第8章 滞后变量模型
8.1 滞后变量模型的基本概念
8.1.1 滞后现象与产生滞后现象的原因
因变量受其自身或其他经济变量前期水平影响的经济现象，称之为滞后现象（或滞后效应）。产生滞后现象的原因主要有以下几个方面：
1．经济变量自身的原因：有些经济变量的发展变化有很强的继往性，当期水平与前期水平有极为密切的关系。
2．决策者心理上的原因 3．技术上的原因 4．制度的原因
8.1.2 滞后变量与滞后变量模型
所谓滞后变量(lagged variable)，是指过去时期的、对当前因变量产生影响的变量。滞后变量可分为滞后解释变量与滞后因变量两类。把滞后变量（滞后解释变量与滞后因变量）引入回归模型，这种回归模型称为滞后变量模型。含有滞后解释变量的模型，又称为动态模型。
滞后变量模型的一般形式为
y t =a +b 0x t +b 1x t -1+ +b k x t -k +γ1y t -1+γ2y t -2+ +γp y t -p +u t (8.1.1)
其中，k,p 分别为滞后解释变量和滞后因变量的滞后期长度。y t -p 为被解释变量y 的第q 阶滞后，x t -k 为解释变量x 的第k 阶滞后。若滞后期长度为有限，称模型为有限滞后变量模型；若滞后期长度为无限，称模型为无限滞后变量模型。由于模型既含有y 对自身滞后变量的回归，还包括解释变量x 分布在不同时期的滞后变量，因此，一般称为自回归分布滞后模型（autoregessive distributed lag model，ADL ）。 1．分布滞后模型
如果滞后变量模型中没有滞后因变量，因变量受解释变量的影响分布在解释变量不同时期的滞后值上，即模型形如
y t =a +b 0x t +b 1x t -1+ +b k x t -k +u t (8.1.2) y t =a +b 0x t +b 1x t -1+ +b k x t -k + +u t (8.1.2)
*
具有这种滞后分布结构的模型称为分布滞后模型(distributed lag model)。
在分布滞后模型中，各系数体现了解释变量的各个滞后值对因变量的不同影响程度。 b 0称为短期影响乘数(或即期乘数、短期乘数、短期效果) ，表示本期解释变量x 变动一个单位对被解释变量y 值产生的影响，即短期影响。
b i 称为延期过渡性乘数（或中期乘数、动态乘数）(i =1，2，„，k ，„) ，表示解释变量在各滞后期变动一个单位对y 值的影响大小，即x 的滞后影响。
∑b i 称为长期影响乘数（或长期乘数、总分布乘数、长期效果），表示x 变动一个单位
时，由于滞后效应而形成的对y 值总的影响大小。
ˆ=1500. 8+0. 6y +0. 3y +0. 1y ，则本期收入对本期消例如，设有消费模型： C t t t -1t -2
费的影响为0.6；上期收入对本期消费的影响为0.3；上上期收入对本期消费的影响为0.1。 2．自回归模型
如果滞后变量模型的解释变量仅包括自变量x 的当期值和因变量的若干期滞后值，即模型形如
y t =a +b 0x t +γ1y t -1+γ2y t -2+ +γp y t -p +u t (8.1.3)
则称这类模型为自回归模型，其中p 称为自回归模型的次数。而y t =a +b 0x t +γ1y t -1+u t 为一阶自回归模型。 例8.1.1 消费滞后
消费者的消费水平，不仅依赖于当年的收入，还同以前的消费水平有关。其消费模型可以表示为
C t =a +b 0y t +b 1C t -1+u t
其中，C t 、y t 分别为第t 年的消费和收入，a 为常数，b 0为边际消费倾向，表示本期收入
每增加一单位时，本期消费将增加b 0个单位；b 1表示上期消费对本期消费的影响，即上期消费每增加一单位时，本期消费将增加b 1个单位。 例8.1.2 通货膨胀滞后
通货膨胀与货币供应量的变化有着较密切的联系。可用如下k 阶分布滞后模型
P t =a +b 0M t +b 1M
t -1
+ +b k M
t -k
+u t
其中，P t , M t 分别为第t 季度的物价指数和广义货币的增长率。
8.1.3 滞后变量模型的作用
