几何证明选讲
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（广东10年）如图3，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB =AD =a ，CD =
a
，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF = 2
a
2
15．（广东10年）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线
π
ρ(cos θ+sin θ)=1与ρ(sin θ-cos θ)=1的交点的极坐标为(1,)
2
52⎧⎧χ=cos θ⎪x =t
14．（广东11年）已知两曲线参数方程分别为⎨（0≤θ
⎩y =sin θ⎪⎩y =t
（t ∈R ）
，它们的交点坐标为 1⎛
⎝
⎫⎪⎪。 ⎭
15．（广东11年）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，CD=2．E,F 分别为AD ，
BC 上点，且EF=3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为7：5 14. (广东12年) 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和
C
⎧x =1-⎪⎪2C :(t ⎨2⎧⎪x =θπ⎪y =-
是参数）C 2:⎨(θ是参数，0≤θ≤）和，它们的交点坐
2⎪⎪⎩2⎩y =θ
标为
(2,1)
_______.
15.(广东12年）如图3所示，直线PB 与圆O 想切于点B ，
D 是弦AC 上的点，∠PBA =∠DBA ，若AD =m , AC =n ，
则AB =。
1
14．（13年广东）已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为
o s ⎧x =1+c θ
． ⎨
y =s i θn ⎩
15．（13年广东）如图3，在矩形ABCD
中，AB =
图 3
BC =3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED =
⎧x =t ,
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎨
y =4+t ⎩
（t 为参数）；以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c 的极坐标
方程为ρ=θ+
15. (几何证明选讲选做题) 已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，
π
4
) ．则直线l 和曲线C 的公共点有
直线PO 交圆O 于B , C 两点，AC =2, ∠PAB =120， 则圆O 的面积为 4π ．
14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数
力程是⎨
⎧x =3+cos θ⎩y =1+sin θ
（θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则
圆心C 的极坐标是 (2,
π
6
) .
15. （几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD 内接于
⊙O ，AB 为⊙O 的直径，直线MN 切⊙O 于D ，
∠MDA =60︒，则∠BCD 150 ．
14. (几何证明选讲选做题)
如图，P 是圆O 外的一点，PD 为切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O
，PF =6, PD =∠DFP =________.
π
15. (坐标系与参数方程选讲选做题)
6
2
在极坐标系中, 圆ρ=1上的点到直线ρcos θ+sin θ=6的距离的最小值是 2 ． 14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线θ=则直线l 极坐标方程为
()
π
3
（ρ∈R ）垂直，
2ρs θi +(=
6
π
ρcos θsin θ=1） 15．（几何证明选讲）如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的
中点，直线l 过点M 分别交AD , AC 于点E , F ． 若AD =3AE ，则AF :FC = 1:4 ．
14．（坐标系与参数方程）已知直线l :x -y +4=0与圆C :
（)
21l
第15题图
D
C 1
{
x =1+2cos θ，
y =1+2sin θ
F
则C 上各点到l 的距离的最小值为__2_____． 15．（几何证明选讲）如图, 以AB =4为直径的圆与△ABC 的两边
A
分别交于E , F 两点，∠ACB =60，则EF = 第15题图
14. （几何证明选讲选做题）
如图2，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP =4，PB =2， 则PC 的长是
15．（坐标系与参数方程选讲选做题）
C A
B
O
图2
⎧x =cos θ,
(θ为参数), 以原点为极点, x 轴的正半轴为极已知圆C 的参数方程为⎨
y =sin θ+2, ⎩
轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ+ρcos θ=1, 则直线l 截圆C 所得14．（坐标系与参数方程）直线2ρcos θ=1与圆ρ=2c o θs 相交的弦长为
15．(几何证明选讲选做题) 如图，已知AB 和AC 是圆的两
条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D ．过点C 作BD 的平行线与圆交于点E , 与AB 相交于点
3
4
3
F ，AF =3，FB =1，EF =，则线段CD 的长为3
2
⎧x =1+cos ϕ
⒕（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程是⎨（ϕ为参数，
y =sin ϕ⎩
，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为 0≤ϕ
极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=2cos θ ．
⒖（几何证明选讲选做题）如图，AB 为圆O 的直径，
C 为圆O 上一点，CD 为圆O 的切线，AD
⊥CD 。
4x ＋
⎧⎪x ＝1－2t
14. (坐标系与参数方程选做题）若直线⎨(t 为参数) ⎪y ＝2＋3t ⎩
ky ＝1垂直，则常数k ＝_-6_______.
15. （几何证明选讲选做题）如图，已知P A 是圆O 的切线，切点为A ，直线PO 交圆O 于B 、C 两点，AC ＝2，∠P AB ＝120°，
则圆O 的面积为___4π
14. （几何证明选讲选做题）如图, 在圆O 中, 直径AB 与弦CD 垂直,
垂足为E , EF ⊥DB , 垂足为F , 若圆O 半径为2，AE =1, 则
DF ⋅DB =
15. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=6cos θ, 曲线C 2的极坐标方程为θ=
π
4
（ρ∈R ) ，曲线C 1
, C 2交于A , B 两点，则AB =14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 且AC =22cm ，过C 的割线
CMN 交AB 的延长线于点D ，
CM =MN =ND . AD 的长等于____cm .
15．（坐标系与参数方程选做题）已知直线
l
的方程为⎨
第14题图
⎧x =1+t
(t 为参数) ，
y =1-t ⎩
4
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=1， 则圆C 上的点到直线l
⎧x =t +2
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系x O y 中，已知曲线C 1：⎨ ,
y =1-2t ⎩
(t 为参数）与曲线C 2 ：⎨为 4 .
