高中数学公式大全（最新整理版）
1、二次函数的解析式的三种形式
2
f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) ; (1)一般式
2
f (x ) =a (x -h ) +k (a ≠0) ; (2)顶点式
12(3)零点式.
2、四种命题的相互关系
原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否； 逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否； 否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆； 逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否
f (x ) =a (x -x )(x -x )(a ≠0)
§ 函数
a (, 0)
1、若f (x ) =-f (-x +a ) , 则函数y =f (x ) 的图象关于点2对称; 若f (x ) =-f (x +a ) , 则函数y =f (x ) 为周期为2a 的周期函数.
2、函数y =f (x ) 的图象的对称性
(1)函数y =f (x ) 的图x =a 象关于直线对称⇔f (a +x ) =f (a -x )
⇔f (2a -x ) =f (x ) .
(2)函数y =f (x ) 的图象关于直线
x =
a +b
2对称⇔f (a +mx ) =f (b -mx )
⇔f (a +b -mx ) =f (mx ) .
3、两个函数图象的对称性
(1)函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图象关于直线x =0(即y 轴) 对称. (2)函数y =f (mx -a ) 与函数y =f (b -mx ) 的图象关于直线(3)函数y =f (x ) 和y =f
-1
x =
a +b
2m 对称.
(x ) 的图象关于直线y=x对称.
4、若将函数y =f (x ) 的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数y =f (x -a ) +b 的图象；若将曲线f (x , y ) =0的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线f (x -a , y -b ) =0的图象.
-1
f (a ) =b ⇔f (b ) =a . 5、互为反函数的两个函数的关系：
(x ) -b ]
y =f (kx +b ) 6、若函数存在反函数, 则其反函数为, 并不是
1
y =[f (x ) -b ]-1-1
y =[f (kx +b ) , 而函数y =[f (kx +b ) 是k 的反函数.
7、几个常见的函数方程
(1)正比例函数f (x ) =cx , f (x +y ) =f (x ) +f (y ), f (1)=c .
x
f (x ) =a (2)指数函数, f (x +y ) =f (x ) f (y ), f (1)=a ≠0.
f (x ) =log a x f (xy ) =f (x ) +f (y ), f (a ) =1(a >0, a ≠1)
y =
1[f k
-1
(3)对数函数, .
α'
f (x ) =x f (xy ) =f (x ) f (y ), f (1)=α. (4)幂函数,
(5)余弦函数f (x ) =cos x , 正弦函数g (x ) =sin x ，f (x -y ) =f (x ) f (y ) +g (x ) g (y ) ，
§ 数 列
1、数列的同项公式与前n 项的和的关系
n =1⎧s 1,
a n =⎨
⎩s n -s n -1, n ≥2( 数列{a n }的前n 项的和为s n =a 1+a 2+ +a n ).
2、等差数列的通项公式
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *)
；其前n 项和公式为
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n 2222.
a
a n =a 1q n -1=1⋅q n (n ∈N *)
q 3、等比数列的通项公式；其前n 项的和公式为 s n =
⎧a 1(1-q n )
, q ≠1⎪
s n =⎨1-q
⎪na , q =1⎩1
4、等比差数列
或
⎧a 1-a n q
, q ≠1⎪1-q s n =⎨
⎪na , q =1⎩1
.
{a n }:a n +1=qa n +d , a 1=b (q ≠0) 的通项公式为
⎧b +(n -1) d , q =1⎪
a n =⎨bq n +(d -b ) q n -1-d
, q ≠1⎪q -1⎩
；其前n 项和公式为
⎧nb +n (n -1) d ,(q =1)
⎪s n =⎨d 1-q n d
(b -) +n ,(q ≠1) ⎪1-q q -11-q ⎩.
§ 三角函数
sin θ
22
1、同角三角函数的基本关系式 sin θ+cos θ=1，tan θ=cos θ，tan θ⋅cot θ=1.
