一维波动方程可用如下的方式推导:一列质量为m 的小质点,相邻质点间用长度h 的弹簧连接。弹簧的劲度系数(又称“倔强系数”)为k :
其中u (x ) 表示位于x 的质点偏离平衡位置的距离。施加在位于x+h 处的质点m 上的力为:
其中代表根据牛顿第二定律计算的质点惯性力,代表根据胡克定律计算的弹簧作用力。所以根据分析力学中的达朗贝尔原理,位于x+h 处质点的运动方程为:
式中已注明u (x ) 是时间t 的显函数。
若N 个质点间隔均匀地固定在长度L = N h 的弹簧链上,总质量M = N m,链的总体劲度系数为K = k /N ,我们可以将上面的方程写为:
取极限 N , h 就得到这个系统的波动方程:
在这个例子中,波速。