1．滞后变量模型可以更加全面、客观地描述经济现象，提高模型的拟合优度。 2．滞后变量模型可以反映过去的经济活动对现期经济行为的影响(或者说现期经济行为对将来的影响) ，从而描述了经济系统的运动过程，使模型成为动态模型。 3．可以用滞后变量模型来模拟分析经济系统的变化和调整过程。
8.2 有限分布滞后模型及其估计
8.2.1 有限分布滞后模型估计的困难
1．损失自由度问题。 2．产生多重共线性问题。 3．滞后长度难于确定的问题。
8.2.2 有限分布滞后模型的估计方法
1．经验加权估计法
所谓经验加权法，是根据实际经济问题的特点及经验判断，对滞后变量赋予一定的权数，利用这些权数构成各滞后变量的线性组合，以形成新的变量，再应用最小二乘法进行估计。这种方法的基本思路是设法减少模型中被估计的参数个数，消除或削弱多重共线性问题。权数的不同分布决定了模型滞后结构的不同类型，常见的滞后结构类型有
(1)递减滞后结构。这类滞后结构假定权数是递减的，认为滞后解释变量对因变量的影响随着时间的推移越来越小，其作用由大变小，即遵循远小近大的原则(如图8.2.1(a))。
k
例如，z t =
∑w
i =0
i
x t -i ，式中w 0≥w 1≥w 2≥ ≥w k
例如，假设某经济变量服从一个滞后3期的分布滞后模型：
y t =a +b 0x t +b 1x t -1+b 2x t -2+b 3x t -3+u t
如果根据经验判断滞后解释变量对因变量的影响递减，权数取某种形式，比如为
1111, , , 2468
则新的线性组合变量为
z t =
12x t +
14x t -1+
16x t -2+
18x t -3
原模型就变为经验加权模型： y t =a +bz t +u t
(2)不变滞后结构。这类滞后结构假定权数不变，即认为滞后解释变量对因变量的影响不随时间而变化(如图8.2.1(b))，其作用保持不变，称为不变滞后结构。
例如，z t =
1k +1
x t +
1k +1
x t -1+ +
1k +1
x t -k
(3)A型滞后结构。即两头小中间大，权数先递增后递减呈A 型(如图8.2.1(c)。这类滞后结构适合于前后期滞后解释变量对因变量的影响不大，而中期滞后解释变量对因变量的影响较大的分布滞后模型。 w
o
(a)
t
o
(b)
图8.2.1 常见的滞后结构类型
例8.2.1 已知某地区制造业部门1955-1974年期间的资本存量y
和销售额x 的统计资料如表8.2.1(单位：百万元) 。
表8.2.1 某地区制造业部门资本存量和销售额资料
t
o
(c)
t
w
w
设定有限分布滞后模型为
y t =a +b 0x t +b 1x t -1+b 2x t -2+b 3x t -3+u t
运用经验加权法，选择下列三组权数：递减滞后、A 型滞后、不变滞后
①1,
[1**********], , ；②, , , ；③, , , [1**********]
分别估计上述模型，并从中选择最佳的方程。
记新的线性组合变量分别为:
z 1t =x t +z 2t =z 3t =
1414
12x t -1+
14x t -2+
18x t -3 1414x t -3 x t -3
x t +x t +
1214
x t -1+x t -1+
2314
x t -2+x t -2+
分别估计如下经验加权模型: y t =a +bz kt +u t
具体步骤为
(k =1, 2, 3)
(1)打开EViews ，输入x 和y 的数据，然后根据x 的数据，生成线性组合变量z 1, z 2, z 3的数据。
(2)回归分析。进入Equation Specification对话栏，键入y c z1；在Estimations 栏中选择Least Squares(最小二乘法) ，点击OK ，屏幕显示第一个经验加权模型的回归分析结果见表8.2.2。
表8.2.2 回归结果
用z2、z3替换z1，重复前面回归过程，可得另外两个经验加权模型的回归分析结果。将上述回归分析结果整理如下:
ˆt =-66. 52295+1. 071395z 1t 模型一： y
t = (-3.662182) (50.96149)
2
R =0.99457 DW =1.43944 F =2597.074
