课程名称： 《随机过程》
课程设计（论文）
题 目: 平稳时间序列的AR(p)模型的预报
学 院： 理学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 10-2班 学生姓名： 徐杰 学生学号： 2010027053 指导教师： 蔡吉花
2012年 12 月 20 日
目 录
任务书.......................................................................................... 错误！未定义书签。 摘 要.......................................................................................... 错误！未定义书签。 1.基本原理 ................................................................................. 错误！未定义书签。
1.1 AR(p)模型的定义 ..................................................................... 错误！未定义书签。 2.问题的分析与求解 ................................................................. 错误！未定义书签。
2.1 模型的识别 ................................. 错误！未定义书签。
2.1.1 AR(p)序列的自相关函数 ................. 错误！未定义书签。 2.1.2 AR(p)模型的偏相关函数 .................................. 3 2.1.3 模型阶数的确定 ......................................... 4 2.2 样本的自相关和偏相关函数 ................... 错误！未定义书签。 2.3 AR(p)模型的参数估计 ........................ 错误！未定义书签。 2.4 AR(p)模型的预报 ............................................. 6 2.5 最小方差预报 ............................................................................ 错误！未定义书签。 2.6 AR(p)序列的预报 ....................................................................................................... 6 3.计算程序与结果 ....................................................................................................... 7
3.1 举例：地震震级的预测 ....................... 错误！未定义书签。 3.2 问题分析 .................................................... 7 3.3 模型的求解与其结果 ......................... 错误！未定义书签。
3.3.1 模型的识别程序 ......................................... 7 3.3.2 模型阶数及确定 ........................................ 10 3.3.3 样模型预报公式 ........................................ 10 3.3.4 模型预报 ......................................................................................................... 11
4.预期结论与展望 ..................................................................... 错误！未定义书签。
4.1 结论 ....................................................... 11 4.2 展望 ....................................................... 11 参考文献 ..................................................................................................................... 12 附录.............................................................................................................................. 13 评 阅 书 ............................................................................. 错误！未定义书签。
《随机过程》 课程设计任务书
摘 要
在人们的社会活动和科学实验中，经常会碰到按照一定的顺序观察的到的数据，如股票市场的每日波动，气象变化，某工厂装船货物数量的月度序列，公路事故的周度序列，某化工生产按小时观测的产量，等等，且这些数据之间具有相依性。人们要根据这些数据进行观察、研究，寻找它的变化发展规律来拟合某种最优的数学模型，用以预测未来的发展趋势。
平稳时间序列在自然科学、工程技术及社会、经济学的建模分析中起着非常重要的作用，平稳时间序列的AR(p)模型的主要分析方法是：通过分析平稳时间序列的统计规律，构造拟合它的最佳线性模型，利用模型预报时间序列的未来取值，或用来进行分析和控制。
本文主要研究自回归模型(线性模型)，首先对AR(p)模型的理论作相关分析，包括模型的识别、模型的定阶方法、求样本的自（或偏）相关函数、模型的参数估计以及模型的预报。再通过引例，用Matlab程序对四川地震震级数据进行分析，先将已知数据标准化，然后求出其变自相关函数和偏相关函数，再画出图像，根据图像判别相关函数的拖尾、截尾性，最后确定一个具体的AR(p)模型。然后确定阶数P,再用矩估计法求出其参数估计值，最后确定AR(p)模型的预报式子，对四川地震震级进行预报，根据所给的数据，对下个时段震级的大小进行预测。
关键字：自相关函数，偏相关函数，AR(p)模型，平稳时间序列，地震预报
利用平稳时间序列的AR(P)模型的预报
1.基本原理
对于一个平稳时间序列预测问题，首先考虑的是寻求与它拟合最好的预测模型。而模型的识别与阶数的确定则是选择模型的关键。本节我们主要研究的是AR(p)模型预报，所以我们得对AR(p)序列作相关分析，讨论其理论自相关函数和偏相关函数所具有的特性，从而找到识别模型的方法。 1.1 AR(P)模型的定义
设{Xt}为零均值的实平稳时间序列，阶数为p的自回归模型定义为
Xt=ϕ1Xt-1+ϕ2Xt-2+...+ϕpXt-p+at，(1.1)
2⎧σa,t=s
其中E[at]=0,E[asat]=⎨，E[asXt]=0，s>t.
