学科教学Ｉ一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一型望哑旦蹙
对称性和奇偶性在积分中的应用
运城学院师范分院
王
洁
【摘要】在定积分和重积分的计算中，恰当地利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，可以使积分运算大大简化，并通过具体例子表明这些结论是十分有效的．
【关键词】对称性
奇偶性
定积分
重积分
积分计算是微积分的基本运算，但求积分却没有固定的方法可循。只能依据基本思路，因题而异进行尝试。在积分计算中巧妙地利用积分区域的对称性、被积函数的奇偶性，既能收到事半功倍的效果，又很好地体现了数学的对称美。下面给出笔者在教学中发现的几则应用。
１．定积分中的应用１．１积分区间对称
ｈＦ０蠹甲＝ｚ手罟羔挚＝ｚ一蛳ｒ疟＝萼
例４计算，＿Ｆ丝苷笋出分析：被积函数无奇偶性，按后一
种情况处理。
解：令沪加ｒ，ｄｘ＝ｓｅｃ２ｔｄｔ，．邑ｖ－－－Ｏ，ｔ－－Ｏ；ｘ＝ｌ，弓，则卢ｒ
１Ｉｎ（１而＋ｔａ矿ｎｔ）ｓｅ。船ｓ÷ｋ（、＋ｌａｍ）ｄｒ
可１ｆｏ｛Ｅｌｎ（１＋ｒａｎｔ）＋Ｉｎ（１＋ｔａ一（号一，））协
当被积函数有奇偶㈣胁叫葛篙嚣彻数；
当被积函数无奇偶性时，￡，（舳；ｒ【，（砷＋／（－ｘ）ｌａｋ，或者分析被积
函数，对其进行变形、拆项，化为奇函数或偶函数。第一种情况大部分教材上都有，这里就不赘述了。
—｝ｒ［加（１＋细疗ｆ）＋加Ｔ最爿ｄｔ
专Ｊ：：ｌｎ２峙／ｎ２
例ｌ计算，－Ｊ！ｌ争
解：直接利用上述结论，有，；ｆ（＿专＋亡≯＝．ｒｅ。ｅ＿．ｃ＋，五一ｆｍ－；
例２计算，＝￡ｘｌｎ（１＋，坶
分析：本题可以直接利用上述结论来求，也可以利用对数函数的性质进行变形，将对数部分化为奇函数，进而求解。
解：令，∞：ｘＩｌｌｏ＋，协，因为
一般地，形如Ｊ≯加（１＋ｔａｎｘ）‘ｄｒ，Ｊ于Ｔ干占忑的积分（其中妫
任意常数）均可按后一种情况所给方法计算。另有：
命题；若丁。）在【嵋，口】上连续，设ｃ＝譬则
ｌｎａ＋力＝；Ｉｎ０＋哟２＝；ｌｌｌａ＋知。＋Ｆ“）＝１ｎ—２＋－。ｚ７－Ｉ－Ｇ一＂ｚ
＝；【ｒ＋Ｉｎ（２＋，＋寥叫）】
得到，∞＝；＾ｉＩ州２＋．Ｉ＋ｔ；），而ｘｌｎ（２＋ｅ。＋ｒ‘）在【－２，２】是函数。有．』一ｒｌ，Ｉｎｏ＋，ｌ冲－￡ｍ蚺一三Ｉ佟’女＝；
一般地，如果ｇ（ｘ）蔓Ｊ［－ａ，口】上的偶函数且在【ｏ，口】上可积，
例５计算卢－『３丢釉解：取ｃ＝２，姒ｚ）≤毫簪，
．ｙ，／＜２一ｘ’＝ｊ薹亳兰主粉为奇函数，则，一厂轰驷
“Ｌｏ，，（ｃ—ｎ为奇函数１．３函数＆ｆｆ－ｙ＝ｘＸ寸利Ｓ
Ｃ，（Ｄ出；ｊ２ｆ
４，ｏ一力出・／（ｃ—ｒ）为偶函数
形如￡黪ｔ的积分都可以按照上述结论进行计算；如果ｈｏ）为
【－ａ，口】上的奇函数，．Ｒｘｈ（ｘ）在【ｏ，口】上可积，形如￡删Ｉｎ０＋，灿
的积分（其中ｋ为任意常数）也可以用此结论来求。
１．２积分区间不对称
当被积函数有奇偶性时，依被积函数性质把区间化为对称区间；当被积函数无奇偶性时，令ｘ芎升６一，，有
若函数厂（工）在某区间单调连续，其反函数彬～Ｏｃ），且Ｆ’ｏ）可（ｘ），则少一’（ｘ）ｄｘ＝－ｘｆ一‘Ｑ）一ＦＬ厂一。（ｘ）］＋ｃ。例６１＝ｙｏ＇ａｒｃｓｉｎｘｄｘ
解：已知其反函数的积分为ｆｓｆ咖一∞．￡什ｃ，所以
ｌ－洳ｒｃｓｉｎｘｄｘ＝［ｘａｒｃｓｉｎｘ一（－ｃｏｓ（ａｒｃｓｉｎｘ））］ｒ喀ｏ
＝胁懈肼析鬲ｉ丽畸一１
２．二重积分中的应用
，，
‘
此方法适用于反三角函数，对数函数以及反双曲函数的积
分。
例３计算，＝ｒ番静
来解