n =17, α=0. 05, d L =1. 133, d U =1. 381
ˆt =-133. 1723+1. 36672z 2t 模型二： y
t = (-5.0927) (37.3703)
R =0.9884 DW=1.0427 F=1396
ˆt =-127. 7394+2. 2397z 3t 模型三： y
2
t = (-4.8131) (38.6858)
R =0.9901 DW=1.1585 F =1496
2
从上述回归分析结果可以看出，模型一的随机误差项无一阶自相关，模型二的随机误差项存
在一阶正自相关，模型三无法判断是否存在一阶自相关。综合判断决定系数R 2、F 检验值、
t 检验值，可以认为最佳的方程是模型一，即权数为(1，1／2，1／4，1／8) 的分布滞后模
型。即
ˆt =-66. 52295+1. 071395(x t +y
12x t -1+
14x t -2+
18x t -3)
ˆt =-66. 52295+1. 071395x t +0. 5357x t -1+0. 2870x t -2+0. 1339x t -3 y
2．阿尔蒙(Almon)法
其基本原理是，如果有限分布滞后模型
y t =a +b 0x t +b 1x t -1+ +b k x t -k +u t (8.2.1)
中的参数b i (i =0, 1, 2, k ) 的分布可以近似地用一个关于i 的低阶多项式表示，就可以利用多项式减少模型中的参数。
在以滞后期i 为横轴、滞后系数取值为纵轴的坐标系中，如果这些滞后系数落在一条光滑曲线上，或近似落在一条光滑曲线上，则可以用一个关于i 的次数较低的m 次多项式逼近，即
b i =α0+α1i +α2i + αm i (m
2
m
此式称为阿尔蒙多项式变换(图8.2.2) 。如果式(8.2.1)的滞后系数满足式(8.2.2)，则称为有限多项式分布滞后模型，也称为阿尔蒙滞后模型。
o
图8.2.2 阿尔蒙多项式变换
将阿尔蒙多项式变换具体列出来就是:
b i
i
b 0=α0+α10+α20+ αm 0 b 1=α0+α11+α21+ αm 1 b 2=α0+α12+α22+ αm 2
2
m
2
m
2m
„„„„
b k =α0+α1k +α2k
2
+ αm k
m
代入式(8.2.1)并整理各项，模型变为如下形式:
y t =a +α0(x t +x t -1+x t -2+ x t -k ) +α1(x t -1+2x t -2+3x t -3+ kx t -k ) +
α2(x t -1+2x t -2+3x t -3+ k x t -k ) +„+αm (x t -1+2x t -2+3x t -3+ k x t -k )
222m m m
即：
y t =a +α0z 0t +α1z 1t +α2z 2t + +αm z mt +u t (8.2.3)
其中：
z 0t =x t +x t -1+x t -2+ x t -k z 1t =x t -1+2x t -2+3x t -3+ kx t -k z 2t =x t -1+2x t -2+3x t -3+ k x t -k
2
2
2
„„„„
z mt =x t -1+2x t -2+3x t -3+ k x t -k
m
m
m
为滞后变量的线性组合变量。因为m 〈k ，所以模型(8.2.3)待估参数的个数小于原模型(8.2.1)。
对于模型(8.2.3)，在随机误差项u t 满足古典假定的条件下，可用最小二乘法估计参数
ˆ0, αˆ1, αˆm ，ˆ, αa 然后将估计结果代入（8.2.2），就可求出原分布滞后模型参数b 0, b 1, b 2
的估计值。
多项式次数可以依据经济理论和实际经验加以确定。例如滞后结构为递减型和常数型时选择一次多项式；倒v 型时选择二次多项式；有两个转向点时选择三次多项式等等。
如果主
观判断不易确定时，可以先初步确定一个m 次多项式。
滞后期长度可以根据经济理论或实际经验加以确定，也可以通过一些统计检验获取信息。常用的统计检验有
①相关系数。利用被解释变量y 与解释变量x 及各期滞后值之间的相关系数，可以大致判断滞后期长度。