0 ,t≠s⎩
模型（1.1）简记为AR（p）.它是一个动态模型，是时间序列{Xt}自身回归的表达式，所以称自回归模型。满足AR(p)模型的随机序列称为AR(p)序列,其中{φk，k=1,2,...,p}称为自回归系数。从白噪声序列{at}所满足的条件看出，at之间互不相关，且at与以前的观测值也不相关，{at}亦称为新信息序列，在时间序列分析的预报理论中有重要作用。 AR(p)模型的三个限制条件：
条件一：ϕp≠0。这个限制条件保证了模型的最高阶数为p.
2
⎧σa,t=s
条件二：E[at]=0,E[asat]=⎨，这个限制条件实际上是要求随机干扰序
0 ,t≠s⎩
列{at}为零均值白噪声序列。
条件三：E[Xsat]=0,∀s
值无关。
为了方便起见，引进延迟算子概念。令
BXt=Xt-1,B2Xt=B(BXt)=Xt-2.
一般有BkXt-k(k=1,2,3,...)，称B为一步延迟算子，Bk为k步延迟算子。 于是，式子（1.1）可以写成
ϕ(B)Xt=at ， （1.2）
其中 ϕ(B)=1-ϕ1B-...-ϕpBp. （1.3）
对于（1.2）式的AR(p)模型，若满足条件：ϕ(B)=0的根全在单位圆外，即所有根的模都大于1，则称此条件为AR(p)模型的平稳性条件.当模型（1.2）满足平稳性条件时，ϕ-1(B)存在且一般是B的幂级数，于是（1.1）式又可以写成是（1.2）可以看做是把相关的{Xt}变为一个Xt=ϕ-1(B)at，称为逆转形式. 模型互不相关的{at}的系统。
2.问题的分析和求解
2.1 模型的识别
2.1.1 AR(p)序列的自相关函数
对于零均值的时间序列，因为BX(t,t-k)=RX(t,t-k)-mX(t)mX(t-k) 此时的mX(t)mX(t-k)=0，所以BX(t,t-k)=RX(t,t-k)，即自相关函数与协方差函数相同，记协方差函数为γk，用γ0除γk得标准自相关函数ρk=γk/γ0,简称它为自相关函数。
所以AR(p)序列的自相关函数计算如下： 用Xt-k乘模型（1.11）两边，再取均值，得
γk=ϕ1γk-1+...+ϕpγk-p，k>0,
除以γ0可得
（2.1） ρk-ϕ1ρk-1-...-ϕpρk-p=0，
即 ϕ(B)ρk=0，k>0.
⎧ρ1=ϕ1+ϕ2ρ1+...+ϕpρp-1⎪
⎪ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2+ϕ3ρ1+...+ϕpρp-2
令（1.21）式的k=1,2,...,p，得⎨，
..........⎪..........
⎪ρp=ϕ1ρp-1+ϕ2ρp-2+........ϕp⎩写成矩阵为
⎡ρ1⎤⎡1⎢ρ⎥⎢ρ⎢2⎥=⎢1⎢...⎥⎢M⎢⎥⎢⎢ρp⎦⎥⎢⎣ρp-1⎣
ρ1
1M
ρ2
ρ1
M
ρp-1⎤Lρp-2⎥⎥
LL
M
1⎥⎥⎥⎦
ρp-2
⎡ϕ1⎤⎢ϕ⎥
⎢2⎥ （2.2） ⎢M⎥⎢⎥⎢⎣ϕp⎥⎦
（2.2）式称为AR(p)序列{Xt}的自相关函数。AR(p)序列的自相关函数不能在某步之后截尾，而是随k增大逐渐衰减，但受负指数函数控制.这种特性称为托尾性。
2.1.2 AR(p)模型的偏相关函数
从概率论可知，在给定随机变量W的条件下，随机变量U与V的联合条件密度函数为f(u,v︱w),则U与V的偏相关函数定义为
E[U-E(U)][V-E(V)]
DUDV,类似
地，在零均值平稳时间序列中，给定Xt-1,...,Xt-k+1,Xt 与Xt-k之间的偏相关函数定义为
E[XtXt-k]EXEX
2
t
2t-k
=
E[XtXt-k]
2σX
(2.3)
设{Xt}是零均值的平稳序列，它满足AR(k)模型，即
Xt=ϕk1Xt-1+ϕk2Xt-2+...+ϕkkXt-k+at
用Xt-k乘上两边，当给定Xt-1=xt-1,....,Xt-k+1=xt-k+1时，取条件期望得