Ｃ，（壮《，（４＋＾一蚺ｔ托【，０。十／（ａ＋＾一对皿
分析：本题被积函数为偶函数，积分区间不对称，可以令
萨辱一ｔ或护争ｔ，把积分区间化为对称区间，利用１．１的结论
２．１积分区域关于坐标概轴（滞）对称
ｆ０，，“ｙ）关于畎ｘ）为奇函数
Ｌｑ
解：令碍一，测，《篇㈣；虞暑趣暑
丽ｃｏｓ！疋骨＿ｌｌ丹ｍ删－－数－，而器是奇函数，所以
・１０６・
目７（‘办由。１２盯，（ｘ，ｙ）ａｚ，ｌ（ｘ，ｙ）关于），（蚋偶函数
（ＤＩ．（（工，ｙ）ｔＫ（ｘ，Ｊ，）∈Ｄ，且工２０））
２．２积分区域关于原点对称（或称关于工轴ｙ轴对称）
Ｄｌ；（（工，ｙ）Ｋ（膏，Ｊ，）ＥＤ，且ｙ≥０）
型曼蜓星巳一一一一一…一一一～二一一一一一一一一一一一Ｉ
学科教学
上好数学复习课的方法
青海省民和县民和二中
李元虎
一、更新教育观念，始终坚持以学生趣盎然。让学生领略到数学的优美、奇试题则需要仔细剖析，对那些涉及重难为主体，以教师为主导的教学原则
异和魅力，这样才能变苦役为享受，有效点知识且能力要求比较高的试题要特别数学课堂教学必须废除“注入式”、地防止智力疲劳，保持解题的“好胃口”。照顾：对于学生错误率较高的试题，则要“满堂灌”的教法。复习课也不能由教师一道好的数学题，即便具有相当的难度，对症下药。为此教师必须认真批阅试卷，包讲，更不能成为教师展示自己解题“高它却像一段引人入胜的故事，又像一部对每道题的得分率应细致地进行统计，难动作”的“绝活表演”，而要让学生成为情节曲折的电视剧，那迭起的悬念、丛生对每道题的错误原因准确地分析，对每学习的主人，让他们在主动积极的探索的疑窦正是它的诱人之处。“山重水覆”道题的评讲思路精心设计，只有做到评活动中实现创新、突破，展示自己的才华的困惑被“柳暗花明”的喜悦取代之后，讲前心中有数，才会做到评讲时有的放
智慧，提高数学素养和悟性。作为教学学生又怎能不赞叹自己智能的威力？我矢。
活动的组织者，教师的任务是点拨、启们要使学生由“要我学”转化为“我要学”，②贵在方法，重在思维方法是关键，发、诱导、调控，而这些都应以学生为中课堂上要想方设法调动学生的学习积极思维是核心
心。复习课上有一个突出的矛盾，就是性，创设情境，激发热情，有这样一些比渗透科学方法，培养思维能力是贯时间太紧，既要处理足量的题目，又要充较成功的做法：一是运用情感原理，唤起穿数学教学全过程的首要任务。试卷的分展示学生的思维过程，二者似乎是很学生学习数学的热情；二是运用成功原评讲过程能使学生的思维能力得到发难兼顾。我们可采用“焦点访谈”法较好理，变苦学为乐学；三是在学法上教给学展，分析与解决问题的悟性得到提高，对地解决这个问题，因大多数题目是“入口生“点金术”等等。
问题的化归意识得到加强。训练“多题宽，上手易”，但在连续探究的过程中，常三、讲究讲评试卷的方法和技巧一解”和“一题多解”，不在于方法的罗列，在某一点或某几点上搁浅受阻，这些点复习阶段总免不了要做一些试卷，而在于思路的分析和解法的对比，从而被称为“焦点”，其余的则被称为“外围”。但试卷并不是做得越多越好，关键在于揭示最简或最佳的解法。
我们大可不必在外围处花精力去进行浅做题的质量好坏和收益的多少。怎样才③分类化归，集中讲评
表性的启发诱导。
能取得好的讲评效果，要做好以下几点：
涉及相同知识点的题，集中讲评；形＝、提高复习课解题教学的艺术性①照顾一般，突出重点
异质同的题，集中评讲；形似质异的题，在复习时，解题的量很大，这就更要讲评试卷时，不应该也不必要平均集中评讲。
求我们将解题活动组织得生动活泼、情
使用力量。有些试题只要点到为止，有些
ｆｏ’／（ｘ，力关于埔３ｉｙ为奇函数
化我们的积分运算。
