MOD 和△M ′OB 中，
，
∴△MDO ≌△M ′BO ，同理可证△NOD ≌△N ′OB ，∴△MON ≌△M ′ON ′， ∴全等三角形一共有4对．
故选C ．
9．OC ．⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，如图，连接OB 、若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为（ ）
A ．3D ．6
【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．
B ．4C ．5
【分析】首先过点O 作OD ⊥BC 于D ，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC 的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC 的度数，利用余弦函数，即可求得答案．
【解答】解：过点O 作OD ⊥BC 于D ，
则BC=2BD，
∵△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 与∠BOC 互补，
∴∠BOC=2∠A ，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB==30°，
∵⊙O 的半径为4，
∴BD=OB•cos ∠OBC=4×
∴BC=4．
故选：B ． =2，
10．已知抛物线y=﹣x 2﹣2x+3与x 轴交于A 、B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC 、BC ，则tan ∠CAB 的值为（ ）
A ． B ． C ． D ．2
【考点】抛物线与x 轴的交点；锐角三角函数的定义．
【分析】先求出A 、B 、C 坐标，作CD ⊥AB 于D ，根据tan ∠ACD=即可计算．
【解答】解：令y=0，则﹣x 2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不妨设A （﹣3，0），B （1，0），
∵y=﹣x 2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴顶点C （﹣1，4），
如图所示，作CD ⊥AB 于D ．
在RT △ACD 中，tan ∠CAD===2，
故答案为D ．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
11．不等式﹣x+3＜0的解集是x 6
【考点】解一元一次不等式．
【分析】移项、系数化成1即可求解．
【解答】解：移项，得﹣x ＜﹣3，
系数化为1得x ＞6．
故答案是：x ＞6．
12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A ．一个多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是 8 ．
B ．运用科学计算器计算：3sin73°52′≈11.9．（结果精确到0.1）
【考点】计算器—三角函数；近似数和有效数字；计算器—数的开方；多边形内角与外角．
【分析】（1）根据多边形内角和为360°进行计算即可；（2）先分别求得3和sin73°52′的近似值，再相乘求得计算结果．
【解答】解：（1）∵正多边形的外角和为360°
∴这个正多边形的边数为：360°÷45°=8
sin73°52′≈12.369×0.961≈11.9 （2）3
故答案为：8，11.9
13．已知一次函数y=2x+4的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C ，且AB=2BC，则这个反比例函数的表达式为
．
【考点】
反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】根据已知条件得到A （﹣2，0），B （0，4），过C 作CD ⊥x 轴于D ，根据相似三角形的性质得到==，求得C （1，6），即可得到结论．
【解答】解：∵一次函数y=2x+4的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，
∴A （﹣2，0），B （0，4），
过C 作CD ⊥x 轴于D ，
∴OB ∥CD ，
∴△ABO ∽△ACD ，
∴==，
∴CD=6，AD=3，
∴OD=1，
∴C （1，6），
设反比例函数的解析式为y=，
∴k=6，
∴反比例函数的解析式为y=．
故答案为：y=．
14．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=2，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P 、D （P 、D 两点不重合）两点间的最短距离为
2
﹣
2
．
【考点】菱形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质．
【分析】如图连接AC 、BD 交于点O ，以B 为圆心BC 为半径画圆交BD 于P ．此时△PBC 是等腰三角形，线段PD 最短，求出BD 即可解决问题．
【解答】解：如图连接AC 、BD 交于点O ，以B 为圆心BC 为半径画圆交BD 于P ． 此时△PBC 是等腰三角形，线段PD 最短，
∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，
∴△ABC ，△ADC 是等边三角形，
∴BO=DO=×2=，
∴BD=2BO=2，
∴PD 最小值=BD﹣BP=2
故答案为2﹣2． ﹣2．
三、解答题（共11小题，满分78分）
15．计算：﹣|1﹣|+（7+π）0．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【分析】直接化简二次根式、去掉绝对值、再利用零指数幂的性质化简求出答案．
【解答】解：原式=2﹣（﹣1）+1
=2﹣+2
=+2．
16．化简：（x ﹣5+）÷．
【考点】分式的混合运算．
【分析】根据分式的除法，可得答案．
【解答】解：原式=
=（x ﹣1）（x ﹣3）
=x2﹣4x+3．
17．如图，已知△ABC ，∠BAC=90°，请用尺规过点A 作一条直线，使其将△ABC 分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法） •
【考点】作图—相似变换．
【分析】过点A 作AD ⊥BC 于D ，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C ，则可判断△ABD 与△CAD 相似．
【解答】解：如图，AD 为所作．
18．某校为了进一步改变本校七年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在七年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查．我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答（喜欢程度分为：“A ﹣非常喜欢”、“B ﹣比较喜欢”、“C ﹣不太喜欢”、“D ﹣很不喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项）结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是 比较喜欢 ；
（3）若该校七年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？