E[XtXt-k]=ϕk1xt-1E[Xt-k]+...+ϕk,k-1xt-k+1E[Xt-k]+ϕkkEXt2-k+E[atXt-k] 因为k﹥0时，E[atXt-k]=0，且有
2
, E[XtXt-k]=ϕkkD[Xt-k]=ϕkkσX
[]
故ϕkk=
E[XtXt-k]
σ
2
X
,k=1,2,... （2.4）
根据（12.3）式，显然ϕkk即为AR(p)序列的偏相关函数，同时它又是AR(k)模型的最后一个自回归系数ϕk。
为了探讨AR(p)序列的偏相关函数的特性，考虑Xt-1,...,2Xt-k对Xt的最小方差k⎡⎤
Q=EX-ϕX估计，即要求确定ϕk1,...,ϕkk，使⎢t∑kjt-j⎥=min
j=1⎣⎦
根据AR(p)模型定义，有
2
⎡⎛pk⎫⎤
⎥ Q=E⎢ ϕjXt-j+at-∑ϕkjXt-j⎪∑ ⎪⎢j=1⎭⎥⎣⎝j=⎦
2
p⎡⎛k⎫⎤
⎥= =E⎢ at+∑(ϕj-ϕkj)Xt-j-∑ϕkjXt-j⎪ ⎪⎢j=1j=p+1⎭⎥⎣⎝⎦
⎡⎛p
Ea+2E⎢at ∑(ϕj-ϕkj)Xt-j-
⎢⎣⎝j=1
[]
2
t
j=p+1
∑ϕkjXt-j⎪⎪⎥+
⎭⎥⎦
k
⎫⎤
2
⎡⎛Pk⎫⎤
⎥ (ϕj-ϕij)Xt-j-∑ϕkjXt-j⎪E⎢ ∑ ⎪⎢j=p+1⎭⎥⎣⎝j=1⎦
因为EatXt-j=0（j﹥0）,故
2
⎡⎛P⎤k⎫2
⎥ (ϕj-ϕij)Xt-j-∑ϕkjXt-j⎪Q=σ+E⎢ ∑ ⎪⎢j=p+1⎭⎥⎣⎝j=1⎦
[]
显然，要使Q=min，应取
1≤j≤p ⎧ϕ j,
ϕkj=⎨，
⎩0,p+1≤j≤k
这说明AR(p)序列有ϕkj=ϕj(j=1,...,p),且由（2.4）式，ϕpp=ϕp即为偏相关函数。当k＞p时，有ϕkk=0，换句话说，AR(p)序列的偏相关函数为ϕ11,ϕ22,...,ϕpp，0,...,0,即偏相关函数在k步截尾，其截尾的k值就是模型的阶数。这是AR(p)序列具有的本质特性。 2.1.3 模型阶数的确定
模型的识别，是根据理论自相关函数或偏相关函数是否截尾来判断的。但是，在实际中，人们所获得的观测数据只是一个有限长度N的样本值x1,x2,...,xN,
ˆk和样本偏相关函数ϕˆkk只是ρk和ϕkk的估计由它们算出的样本自相关函数ρ
值。由于样本的随机性，其估计总可能有误差。对于AR(p)序列，当k﹥p时，
ˆkk可能不会全为零，而是在零附近波动。以下我们讨论的是如何用样本自相关ϕ
函数和样本偏相关函数来推断模型的阶。 2.2 样本自相关函数和样本偏相关函数
设有零均值平稳时间序列{Xt}的一段样本观测值x1,x2,...,xN,样本协方差函数定义为 γ=γ
*k
*-k
1=
N-k
N-ki=1
∑xx
i
i+k
，k=0,1,...,N-1
**
易知，γk是γk的无偏估计，但不一定是非负定的，故常用如下估计式代替γk:
1
γˆk=
N
N-ki=1
∑xx
i
i+k
,k=0,1,...,N-1 (2.5)
同理样本自相关函数定义为
ˆk=ρ
γˆk
，k=0,1,...,N-1 (2.6) γˆ0
ˆk}是非负定的。事实上，设当t﹥N或t≦0时，(2.5)式是γk的有偏估计，但{γ
xt=0，对于任意的m个实数λ1,λ2,...,λm 有
m
m
∑∑λλγˆ
i
j
i=1j=1
j-i
1mm
=∑∑λiλj
Ni=1j=1
N-j-i
xx
tt=1
t+j-i
∞
1mm
=∑∑λiλj∑xtxt+j-i
Ni=1j=1t=-∞
∞1mm
=∑∑λiλj∑xtxt+j-i Ni=1j=1t=-∞∞1mm
=∑∑λiλj∑xt+ixt+j Ni=1j=1t=-∞
1∞⎛m⎫
=∑ ∑λixt+i⎪≧0. Nt=-∞⎝i=1⎭
实际问题中，N一般取得较大（不少于50）,故（2.5）式看做是渐近无偏的。由于（2.5）式的估计误差随k增大而增大，一般取k﹤N/4(常取k=N/10左右)