ｊＪ
口ｌ（ｘ，力由２１４ｆｆ，（薯ｙ）出，，（‘Ｊ，）关矗。蝴为偶函数
另外，在应用对称性和奇偶性求积分时，必须注意：【Ｚ
（１）必须兼顾被积函数与积分区域两个方面，只有当两个Ｄｊ＝（ｏ，ｙ）Ｋ（ｘ，Ｊ，）∈Ｄ，且工≥Ｏ，ｙ＞－Ｏ）
２．３积分区域关于直线）尸ｘ对称（也称作变量可轮换性或方面的对称性相匹配时才能使用；
变量位置的对称性）
（２）对坐标曲线积分与曲面积分，在利用对称性时，尚许考虑积分路线的方向和曲线的侧，需谨慎。盯，似ｙ）由＝盯，（ｙ，ｘ）出＝吉盯【，以力＋，（ｙ，功】出
参考文献
例７，Ｊｒ＝Ⅱｑ爿＋ｌ帅姗，其中Ｄ，可≤ｌ
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Ｄｌ岛
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以上是我们比较多见的定积分和二重积分中对称性和奇【５】翁耀明．一类反函数的简捷积分法ｆＪ】．大学数学，２００３，偶性的应用，应用点推广到线，线推广到面，推广到曲线曲面积１９（２）：９１．９３
分，以及广义的对称性（即关于某点，某条直线，某一平面对称）。【６】６孙建武，宋扣兰．积分计算的对称性定理的推广及其应总之利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性可以大大简
用【Ｊ】．淮阴师范学院学报，２００６，５（３）：１９０．１９３
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对称性和奇偶性在积分中的应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
王洁
运城学院师范分院成功（教育版）SUCCESS 2008，""(6)0次
参考文献(6条)
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研究初函数,免不了要研究其奇偶性、对称性、周期性,这其中每一种性质都有独特的代数体现(函数方程)和几何特征,而且,三性之间又有关联:奇偶性反映了特殊的对称关系;多重对称的函数又会呈现出周期性.文章力图说清楚两个方面的问题:其一,对每一种性质,如何正确理解其代数特征与几何物征的的关系;其二,这三种性质相关联时的代数与几何特征如何体现.
2.期刊论文 司兴海. SI Xing-hai 利用函数奇偶性和积分区域对称性计算重积分 -菏泽学院学报2009,31(2)
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3.学位论文 王小杭 高一学生函数对称性的认知研究 2008
在我们的数学学习中,对称性是一种非常重要的思想、方法和内容。到高中时,出现最早的与对称性很密切的内容就是函数图像的对称性,它是我们研究函数时最重要的性质之一。我们通过对三所高中的131名高一学生的问卷调查和个别访谈,考察学生对数学中对称性的态度与认识和对函数对称性的认知情况,得出以下结论：
(1)有超过94％的高一学生认为对称性在数学中占有重要或者比较重要的位置,92％的学生认为对称性的思想方法对自己的数学学习有很大或者比较大的帮助,也有80％以上的学生对数学中的对称性是有所了解的,但学生对于数学中对称性的认识还大都是一种自发的状态,处于潜意识的状态,认识比较简单,知识面很窄。
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下载时间：2010年8月10日