2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
n
⎧
n π⎪(-1) 2sin α, sin(+α) =⎨n -1
2⎪(-1) 2co s α,
⎩
n 2
⎧
n π⎪(-1) co s α, co s(+α) =⎨n +1
2⎪(-1) 2sin α,
⎩
3、和角与差角公式
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β;
cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β;
tan α±tan β1 tan αtan β.
sin(α+β)sin(α-β) =sin 2α-sin 2β(平方正弦公式); tan(α±β) =
cos(α+β)cos(α-β) =cos 2α-sin 2β.
a sin α+
b cos α=
α+ϕ) (辅助角ϕ所在象限由点(a , b ) 的象限决
tan ϕ=
定,
4、二倍角公式
b
a ).
sin 2α=sin αcos α.
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α.
2tan α
tan 2α=
1-tan 2α.
5、三倍角公式
sin 3θ=3sin θ-4sin 3θ=4sin θsin(-θ)sin(+θ)
33. cos3θ=4cos 3θ-3cos θ=4cos θcos(-θ)cos(+θ) 33
ππ
ππ
.
3tan θ-tan 3θππ
tan 3θ==tan θtan(-θ) tan(+θ)
1-3tan 2θ33.
6、三角函数的周期公式
函数y =sin(ωx +ϕ) ，x ∈R 及函数y =cos(ωx +ϕ) ，x ∈R(A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω
T =
＞0) 的周期
2π
ω；
x ≠k π+
π
函数y =tan(ωx +ϕ) ，
2(A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0) 的周期
a b c
===2R
7、正弦定理 sin A sin B sin C .
8、余弦定理
, k ∈Z T =
π
ω.
a 2=b 2+c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C .
9、面积定理
111
ah a =bh b =ch c h 、h 、h
b c 分别表示a 、b 、c 边上的高）. 222（1）（a
111
S =ab sin C =bc sin A =ca sin B
222（2）.
S ∆OAB =(3)S =
§平面向量
1、两向量的夹角公式
cos θ=
(a =
(x 1, y 1)
, b =
(x 2, y 2)
).
2、平面两点间的距离公式
d
A , B |AB |= =
=3、向量的平行与垂直
(A
(x 1, y 1)
，B
(x 2, y 2)
).
设a =
(x 1, y 1)
, b =
(x 2, y 2)
，且b ≠0，则
.
.
a ||b ⇔b =λa
⇔x 1y 2-x 2y 1=0
a ⊥b (a ≠0) ⇔a ·b =04、线段的定比分公式 设
⇔x 1x 2+y 1y 2=0
P 1(x 1, y 1)
，
P 2(x 2, y 2)
，P (x , y ) 是线段
P 1P 2
的分点, λ是实数，且
PP =λPP 21
，则
⎧
x =⎪⎪⎨⎪y =⎪⎩
x 1+λx 2
1+λ
y 1+λy 2OP +λOP 2 t =1OP =1
1+λ⇔1+(1-t ) OP 2（⇔OP =tOP 1+λ1+λ）.
A(x1,y 1)
、
5、三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为
B(x2,y 2) C(x3,y 3)
、
, 则△ABC 的重心的坐标是
G (
x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3
, ) 33.
6、 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O 为∆ABC 所在平面上一点，角A , B , C 所对边长分别为a , b , c ，则
2 2 2
（1）O 为∆ABC 的外心⇔OA =OB =OC .
（2）O 为∆ABC 的重心⇔OA +OB +OC =0.
（3）O 为∆ABC 的垂心⇔OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA .
（4）O 为∆ABC 的内心⇔aOA +bOB +cOC =0.
（5）O 为∆ABC 的∠A 的旁心⇔aOA =bOB +cOC .
§直线和圆的方程
y -y 1
k =2
x 2-x 1（P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ）. 1、斜率公式
2、直线的五种方程 （1）点斜式
y -y 1=k (x -x 1)
(直线l 过点
P 1(x 1, y 1)
，且斜率为k ) ．
（2）斜截式 y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距).
y -y 1x -x 1
=
y -y 1x 2-x 1(y 1≠y 2)(P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)). （3）两点式 2
x y +=1a b (4)截距式 (a 、b 分别为直线的横、纵截距，a 、b ≠0)
（5）一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0).