2
ˆk后，代入（2.5）式即得ϕˆkk的值。 由（2.6）式计算得ρ2.3 AR(p)模型的参数估计
设{Xt}的拟合模型为Xt=ϕ1Xt-1+ϕ2Xt-2+...+ϕpXt-p+at
2
此时要估计的参数为ϕ1,ϕ2,...,ϕp和σa，将Yule-Walker方程写成矩阵形式：
⎡ρ0
⎢ρ⎢1⎢M⎢⎣ρk-1
ρ1ρ0
M
ρk-1⎤⎡ϕk1⎤
⎢ϕ⎥Lρk-2⎥⎥⎢k2⎥
LL
ρk-2
⎡ρ1⎤
⎢ρ⎥=⎢2⎥，
M⎥⎢M⎥⎢M⎥⎥⎢⎥⎢⎥ρ0⎦⎣ϕkk⎦⎣ρk⎦
则
⎡ϕk1⎤⎡ρ0⎢ϕ⎥⎢ρ⎢k2⎥=⎢1⎢M⎥⎢M⎢⎥⎢⎣ϕkk⎦⎣ρk-1
ρ1ρ0M
ρk-2
Lρk-1⎤Lρk-2⎥⎥
M⎥⎥
Lρ0⎦
-1
⎡ρ1⎤⎢ρ⎥⎢2⎥ ⎢M⎥⎢⎥⎣ρk⎦
-1
ˆ1⎤⎡1⎡ϕ⎢ϕˆ2⎥⎢ρˆ1⎢⎥⎢将各参数换成它们的估计，可得=⎢M⎥⎢M⎢⎥⎢ˆp⎦ˆp-1⎢ϕ⎥⎣⎢ρ⎣
2
a
p
ˆ1ρ1Mˆp-2ρ
ˆ1⎤ˆp-1⎤⎡ρρ
ˆ2⎥ˆp-2⎥⎢ρLρ⎥⎢⎥ （2.7）
L
L
M⎥⎢M⎥⎥⎢⎥
ˆp⎥1⎦⎢ρ⎥⎣⎦
p
⎛⎫ ˆˆˆˆˆˆσ=γ0-∑ϕjγ=γ0 1-∑ϕjρj⎪⎪ (2.8)
j=1j=1⎝⎭
（2.7）和（2.8）式是AR(p)模型全部参数的估计公式。 2.4 AR(p)模型的预报
根据时间观测数据，建立一个与实际问题相适应的模型后，就可以利用过去和现在的观测值，对该序列未来时刻的取值进行估计，即预报。 2.5 最小方差预报
ˆ(l)表示用时刻t及t设{Xt}是零均值平稳序列，并假定它是正态的，令Xt
之前的全部观测数据，即{Xt,Xt-1,...}的取值对未来t+l时刻的Xt+l(l>0)的取值所作的预报。
现在的问题是，要找出一个如下形式的线性函数
ˆ(l)=cX+cX+cX+... X
2ˆ(l)⎤=min（4.11） Xt+l-X使预报的均方误差E(ek(x))=E⎡t⎢⎥⎣⎦
ˆ这样的X(l)称为X的线性最小方差预报。
t
t+l
[
t
](
0t1t-1
)
2t-2
2
2.6 AR(p)序列的预报
若{Xt,t∈T}为AR(p)序列，AR(p)序列的最佳预报递推公式为
ˆ(1)=ϕX+ϕX⎧XN1N2N-1+...+ϕPXN-p+1,
⎪
ˆ(2)=ϕXˆ(1)+ϕX+...+ϕX⎪XN1N2NpN-p+2,⎪
......... ⎨..........⎪ˆˆˆ
⎪XN(p)=ϕ1XN(p-1)+...+ϕp-1XN(1)+ϕpXN,⎪()ˆˆˆ
⎩XNl=ϕ1XN(l-1)+ϕ2X2(l-2)+...+ϕpXN(l-p),l>p
ˆ(l)(l>0)仅仅依赖于{Xt,t∈T}的N时刻以及以前时刻的p个由此可见，Xt值XN,XN-1 ,...,XN-p+1。这就是说，只要知道这p个时刻的观测值，无需掌握更多的历史资料就可以根据上述公式求得任意步的最优预报。因此AR(p)模型的预报计算简单，正因为AR建模与AR预报的简单性，它成为预报问题中应用最为广泛的时序模型。
3.计算程序与结果
3.1 举例:地震震级的预测
以下采用的数据是1970年1月1日至1982年12月31日期间的实测的四川地区的地震震级（见表1，平均每15天进行1次测量，共有323个数据）。本文将利用表中的数据建立该地地震等级的随机线性模型，并对下几个时段的震级进行预测。
表格 1 1970年1月1日到1982年12月31日期间四川地区的地震震级实测值
3.2 问题分析
首先对数据进行零均值化，将原数据在不改变其自相关函数系数及偏相关函数系数的前提下，化成便于计算的新数据，然后再计算新数据的自相关函数及偏相关函数，并根据所给数据对该数据允许的误差范围进行判定，确定其符合的时间序列模型，求出模型中的参数。 3.3 模型的求解与其结果
3.3.1 模型的识别程序：