②调整的判定系数R 2。其检验思想是：在模型中逐期添加滞后变量、扩大滞后期的长度，直到模型的拟合优度不再明显提高时为止；
③施瓦兹准则SC (Schwarz Criterion)。计算公式为:
SC =ln(
RSS n ) +
k +2n
ln(n )
其中RSS 是残差平方和，k 为滞后期长度，（k +2）为模型中的参数个数，n 为样本容量。检验过程是：在模型中逐期添加滞后变量，直到SC 值不再降低时为止，即选择使SC 值达到最小的滞后期k 。。
利用EViews 软件可以直接得到上述各项检验结果。 阿尔蒙估计的EViews 软件实现过程：
在EViews 软件的LS 命令中使用有限多项式分布滞后命令PDL 项Almon 方法估计分布滞后模型。其命令格式为
LS y c PDL（x,k,m,d ）
其中，k 为滞后期长度，m 为多项式次数，d 是对分布滞后特征进行控制的参数，可供选择的参数值有
1——强制在分布的近期(即b 0) 趋近于0； 2——制在分布的远期(即b k ) 趋近于0； 3——强制在分布的两端(即b 0和b k ) 趋近于0； 一般取 0——参数分布不作任何限制。 在LS 命令中使用PDL 项，应注意以下几点：
①在解释变量x 之后必须指定k 和m 的值，d 为可选项指定时取默认值0；
②如果模型中有多个具有滞后效应的解释变量，则分别用几个PDL 项表示。例如
LS y c PDL(x1，4，2) PDL(x2，3，2，2)
③在估计分布滞后模型之前，最好使用互相关分析命令CROSS ，初步判断滞后期的长度
k 。命令格式为: CROSS y x
或在数组窗口点击View\Cross Correlation，输入滞后期k 之后，系统将输出y t 与
x t , x t -1, x t -k 各期相关系数。也可以在PDL 项中逐步加大k 的值，再利用R 2和SC 判断较
为合适的滞后期长度k 。
例8.2.2 表8.2.3给出了某行业1975-1994年的库存额y 和销售额x 的资料。试利用分布滞后模型建立库存函数。
表8.2.3 某行业1975-1994年的库存额和销售额资料
首先使用互相关分析命令cross ，初步判断滞后期的长度。在命令窗口键入：cross y
x ，输出结果见图8.2.3。
图8.2.3 y 与x 各期滞后值的相关系数
从图8.2.3中y 与x 各期滞后值的相关系数可知，库存额与当年和前三年的销售额相关，因此，可设如下有限分布滞后模型：
y t =a +b 0x t +b 1x t -1+b 2x t -2+b 3x t -3+u t
m 〈k =3，取m =2，假定系数b i 可用二次多项式b i =α0+α1i +α2i 2近似表示，即:
b 0=α0 b 1=α0+α1+α2 b 2=α0+2α1+4α2 b 3=α0+3α1+9α2
则原模型可变为
y t =a +α0z 0t +α1z 1t +α2z 2t +u t
其中
z 0t =x t +x t -1+x t -2+x t -3 z 1t =x t -1+2x t -2+3x t -3 z 2t =x t -1+4x t -2+9x t -3
在EViews 中输入x 和y 的数据，然后在命令窗口生成新数据序列的Genr 命令，依次键入生成z0、zl 、z2的公式：
GENR z0=x +x (-1)+x (-2)+x (-3)
GENR z1=x (-1)+2*x (-2)+3*x (-3) GENR z2=x (-1)+4*x (-2)+9*x (-3)
打开Equation Specification对话栏，键入回归方程形式：
y c z0 zl z2
点击OK ，屏幕显示回归估计结果(表8.2.4) ：
表8.2.4 回归结果
因此有
ˆt =-6. 419601+0. 630281z 0t +0. 98741z 1t -0. 460829z 2t y
t = (-3.013675) (3.517969) (1.879682) (-2.543216)
R =0. 99623, R
2
2
=0. 99536, DW =1. 5132, F =1145. 16
ˆ0、αˆ、αˆ1、此回归方程可表中c 、z0、z1、z2对应的系数分别为a 、α0、α1、α2的估计值a