【考点】众数；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）根据条形统计图与扇形统计图可以得到调查的学生数，从而可以的选B 的学生数和选B 和选D 的学生所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；
（2）根据（1）中补全的条形统计图可以得到众数；
（3）根据（1）中补全的扇形统计图可以得到该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的人数．
【解答】解：（1）由题意可得，
调查的学生有：30÷25%=120（人），
选B 的学生有：120﹣18﹣30﹣6=66（人），
B 所占的百分比是：66÷120×100%=55%，
D 所占的百分比是：6÷120×100%=5%，
故补全的条形统计图与扇形统计图如右图所示，
（2）由（1）中补全的条形统计图可知，
所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是：比较喜欢，
故答案为：比较喜欢；
（3）由（1）中补全的扇形统计图可得，
该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有：960×25%=240（人），
即该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有240人．
19．如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF=DE，连接AF 、CE ．
求证：AF ∥CE ．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC，证出∠1=∠2，DF=BE，由SAS 证明△ADF ≌△CBE ，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD=BC，
∴∠1=∠2，
∵BF=DE，
∴BF+BD=DE+BD，
即DF=BE，
在△ADF 和△CBE 中，
，
∴△ADF ≌△CBE （SAS ），
∴∠AFD=∠CEB ，
∴AF ∥CE ．
20．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM 上平放一平面镜，
在镜面上做了一个标记，
这个标记在直线BM 上的对应位置为点C ，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D 时，看到“望月阁”顶端点A 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D 点沿DM 方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG 的影长FH=2.5米，FG=1.65米．
如图，已知AB ⊥BM ，ED ⊥BM ，GF ⊥BM ，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB 的长度．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC ∽△EDC ，
△ABF ∽△GFH ，进而利用相似三角形的性质得出AB 的长．
【解答】解：由题意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°，
∠ACB=∠ECD ，∠AFB=∠GHF ，
故△ABC ∽△EDC ，△ABF ∽△GFH ，
则
即==，， =， =，
解得：AB=99，
答：“望月阁”的高AB 的长度为99m ．
21．昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y （千米）与他离家的时间x （时）之间的函数图象．
根据下面图象，回答下列问题：
（1）求线段AB 所表示的函数关系式；
（2）已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）可设线段AB 所表示的函数关系式为：y=kx+b，根据待定系数法列方程组求解即可；
（2）先根据速度=路程÷时间求出小明回家的速度，再根据时间=路程÷速度，列出算式计算即可求解．
【解答】解：（1）设线段AB 所表示的函数关系式为：y=kx+b，
依题意有
解得． ，
故线段AB 所表示的函数关系式为：y=﹣96x+192（0≤x ≤2）；
（2）12+3﹣（7+6.6）
=15﹣13.6
=1.4（小时），
112÷1.4=80（千米/时），
÷80
=80÷80
=1（小时），
3+1=4（时）．
答：他下午4时到家．
22．某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶、红茶和可乐，抽奖规则如下：①如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品．
根据以上规则，回答下列问题：
（1）求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；
（2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【分析】（1）由转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
∵转盘被等分成五个扇形区域，“绿”、“乐”、“茶”、【解答】解：（1）每个区域上分别写有“可”、
“红”字样；
∴一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率为：；
（2）画树状图得：
∵共有25种等可能的结果，该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的有2种情况，
∴该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率为：．
23．如图，已知：AB 是⊙O 的弦，过点B 作BC ⊥AB 交⊙O 于点C ，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，取AD 的中点E ，过点E 作EF ∥BC 交DC 的延长线于点F ，连接AF 并延长交BC 的延长线于点G ．
求证：
（1）FC=FG；
（2）AB 2=BC•BG ．
【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质．
【分析】（1）由平行线的性质得出EF ⊥AD ，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D ，证出∠DCB=∠G ，由对顶角相等得出∠GCF=∠G ，即可得出结论；
（2）连接AC ，由圆周角定理证出AC 是⊙O 的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB ，证出∠CAB=∠G ，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC ∽△GBA ，得出对应边成比例，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵EF ∥BC ，AB ⊥BG ，
∴EF ⊥AD ，
∵E 是AD 的中点，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠D ，
∵GB ⊥AB ，
∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，
∴∠DCB=∠G ，
∵∠DCB=∠GCF ，
∴∠GCF=∠G
，∴FC=FG；
（2）连接AC ，如图所示：
∵AB ⊥BG ，
∴AC 是⊙O 的直径，
∵FD 是⊙O 的切线，切点为C ，
∴∠DCB=∠CAB ，
∵∠DCB=∠G ，
∴∠CAB=∠G ，
∵∠CBA=∠GBA=90°，
∴△ABC ∽△GBA ，
∴=，
∴AB 2=BC•BG ．
24．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M （1，3）和N （3，5）
（1）试判断该抛物线与x 轴交点的情况；
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A （﹣2，0），且与y 轴交于点B ，同时满足以A 、O 、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把M 、N 两点的坐标代入抛物线解析式可求得a 、b 的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x 轴的交点情况；
（2）利用A 点坐标和等腰三角形的性质可求得B 点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A 、B 的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程．
【解答】解：
（1）由抛物线过M 、N 两点，
把M 、N 坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+5，
令y=0可得x 2﹣3x+5=0，
该方程的判别式为△=（﹣3）2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，
∴抛物线与x 轴没有交点；
（2）∵△AOB 是等腰直角三角形，A （﹣2，0），点B 在y 轴上，
∴B 点坐标为（0，2）或（0，﹣2），
可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n，
①当抛物线过点A （﹣2，0），B （0，2）时，代入可得
∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），而原抛物线顶点坐标为（，）， ，解得，
∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线； ②当抛物线过A （﹣2，0），B （0，﹣2）时，代入可得
∴平移后的抛物线为y=x2+x﹣2，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），而原抛物线顶点坐标为（，）， ，解得，
∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．
25．问题提出
（1）如图①，已知△ABC ，请画出△ABC 关于直线AC 对称的三角形．
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC 、CD 上分别存在点G 、H ，使得四边形EFGH 的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD ，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH 部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E 、F 、G 分别在边AD 、AB 、BC 上，且AF ＜BF ，并满足点H 在矩形ABCD 内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH 部件？若能，求出裁得的四边形EFGH 部件的面积；若不能，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）作B 关于AC 的对称点D ，连接AD ，CD ，△ACD 即为所求；
（2）作E 关于CD 的对称点E ′，作F 关于BC 的对称点F ′，连接E ′F ′，得到此时四边形EFGH
DE ′=DE=2，∠A=90°，的周长最小，根据轴对称的性质得到BF ′=BF=AF=2，于是得到AF ′=6，
AE ′=8，求出E ′F ′=10，EF=2即可得到结论；
（3）根据余角的性质得到1=∠2，推出△AEF ≌△BGF ，根据全等三角形的性质得到AF=BG，AE=BF，BF=AE=2，设AF=x，则AE=BF=3﹣x 根据勾股定理列方程得到AF=BG=1，作△EFG 关于EG 的对称△EOG ，则四边形EFGO 是正方形，∠EOG=90°，以O 为圆心，以EG 为半径作⊙O ，则∠EHG=45°的点在⊙O 上，连接FO ，并延长交⊙O 于H ′，则H ′在EG 的垂直平分线上，连接EH ′GH ′，则∠EH ′G=45°，于是得到四边形EFGH ′是符合条件的最大部件，根据矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，△ADC 即为所求；
（2）存在，理由：作E 关于CD 的对称点E ′，
作F 关于BC 的对称点F ′，
连接E ′F ′，交BC 于G ，交CD 于H ，连接FG ，EH ，
则F ′G=FG，E ′H=EH，则此时四边形EFGH 的周长最小，
由题意得：BF ′=BF=AF=2，DE ′=DE=2，∠A=90°，
∴AF ′=6，AE ′=8，
∴E ′F ′=10，EF=2，
∴四边形EFGH 的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F ′=2+10，
∴在边BC 、CD 上分别存在点G 、H ，
使得四边形EFGH 的周长最小，
最小值为2+10；
（3）能裁得，
理由：∵EF=FG=，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，
∴∠1=∠2，
在△AEF 与△BGF 中，，
∴△AEF ≌△BGF ，
∴AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x ，
∴x 2+（3﹣x ）2=（）2，解得：x=1，x=2（不合题意，舍去）， ∴AF=BG=1，BF=AE=2，
∴DE=4，CG=5，
连接EG ，
作△EFG 关于EG 的对称△EOG ，
则四边形EFGO 是正方形，∠EOG=90°，
以O 为圆心，以EG 为半径作⊙O ，
则∠EHG=45°的点在⊙O 上，
连接FO ，并延长交⊙O 于H ′，则H ′在EG 的垂直平分线上， 连接EH ′GH ′，则∠EH ′G=45°，
此时，四边形EFGH ′是要想裁得符合要求的面积最大的， ∴C 在线段EG 的垂直平分线设，
∴点F ，O ，H ′，C 在一条直线上，
∵EG=，
∴OF=EG=，
∵CF=2，
∴OC=，
∵OH ′=OE=FG=，
∴OH ′＜OC ，
∴点H ′在矩形ABCD 的内部，
∴可以在矩形ABCD 中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH ′部件， 这个部件的面积=EG •FH ′=××（+）=5+， ∴当所裁得的四边形部件为四边形EFGH ′时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为（5+）m 2．
2016年7月12日