z=[4.4 6.2 4.7 4.8 5.4 4.2 4.1 4.0 5.5 4.3 4.2 5.5 4.2 4.6 5.9 5.7 5.4
5.0 4.7 5.4 4.2 4.4 5.4 5.4 4.0 4.9 5.2 4.8 4.4 4.6 4.2 5.6 5.6 5.7 4.6 7.9 4.2 4.4 4.0 5.0 6.0 4.8 4.3 4.6 5.5 4.1 4.0 4.1 4.8 5.4 4.9 4.2 4.1 5.2 4.0 3.9 3.9 3.7 4.7 4.0 6.5 3.8 4.0 3.9 4.2 4.7 4.2 4.7 5.8 5.0 4.4 4.0 4.4 4.4 4.2 4.5 3.9 4.3 4.2 3.6 4.0 4.7 5.7 3.7 7.1 4.3 4.0 4.4 4.4 4.2 4.4 3.9 3.8 4.8 3.9 3.9 3.8 4.2 3.9 4.5 3.9 4.1 4.0 4.7 5.2 5.0 3.8 4.2 4.1 5.7 4.8 5.0 5.2 3.9 4.5 5.2 4.7 4.9 4.6 3.9 4.3 4.0 3.9 3.8 4.1 4.3 4.3 6.2 4.8 4.5 4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 3.8 4.3 4.4 4.6 4.3 3.6 3.9 7.2 5.0 4.9 4.3 4.1 4.8 5.9 6.7 4.7 7.2 5.1 5.2 5.2 6.7 5.6 4.7 5.1 4.5 4.7 4.6 4.5 4.9 4.1 6.4 5.0 4.1 4.0 4.2 4.1 4.4 4.9 3.9 4.8 4.3 5.1 4.4 4.3 4.7 4.8 4.9 4.4 4.5 4.9 5.1 4.2 4.4 4.3 4.4 4.3 4.1 4.4 4.1 4.2 4.7 4.9 5.4 5.6 4.1 4.7 4.4 4.1 3.5 4.6 3.1 4.3 4.5 3.2 4.9 3.8 4.4 3.7 3.7 3.0 4.0 3.2 4.3 3.5 3.9 3.7 3.0 3.5 4.5 4.2 3.2 3.0 3.3 5.0 3.8 3.1 3.7 4.1 4.0 4.2 4.0 4.3 3.8 5.8 3.8 4.0 4.3 4.3 3.4 3.2 4.0 3.0 3.8 3.2 3.0 4.0 3.3 3.5 4.0 3.7 4.5 3.0 3.5 3.9 3.0 4.0 3.6 3.5 3.8 3.0 3.7 3.7 3.0 3.6 4.0 3.5 3.5 3.5 4.1 6.9 3.8 3.2 4.0 3.6 4.0 4.3 3.0 3.0 3.4 3.7 3.2 3.5 3.8 5.0 3.6 2.4 4.5 4.0 3.4 3.2 3.3 3.7 3.4 3.0 3.0 4.7 3.2 3.5 3.1 4.7 3.1 3.0 3.7 3.2 4.4 3.2 4.2 3.4 4.0 3.5 3.1 4.1 5.0 3.7 4.6 3.1 4.4 4.3]; >> m=mean(z) m =
4.3152 for k=1:323 w(k)=z(k)-m;
end w 【具体操作程序见附录（A）】
因为本文中的n=323,所以取k=n/10,所以k=30. [ACF]=autocorr(w,30)
ACF =
Columns 1 through 12
1.0000 0.3411 0.3323 0.3181 0.3495 0.3457 0.3064 0.2904 0.2760 0.3595 0.2474 0.2370
Columns 13 through 24
0.2536 0.2870 0.2814 0.2688 0.2677 0.2880 0.2545 0.2261 0.1832 0.2499 0.2389 0.1916