ˆ2 α
ˆ0=0. 630281, αˆ1=0. 987410, αˆ2=-0. 460829 ˆ=-6. 419601, αa
ˆ, b ˆ, b ˆ, b ˆ的估计值为 将它们代入分布滞后系数的阿尔蒙多项式中，可算出b 0123
ˆ=αˆ0=0.630281 b 0
ˆ=αˆ0+αˆ1+αˆ2=0.630281+0.987410+(-0.460829)=1.15686 b 1
ˆ=αˆ0+2αˆ1+4αˆ2=0.630281+2×0.987410+4×(-0.460829)=0.76178 b 2ˆ=αˆ0+3αˆ1+9αˆ2=0.630281+3×0.987410+9×(-0.460829)=-0.55495 b 3
从而分布滞后模型的最终估计式为
ˆt =-6. 419601+0. 63208x t +1. 15686x t -1+0. 76178x t -2-0. 55495x t -3 y
在实际应用中，EViews 提供了多项式分布滞后指令“PDL ”用于估计分布滞后模型。 就本例而言，在EViews 中输入y 和x 的数据后，在命令窗口键入：
LS y c PDL(x，3，2)
屏幕显示回归分析结果(表8.2.5) 。
表8.2.5 回归结果
需要指出的是，用“PDL ”估计分布滞后模型时，EViews 所采用的滞后系数多项式变换不是形如式(8.2.2)的阿尔蒙多项式，而是阿尔蒙多项式的派生形式：ˆ=α+(i -1) α+(i -1) 2α, 但这并不影响估计系数的最终结果。 b i 012
估计结果如下：
ˆt =-6. 419601+0. 63208x t +1. 15686x t -1+0. 76178x t -2-0. 55495x t -3 y
s = (0.17916) (0.19593) (0.17820) (0.25562) t = (3.51797) (5.90452) (4.27495) (-2.17104)
8.3 几何分布滞后模型
8.3.1 几何分布滞后模型（Koyck 模型）
对于无限分布滞后模型:
y t =a +b 0x t +b 1x t -1+ +u t (8.3.1)
如果其滞后变量的系数b i 是按几何级数列衰减的，即
b i =b 0λ （0〈λ〈1, i =1,2, „） (8.3.2)
i
其中b 0为常数，公比λ为待估参数。λ值的大小决定了滞后衰减的速度，λ值越接近零，衰减速度越快，通常称λ为分布滞后衰减率，称1-λ为调整速度。模型(8.3.1) 称为几何分布滞后模型（也称Koyck 模型）。
几何分布滞后模型的基本假定是：随着滞后期的增加，滞后变量对被解释变量的影响会越来越小。
将式（8.3.2）代入式（8.3.1），得:
y t =a +b 0x t +b 0λx t -1+b 0λx t -2 +u t
2
=a +b 0(x t +λx t -1+λx t -2+ ) +u t (8.3.3)
2
∞
其中：b 0称为短期影响乘数，b i =b 0λ(i =1, 2, ) 称为过渡性影响乘数，∑b 0λi =
i =0
i
b 01-λ
称为长期影响乘数。
将式(8.3.3)滞后一期，有
y t -1=a +b 0(x t -1+λx t -2+λx t -3+ ) +u t -1 (8.3.4)
2
对式（8.3.4）两边同乘λ并与式（8.3.3）相减，得:
y t -λy t -1=a (1-λ) +b 0x t +(u t -λu t -1)
即
y t =a (1-λ) +b 0x t +λy t -1+u t (8.3.5)
*
其中，u t *=u t -λu t -1，式(8.3.5)就是库伊克模型, 上述变换过程也叫库伊克变换，原几何分布滞后模型变成一阶自回归模型。库伊克模型的突出优点是可以把无限分布滞后模型变换为仅包含少数几个参数的自回归模型。
库伊克模型的特点：(1)模型中的λ称为分布滞后衰退率。λ越小，衰退速度就越快；(2)模型的长期影响乘数为b 0⋅
11-λ
；(3)模型仅包含和两个解释变量x t 、y t -1，有效地避