15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，PB , PE 分别切圆O 于B , C ，若∠ACE =40，则∠P =__80_______．
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点A 的坐标为 22,
⎧x =3cos θ
, （θ为参数）相交于两个点A 、B ，则线段AB 的长
⎩y =3sin θ
（第15题图）
⎛⎝
π⎫
⎪，曲线C 的方程4⎭
为ρ=4sin θ，则OA （O 为极点）所在直线被曲线C 所截弦的长度为__2
15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，过圆C 外一点P 做一条
直线与圆C 交于A ，B 两点，BA =2AP ，PT 与圆C 相切于
2 .
P
T 点. 已知圆C 的半径为2，∠CAB =30 , 则PT =__3____ .
C
T
B
⎧x =2+cos θ
14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为⎨（θ为参数）图5 ， y =sin θ⎩
则曲线C 上的点到直线3x -4y +4=0的距离的最
大值为___3______.
15. （几何证明选讲选做题）如图，⊙O 的直径AB =6cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ， 若∠CPA =30︒，则PC=___33. ________.
14．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ=3, 则点(2到直线l 的距离为。
π
6
15．如图所示, 圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8，
5
则圆O 的半径等于 5 。
⎧x =t -1
14．（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的方程为⎨（t 为参数），以坐标原点为
y =t +1⎩
极点，x 轴正方向为极轴的极坐标中，圆的极坐标方程为ρ=2，则l 与该圆相交所得弦的弦长为
___．
15．（几何证明选讲选做题）如图1，A , B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，
A
OA =2，C 为OA 的中点，连接BC 并延长BC 交圆O 于点D ，
则CD =
． O 14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标xOy 中，曲线C 1的参数方程为
⎨为参数)
，曲线C 2的参数方程为⎨_____2_______.
⎧x =2+t 图1
(t
y =-1-t ⎩
⎧x =3cos α
(α为参数) ，则曲线C 1与C 2的交点个数为
⎩y =3sin α
15．（几何证明选讲选做题）已知圆O 割线PAB 交圆O 于A , B (PA
1
，PO =10，则圆O 的半径是 3
14. （几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB
于点D ，且AD=3DB，设∠COD =θ，则tan
2
θ
2
=____
1
____. 3
15. （坐标系与参数方程）已知直线l :ρcos θ-ρsin θ=4，
圆C :ρ=4cos θ，则直线l 与圆C 的位置关系是_相交_______.
⎧x =4t 2
14．（坐标系与参数方程选做题）若点P (3 , m ) 在以点F 为焦点的抛物线⎨(t 为
⎩y =4t
参数) 上，则|PF |= 4 ．
6
15．（几何证明选讲选做题）如右图，O 是半圆的圆心， 直径AB =26，PB 是圆的一条切线，割线PA 与 半圆交于点C ，AC =4，则PB =
23 ．
⎧x =1+cos θ14.(坐标系与参数方程选讲选做题) 圆C ：⎨(θ为参数) 的圆心到直线l
：
y =sin θ⎩
⎧⎪x =-3t
(t 为参数) 的距离为 2 . ⎨
⎪⎩y =1-3t
15.(几何证明选讲选做题) 如图，PC 切⊙O于点C ，割线PAB 经过
圆心O ，弦CD⊥AB于点E ，
PC=4，PB=8，则CD =__
14. （坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中，点M (2,
E A D
P
24 _________. 5
π
3
θ+) 到直线l :ρsin(
π
4
) =
的距离为 ． 15. （几何证明选做题）
AB 是圆O 的直径，EF 切圆O 于C ，AD ⊥EF 于D ，
AD =2，AB =6，则AC 的长为
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点
π⎫⎛
⎪作圆ρ=4sin θ的切线，则切线的极坐标方程
4⎭⎝
是
ρcos θ=215．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径AB =6，C 为圆周上一点，BC =3，
过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ， 则∠DAC = 30︒ .
14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心和点(2, ) 的直线的极坐标方程为_ρsin θ-2ρcos θ
A
l
π
4
+6=O , _______，
15. （几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形， 延长AB 和DC 相交于点P ，若PB =1，PD =3，
7
则
BC 1
的值为____ AD 3
2
2
13, 已知圆C:x+y=12，直线l:4x+3y =25. (1)圆C 的圆心到直线，的距离为_5___．
(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为__
1
__． 6
14. 在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎨
x =2cos θ⎧
（θ为参数），以原点O 为极点，以 θ⎩y =2+2sin
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为 (2,
π
) 。 2
14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AC 和AB 分别是圆O 的切线，B 、C
为切点，且OC=3，AB=4，延长AO 到D 点，则△ABD的面积是
_
48
__________ 5
⎧x =2t +2a
y =-t ⎩
15. （坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线C 1:⎨
（t 为参数），曲线C 2:⎨
⎧x =2cos B
(θ为参数) ．若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的
⎩y =2+2sin θ
≤a ≤25取值范围___2________
14．（坐标系与参数方程选做题）过点(2,
_ρsin
θ=．
15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ， 直线PO 交圆O 于B , C 两点，AC =2, ∠PAB =120， 则圆O 的面积为 4π ．
14．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，圆ρ=2cos θ的圆心到直线ρcos θ=2的距离是____1_________.
15．（几何证明选讲选做题）
如图，在△ABC 中，D 是
AC 的中点，E 是
B
O
P
C
π
3
) 且平行于极轴的直线的极坐标方程为
C
8
BD 的中点，AE 交BC 于F ，则
BF 1
=FC 2
14. （坐标系与参数方程选做题）已知圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ，则圆C 上点到直线
l :
ρcos θ-2ρsin θ+4=0的最短距离为
P
O
·
1 。
15. (几何证明选讲选做题) 如图3，PAB 、PCD 为⊙O的两条割线，
若 PA=5，AB=7，CD=11，AC =2，则BD 等于 6 .
9
图3