Columns 25 through 31
0.2318 0.2346 0.1585 0.2189 0.1771 0.1493
0.1906
>> autocorr(w,30)，得到下图：
>>[PartialACF]=parcorr(w,30) PartialACF =
Columns 1 through 12
1.0000 0.3411 0.2447 0.1810 0.1939 0.0836 0.0583 0.0376 0.1591 -0.0203 -0.0138 Columns 13 through 24
0.0361 0.0704 0.0579 0.0587 0.0623 0.0001 -0.0041 -0.0585 0.0480 0.0209 -0.0359 Columns 25 through 31
0.0661 0.0567 -0.0822 0.0600 -0.0035 0.0075
>> parcorr(w,30),得到下图：
>> subplot(121);autocorr(w,30) >> subplot(122); parcorr(w,30)
0.1600 0.0862 -0.0430
得到如下对比图：
由图中可以看出自相关函数拖尾，偏相关函数截尾，所以该模型是AR(p)模型。 3.3.2 模型阶数的确定及程序：【程序见附录（B）】 样本的自相关函数图形如下：
根据算出的样本偏相关函数可知ϕkk在k=p=1处截尾，易知当k>5时，平均20
ˆkk≥ˆkk中至多有一个使个ϕ
2n=
2=0.1113，则认为ϕkk截尾在k=p=5处，
所以可以判断模型为AR(5)模型。 3.3.3 模型的预报公式：
对于AR(5)
模型计算参数参数估计值，我们采取矩估计的方法，得到如下估
计值：
ˆ⎫⎛1.0000⎛ϕ 1⎪
ˆ2⎪ 0.3411 ϕ ϕˆ3⎪= 0.3323 ⎪
ˆ4⎪ 0.3181 ϕ ϕ⎪
⎝ˆ5⎭⎝0.3495
0.34111.00000.34110.33230.31810.33230.34111.00000.34110.33230.31810.33230.34111.00000.3411
0.3495⎫
⎪0.3181⎪0.3323⎪
⎪0.3411⎪1.0000⎪⎭
-1
⎛0.3411⎫⎛0.1495⎫
⎪ ⎪ 0.3323⎪ 0.1386⎪ 0.3181⎪= 0.1134⎪ ⎪ ⎪ 0.3495⎪ 0.1641⎪ 0.3457⎪ 0.1557⎪⎝⎭⎝⎭
所以AR(5)模型的预报公式为：
ˆ=0.1495ZˆˆˆZZZk+lk+l-1+0.1386k+l-2+0.1134k+l-3+
ˆˆ0.1641Zk+l-4+0.1557Zk+l-5+1.2026 3.3.4 模型预报
由于前面AR(5)模型的预报公式可对以后几个小时地震等级的值进行预测，利用Z319=3.7 ,Z320=4.6,Z321=3.1,Z322=4.4,Z323=4.3,可得到下列几个时段（每15天一个时段）的地震等级的预测值：
ˆ=0.1495⨯4.3+0.1386⨯4.4+0.1134⨯3.1+Z323
0.1641⨯4.6+0.1557⨯3.7+1.2026=4.1378
ˆ=0.1495⨯4.1378+0.1386⨯4.3+0.1134⨯4.4+Z324
0.1641⨯3.1+0.1557⨯4.6+1.2026=4.1411ˆ=0.1495⨯4.1411+0.1386⨯4.1378+0.1134⨯4.3+Z325
0.1641⨯4.4+0.1557⨯3.1+1.2026=4.0875ˆ=0.1495⨯4.0875+0.1386⨯4.1411+0.1134⨯4.1378+Z326
0.1641⨯4.3+0.1557⨯4.4+1.2026=4.2476
......