免了分布滞后模型的多重共线性问题；(4)模型仅有a 、b 0、λ三个参数需要估计，有效地解决了无限分布滞后模型由于包含无限个参数无法估计的问题。
8.3.2 以经济理论为基础的几何分布滞后模型
1. 自适应预期模型(Adaptive Expectation)
影响被解释变量的因素不是解释变量现值x t 而是x t +1的预期x t +1（解释变量的预期值影响着被解释变量的现值），即包含一个预期解释变量的“期望模型”具有如下形式：
y t =a +bx t +1+u t (8.3.6)
*
*
其中，y t 为因变量，x t +1为解释变量预期值，u t 为随机误差项。
自适应预期假定认为，经济活动主体会根据自己过去在作预期时所犯错误的程度，来修正他们以后每一时期的预期，即按照过去预测偏差的某一比例对预期进行修正，使其适应新的经济环境。用数学式子表示就是
x t +1=x t +γ(x t -x t ) (8.3.7)
*
*
*
*
式(8.3.7)称为自适应预期假设，其中参数γ为预期系数，或调节系数，也称为适应系数，
*
0
式(8.3.7)可以写成
x t +1-x t =γ(x t -x t ) (8.3.8)
***
式(8.3.8)的含义是：预期的形成是一种预期误差不断调整的过程，预期误差乘以系数γ就是两个时期预期的改变量。如果预期值偏高，即(x t -x t *)
自适应预期假设(8.3.8)也可以表示成：
x t +1=γx t +(1-γ) x t (8.3.9)
*
*
即新一期的预期值x t *+1是t 期实际值与预期值的加权平均。
将式(8.3.9)代入方程(8.3.6)，并整理得
y t =a +γbx t +(1-γ) bx t +u t (8.3.10)
*
将方程(8.3.6)滞后一期并在方程两端同乘以(1-γ) 得
(1-γ) y t -1=(1-γ) a +(1-γ) bx t +(1-γ) u t -1 (8.3.11)
*
将式(8.3.10)减去式(8.3.11)得y t -(1-γ) y t -1=a γ+γbx t +u t -(1-γ) u t -1 整理后得到：
y t =a γ+γbx t +(1-γ) y t -1+u t (8.3.12)
*
其中，u t =u t -(1-γ) u t -1。模型(8.3.12)称为自适应预期模型。可见，自适应预期模型可
*
以转化为一个自回归模型，它与库伊克模型类似。
上述推导过程说明了两个问题：
(1)如果被解释变量y t 主要受某个预期变量x t +1的影响，并且预期变量的变化满足自适应预期假设，则y t 的变化可以用库伊克模型(即几何分布滞后模型) 来描述。
(2)如果模型的解释变量中含有不可观测的预期变量，则在自适应预期假设下，可以将模型转化成只含变量实际值的自回归模型(8.3.12)。从而可以利用实际观测数据估计模型。
需要指出的是自适应预期模型(8.3.6)本身是一个几何分布滞后模型。因为把式(8.3.9)展开有
*
x t +1=γx t +γ(1-γ) x t -1+γ(1-γ) x t -2+ (8.3.13)
*2
即预期的形成实际上是过去观测值累积的结果，但其中越是近期的观测值对预期形成的影响越大，随着滞后期的增大，滞后观测值的作用会越来越小。
将式(8.3.13)代入式(8.3.6)，即可得到无限分布滞后模型
y t =a +b γx t +b γ(1-γ) x t -1+b γ(1-γ) x t -2+ +u t (8.3.14)
2
在式(8.3.14)中，短期影响乘数为b γ；延期过渡影响乘数为b γ(1-γ) i , (i =1, 2, ) ；长期影响乘数为
b γ1-(1-γ)
=b 。
2. 局部调整模型（partial adjustment）
解释变量的现值影响着因变量的预期值，即在时间t ，被解释变量的希望值（合意值）
y t 是同期解释变量的线性函数：
y t =a +bx t +u t (8.3.15)
*
其中，y t 为因变量的预期最佳值，x t 为解释变量的现值。
*
*
局部调整假设认为，因变量的实际变化仅仅是预期变化的一部分，即希望值与实际值之间的关系可以表示为
y t -y t -1=δ(y t -y t -1) (8.3.16)