3、两条直线的平行和垂直 (1)若①②
l 1:y =k 1x +b 1
，
l 2:y =k 2x +b 2
;
l 1||l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1
.
(2)若
l 1:A 1x +B 1y +C 1=0l 2:A 2x +B 2y +C 2=0
,
, 且A1、A2、B1、B2都不为零,
A 1B 1C 1
=≠A B C 2； 22①
l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0l 1||l 2⇔
②
；
d =
4、点到直线的距离
5、圆的四种方程
(点
P (x 0, y 0)
, 直线l ：Ax +By +C =0).
222
(x -a ) +(y -b ) =r （1）圆的标准方程 .
22x +y +Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F ＞0). （2）圆的一般方程
⎧x =a +r cos θ⎨
⎩y =b +r sin θ
（3）圆的参数方程 .
（4）圆的直径式方程
(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0
(圆的直径的端点是
A (x 1, y 1)
、
).
6、直线与圆的位置关系
222
(x -a ) +(y -b ) =r Ax +By +C =0直线与圆的位置关系有三种:
d >r ⇔相离⇔∆0.
B (x 2, y 2)
A +B 其中
7、圆的切线方程
其方程是
d =
Aa +Bb +C
2
2
.
22x +y +Dx +Ey +F =0．①若已知切点(x 0, y 0) 在圆上，则切线只有一条，(1)已知圆
D (x 0+x ) E (y 0+y )
++F =0(x 0, y 0) 22 . 当圆外时,
D (x 0+x ) E (y 0+y )
x 0x +y 0y +++F =0
22表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点y -y 0=k (x -x 0) x 0x +y 0y +
的切线方程可设为
，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要
漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y =kx +b ，再利用相切条件求b ，必有两条切线．
222
P (x , y ) x x +y 0y =r x +y =r (2)已知圆．①过圆上的000点的切线方程为0; ②斜率为k
y =kx ±的圆的切线方程为.
§圆锥曲线方程
2
⎧x =a cos θx 2y 2
⎨+2=1(a >b >0) 2y =b sin θa b 1、椭圆的参数方程是⎩.
x 2y 2a 2a 2
+2=1(a >b >0) PF 1=e (x +) PF 2=e (-x ) 2
b c ，c 2、椭圆a 焦半径公式 .
3、椭圆的切线方程
x 2y 2x 0x y 0y +=1(a >b >0) +2=1222P (x , y ) 00处的切线方程是a b b (1)椭圆a 上一点. x 2y 2
+2=1(a >b >0) 2P (x 0, y 0) a b (2)过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是
x 0x y 0y
+2=1a 2b .
x 2y 2
+2=1(a >b >0) 222222Ax +By +C =0A a +B b =c a b (3)椭圆与直线相切的条件是. a 2a 2x 2y 2
PF 1=|e (x +) |PF 2=|e (-x ) |-2=1(a >0, b >0) 2
c ，c a b 4、双曲线的焦半径公式.
5、双曲线的方程与渐近线方程的关系
x 2y 2x 2y 2b
-=1-=0⇔y =±x 2222
⇒a b a b a (1）若双曲线方程为渐近线方程：.
x 2y 2x y b
-2=λ±=0y =±x 2
⇒⇔a b a b a (2)若渐近线方程为双曲线可设为.
x 2y 2x 2y 2
-2=1-2=λ22b b (3)若双曲线与a 有公共渐近线，可设为a （λ>0，焦点在x 轴上，
λ
6、 双曲线的切线方程
x 2y 2x 0x y 0y -=1(a >0, b >0) -2=1222P (x , y ) 00处的切线方程是a b b (1)双曲线a 上一点. x 2y 2
-2=1(a >0, b >0) 2P (x 0, y 0) a b （2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是
x 0x y 0y
-2=12a b . x 2y 2
-2=1(a >0, b >0) 2
b (3)双曲线a 与直线Ax +By +C =0相切的条件是
A 2a 2-B 2b 2=c 2.
p
CF =x 0+22
2. 过焦点7、抛物线y =2px 的焦半径公式：抛物线y =2px (p >0) 焦半径
p p
CD =x 1++x 2+=x 1+x 2+p
22弦长. b 24ac -b 2y =ax +bx +c =a (x +) +
2a 4a (a ≠0) 的图象是抛物线：8、二次函数（1）顶点坐
2
b 4ac -b 2b 4ac -b 2+1
(-, ) (-, ) 2a 4a 2a 4a 标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是4ac -b 2-1y =
4a .