4.预期结果与展望
4.1 结论
本文通过对所给的时间序列进行标准化，然后利用Matlab软件求出其自相
关函数和其偏相关函数，并画出图形对比，通过观察图形，知道了该模型的自相关函数拖尾，而偏相关函数截尾，正好符合我们所研究的AR(p)模型，然后对该模型进行阶数的确定以及参数估计，最后给出了该AR(p)模型的预报公式，通过预报公式，我们可以对任何一个时间段的地震震级进行预测。 4.2 展望
本文通介绍了AR(p)模型的一些基本公式，通过对四川地震震级的预测数据，我们用软件做出了标准化后的样本的自相关函数与偏相关函数图，通过图
像我们了解了该模型是哪类模型，通过平稳时间序列的分析，我们就能对各个时间段进行预报，并且通过建立模型使预报更简单。平稳时间序列的预测模型可以应用到好多领域，例如股票市场行情的预报、期货市场的预报以及我们最熟悉的天气预报，这些平稳时间序列的模型对我们预测未来的发展趋势起到了决定性作用。
参考文献
[1]何书元.应用时间序列分析.北京大学出版社.2003.9
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[3]刘次华.随机过程.华中科技大学出版社.2008.8
[4]阳明盛，熊西文，林建华.MATLAB基础及数学软件.大连理工大学出版社.2003 [5]吴怀宇.时间序列分析与综合.武汉大学出版社.2004.12
[6]边馥萍，侯文华，梁冯珍.数学建模方法与算法.高等教育出版社.2005.5 [7]王燕.应用时间序列分析.中国人民大学出版社.
附录（A）.平稳时间序列的标准化程序： for k=1:323 w(k)=z(k)-m; end >> w
w =
Columns 1 through 12
0.0848 1.8848 0.3848 0.4848 1.0848 -0.1152 -0.2152 -0.3152 1.1848 -0.0152 -0.1152 1.1848
Columns 13 through 24
-0.1152 0.2848 1.5848 1.3848 1.0848 0.6848 0.3848 1.0848 -0.1152 0.0848 1.0848 1.0848
Columns 25 through 36
-0.3152 0.5848 0.8848 0.4848 0.0848 0.2848 -0.1152 1.2848 1.2848 1.3848 0.2848 3.5848
Columns 37 through 48
-0.1152 0.0848 -0.3152 0.6848 1.6848 0.4848 -0.0152 0.2848 1.1848 -0.2152 -0.3152 -0.2152
Columns 49 through 60
0.4848 1.0848 0.5848 -0.1152 -0.2152 0.8848 -0.3152 -0.4152 -0.4152 -0.6152 0.3848 -0.3152
Columns 61 through 72
2.1848 -0.5152 -0.3152 -0.4152 -0.1152 0.3848 -0.1152 0.3848 1.4848 0.6848 0.0848 -0.3152
Columns 73 through 84
0.0848 0.0848 -0.1152 0.1848 -0.4152 -0.0152 -0.1152 -0.7152 -0.3152 0.3848 1.3848 -0.6152
Columns 85 through 96
2.7848 -0.0152 -0.3152 0.0848 0.0848 -0.1152 0.0848 -0.4152 -0.5152 0.4848 -0.4152 -0.4152
Columns 97 through 108
-0.5152 -0.1152 -0.4152 0.1848 -0.4152 -0.2152 -0.3152 0.3848 0.8848 0.6848 -0.5152 -0.1152
Columns 109 through 120
-0.2152 1.3848 0.4848 0.6848 0.8848 -0.4152 0.1848 0.8848 0.3848 0.5848 0.2848 -0.4152
Columns 121 through 132
-0.0152 -0.3152 -0.4152 -0.5152 -0.2152 -0.0152 -0.0152 1.8848 0.4848 0.1848 0.0848 -0.1152
Columns 133 through 144
-0.0152 0.9848 0.5848 -0.5152 -0.0152 0.0848 0.2848 -0.0152 -0.7152 -0.4152 2.8848 0.6848
Columns 145 through 156
0.5848 -0.0152 -0.2152 0.4848 1.5848 2.3848 0.3848 2.8848 0.7848 0.8848 0.8848 2.3848