*
式(8.3.16)称为局部调整假设，其中δ为调整系数（因子），0≤δ≤1，它代表调整速度。
*
上式表示，被解释变量的实际变化是被解释变量的最佳变动y t -y t -1的一部分。若δ=1，
*
则y t =y t ，表明实际变动等于最优变动，调整在当期完全实现。若δ=0，则y t =y t -1，表
明本期值与上期值一样，完全没有调整。大多数情况下是0
y t =δ⋅y t +(1-δ) y t -1 (8.3.17)
*
即因变量实际值是本期预期最佳值与前一期实际值的加权平均数，权数分别为δ和1-δ。把式(8.3.15)代入式(8.3.17)，可得局部调整模型的转化形式：
y t =δ⋅(a +bx t +u t ) +(1-δ) y t -1 (8.3.18)
即
y t =δ⋅a +δbx t +(1-δ) y t -1+δu t (8.3.19)
模型(8.3.19)称为局部调整模型。局部调整模型也是一个几何分布滞后模型。因为把(8.3.19)展开即有
y t =δa +b δx t +b δ(1-δ) x t -1+b δ(1-δ) x t -2+ +u t (8.3.20)
∞
2
由乘数的定义可知，b δ是短期影响乘数，∑b δ(1-δ) i =b δ⋅
i =0
11-(1-δ)
=b 是长期
影响乘数。
局部调整模型在实践中有着广泛的应用。例如，需求函数常常设定为
ln Q t =C 0+C 1ln P t +C 2ln Q t -1+u t
式中，Q 代表需求量，P 代表价格水平。因为在双对数模型中回归系数本身就是弹性，故Q 关于P 的短期弹性和长期弹性分别为C 1和
C 11-C 2
。
库伊克模型、自适应预期模型与局部调整模型的区别：一是导出模型的经济背景与思想不同。二是在这三个模型对应的自回归形式中，由于模型的形成机理不同而导致随机误差项的结构有所不同。
此外，有时需要将局部调整模型与自适应期望模型结合起来对某一经济问题进行研究，即建立局部调整——自适应期望综合模型。考虑如下模型：
y t =a +bx t +u t (8.3.21)
**该模型反映了因变量的预期水平同解释变量预期值的关联性。对y t 作局部调整假设，对x t
*
*
作自适应预期假设，局部调整——自适应期望综合模型可转化为如下形式的二阶自回归模型(读者不妨自己推导) ：
y t =a +b 0x t +b 1y t -1+b 2y t -2+u t (8.3.22)
*
*
*
*
*
8.4 自回归模型的估计
8.4.1 自回归模型估计中的问题
库伊克模型、自适应预期模型与局部调整模型最终都可表示为一阶自回归形式： 库伊克模型： y t =a (1-λ) +b 0x t +λy t -1+u t * 自适应预期模型： y t =a γ+γbx t +(1-γ) y t -1+u t * 局部调整模型： y t =δa +δbx t +(1-δ) y t -1+δu t
上述一阶自回归模型的解释变量中含有滞后因变量y t -1，y t -1是随机变量，它可能与随机误差项相关；而且随机误差项还可能自相关。
我们考察三个模型对应的一阶自回归模型中，随机误差项的特征。
*
库伊克模型随机误差项： u t =u t -λu t -1
*
自适应预期模型随机误差项： u t =u t -(1-γ) u t -1
*
局部调整模型随机误差项： u t =δ⋅u t
假定原模型中随机误差项u t 满足古典假定：
E (u t ) =0,
var(u t ) =σ,
2
cov(u i , u j ) =0
(i ≠j )
(1) 对于库伊克模型，有
cov(u t , u t -1) =E (u t -λu t -1)(u t -1-λu t -2)
=E (u t u t -1) -λE (u t -1) -λE (u t -1u t -2) +λE (u t -1u t -2) =-λE (u t -1) =-λσcov(y t -1, u t ) =cov(y t -1, u t -λu t -1) =cov(y t -1, u t ) -λcov(y t -1, u t -1)
*