9、 抛物线的切线方程
2y =2px 上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程是y 0y =p (x +x 0) . (1)抛物线
2
y =2px 外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是y 0y =p (x +x 0) . （2）过抛物线
22y =2px (p >0) pB =2AC . Ax +By +C =0（3）抛物线与直线相切的条件是
4
V =πR 3
2
31、球的半径是R ，则其体积, 其表面积S =4πR ．
2、柱体、锥体的体积
1
V 柱体=Sh
3（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）. 1V 锥体=Sh
3（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.
3、回归直线方程
n
⎧
(x i -)(y i -)∑⎪
⎪b =i =1n =
2⎨x i -)(∑⎪i =1
⎪ y =a +bx ，其中⎩a =-∑x y -nx y
i i
i =1
n
n
∑x
i =1
2
i
-2
.
§极 限
1、几个常用极限
111n lim =lim =0lim a =0lim x =x x →x 00x x 0.
（1）n →∞n ，n →∞（|a |
1、几种常见函数的导数 (1) C '=0（C 为常数）. (2)
x
(x n ) ' =nx n -1(n ∈Q )
.
'(3) (sinx ) =cos x .
'(4) (cosx ) =-sin x .
11e
(loga x ) '=log a
x ；x (5) .
x x x 'x '(6) (e ) =e ; (a ) =a ln a .
(lnx ) '=
2、导数的运算法则
' ' ' (u ±v ) =u ±v （1）. ' ' ' (uv ) =u v +uv （2）.
u ' u ' v -uv ' () =(v ≠0) 2
v （3）v .
3、复合函数的求导法则
u x ' =ϕ' (x ) u =ϕ(x ) x 设函数在点处有导数，函数y =f (u ) 在点x 处的对应点U 处有导数
y u ' =f ' (u )
' ' ' y x =y u ⋅u x y =f (ϕ(x )) x ，则复合函数在点处有导数，且，或写作
' ' '
f x (ϕ(x )) =f (u ) ϕ(x )
.
§复 数
|z ||a +
bi |z =a +bi 1、复数的模（或绝对值）=2、复数的四则运算法则
(1)(a +bi ) +(c +di ) =(a +c ) +(b +d ) i ; (2)(a +bi ) -(c +di ) =(a -c ) +(b -d ) i ; (3)(a +bi )(c +di ) =(ac -bd ) +(bc +ad ) i ;
(a +bi ) ÷(c +di ) =
z 1⋅z 2=z 2⋅z 1
(4)
3、复数的乘法的运算律 交换律:结合律:
.
ac +bd bc -ad
+i (c +di ≠0)
c 2+d 2c 2+d 2.
(z 1⋅z 2) ⋅z 3=z 1⋅(z 2⋅z 3)
.
231213 . 分配律:1
4、复平面上的两点间的距离公式
z ⋅(z +z ) =z ⋅z +z ⋅z
d =|z 1-z 2|=5、向量的垂直
（
z 1=x 1+y 1i
，
z 2=x 2+y 2i
）.
z =a +bi z 2=c +di OZ 1，OZ 2，则OZ 1⊥OZ 2⇔z 1⋅z 2
非零复数1，对应的向量分别是
z 2
222
|z +z |=|z |+|z |z 1212⇔⇔1为纯虚数的实部为零
222
⇔|z 1-z 2|=|z 1|+|z 2|⇔|z 1+z 2|=|z 1-z 2|⇔ac +bd =0⇔z 1=λiz 2 (λ为非
零实数).
6、实系数一元二次方程的解
2
实系数一元二次方程ax +bx +c =0，
x 1,2=2
①若∆=b -4ac >0,
则; b
x =x =-122
2a ; ②若∆=b -4ac =0, 则
2
③若∆=b -4ac
2x =b -4ac
根.