Columns 157 through 168
1.2848 0.3848 0.7848 0.1848 0.3848 0.2848 0.1848 0.5848 -0.2152 2.0848 0.6848 -0.2152
Columns 169 through 180
-0.3152 -0.1152 -0.2152 0.0848 0.5848 -0.4152 0.4848 -0.0152 0.7848 0.0848 -0.0152 0.3848
Columns 181 through 192
0.4848 0.5848 0.0848 0.1848 0.5848 0.7848 -0.1152 0.0848 -0.0152 0.0848 -0.0152 -0.2152
Columns 193 through 204
0.0848 -0.2152 -0.1152 0.3848 0.5848 1.0848 1.2848 -0.2152 0.3848 0.0848 -0.2152 -0.8152
Columns 205 through 216
0.2848 -1.2152 -0.0152 0.1848 -1.1152 0.5848 -0.5152 0.0848 -0.6152 -0.6152 -1.3152 -0.3152
Columns 217 through 228
-1.1152 -0.0152 -0.8152 -0.4152 -0.6152 -1.3152 -0.8152 0.1848 -0.1152 -1.1152 -1.3152 -1.0152
Columns 229 through 240
0.6848 -0.5152 -1.2152 -0.6152 -0.2152 -0.3152 -0.1152 -0.3152 -0.0152 -0.5152 1.4848 -0.5152
Columns 241 through 252
-0.3152 -0.0152 -0.0152 -0.9152 -1.1152 -0.3152 -1.3152 -0.5152 -1.1152 -1.3152 -0.3152 -1.0152
Columns 253 through 264
-0.8152 -0.3152 -0.6152 0.1848 -1.3152 -0.8152 -0.4152 -1.3152 -0.3152 -0.7152 -0.8152 -0.5152
Columns 265 through 276
-1.3152 -0.6152 -0.6152 -1.3152 -0.7152 -0.3152 -0.8152 -0.8152 -0.8152 -0.2152 2.5848 -0.5152
Columns 277 through 288
-1.1152 -0.3152 -0.7152 -0.3152 -0.0152 -1.3152 -1.3152 -0.9152 -0.6152 -1.1152 -0.8152 -0.5152
Columns 289 through 300
0.6848 -0.7152 -1.9152 0.1848 -0.3152 -0.9152 -1.1152 -1.0152 -0.6152 -0.9152 -1.3152 -1.3152
Columns 301 through 312
0.3848 -1.1152 -0.8152 -1.2152 0.3848 -1.2152 -1.3152 -0.6152 -1.1152 0.0848 -1.1152 -0.1152
Columns 313 through 323
-0.9152 -0.3152 -0.8152 -1.2152 -0.2152 0.6848
-0.6152 0.2848 -1.2152 0.0848 -0.0152
附录（B）.样本的自相关函数程序: p=ACF(w) p =
Columns 1 through 12
1.0000 0.3411 0.3323 0.3181 0.3495 0.3064 0.2904 0.2760 0.3595 0.2474 0.2370
Columns 13 through 24
0.2536 0.2870 0.2814 0.2688 0.2677 0.2545 0.2261 0.1832 0.2499 0.2389 0.1916
Columns 25 through 30
0.2318 0.2346 0.1585 0.2189 0.1771 0.1493 rc=0;
>> for k=1:323
rc=rc+1/323*w(k)*w(k); end
>> for k=1:30 w=0;
for j=1:323-k
w=w+1/323*w(j)*w(j+k); end r(k)=w;
p(k)=r(k)/rc; end w=1:30;
>> plot(w,p,w,0,'-k',w,p,'*'
0.3457 0.2880
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