2
2
2
2
*
*
≠0
由于：y t =a +b 0x t +b 1x t -1+ +u t ；y t -1=a +b 0x t -1+b 1x t -2+ +u t -1；
cov(y t -1, u t ) =0；cov(y t -1, u t -1) =σ。所以：cov(y t -1, u t ) =-λσ
2
*
2
≠0
(2)同理可证，自适应预期模型也有
cov(u t , u t -1) ≠0；cov(y t -1, u t ) ≠0
*
*
*
(3)对于局部调整模型，有
cov(u t , u t -1) =E [(δu t )(δu t -1)]=δE (u t u t -1) =0； cov(y t -1, u t ) =cov(y t -1, δu t ) =δcov(y t -1, u t ) =0
*
**2
由此可见，上述三个模型对应的一阶自回归形式中，只有局部调整模型满足随机误差项无自相关、与解释变量y t -1不相关的古典假定，从而可使用最小二乘法直接进行估计。库伊克模型与自适应预期模型不满足古典假定，如果用最小二乘法直接进行估计，则估计是有偏的，而且不是一致估计。
8.4.2 工具变量法
所谓工具变量法，就是在进行参数估计的过程中选择适当的替代变量，代替回归模型中同随机误差项存在相关性的解释变量。工具变量的选择应满足如下条件： (1)与随机误差项不相关，这是最基本的要求；
(2)与所代替的解释变量高度相关，这样的工具变量与替代的解释变量才有足够的代表性；
(3)与其他解释变量不相关，以免出现多重共线性。
ˆt -1 可以证明，利用工具变量法所得到的参数估计是一致估计。在实际应用中，一般用y
代替滞后因变量y t -1进行估计，这样，一阶自回归模型就变为如下形式：
***
ˆt -1+u t * (8.4.1) y t =a +b 0x t +b 1y
ˆt -1是y ˆt 的滞后值，是因变量y 对解释变量x 的滞后值的回归：其中y
ˆx +b ˆx + +b ˆx 。 ˆt =a ˆ+b y 0t 1t -1k t -k
步骤如下：
第一步，先对模型y t =a +b 0x t +b 1x t -1+ +b k x t -k +u t 应用OLS 估计，设估计结果为
ˆx +b ˆx + +b ˆx ˆt =a ˆ+b y 0t 1t -1k t -k
滞后一期：
ˆx +b ˆx + +b ˆx ˆt -1=a ˆ+b y 0t -11t -2k t -1-k
ˆt -1作为工具变量代替y t -1，得模型(8.4.1)，再对式(8.4.1)应用OLS 法， 第二步，以y
可得参数估计值。
利用EViews 软件的具体操作步骤为
①利用CROSS 命令确定分布滞后模型的滞后期长度（或在数组窗口点击View\Cross Correlation ）：
CROSS y x
②利用OLS 法估计分布滞后模型(比如设滞后期长度为3) ：
LS y c x(0 to -3)
ˆt =y t -e t ： ③计算z t =y
GENR z=y-RESID
ˆt -1，替代自回归模型中的y t -1，并用广义差法（设存在一阶自相关性）估 ④将z t -1=y
计模型：
LS y c x z(-1) AR(1)
8.4.3 自相关的检验：德宾h 检验
****
对于包含滞后被解释变量的自回归模型：y t =a +b 0x t +b 1y t -1+u t
h 统计量定义为
h =(1-
DW 2)
n ˆ*) 1-n var(b 1
(8.4.2)
ˆ*) 为滞后因变量y 的回归系数的估计方其中，DW 为DW 统计量值，n 为样本容量，Var(b t -11
差。
德宾证明了在随机误差项不存在一阶自相关即在H :ρ=O的假定下，h 统计量的极限分布为标准正态分布:h ~N (0, 1) 。因此在大样本情况下，可以用h 统计量值判断随机误差项是否存在一阶自相关（如果不存在一阶自相关，则可以用OLS 对式(8.4.1)直接进行估计），如果存在自相关，则不能用OLS 法对式(8.4.1)进行估计，需要选择其他方法。具体作法如下：
****
(1)对一阶自回归方程：y t =a +b 0x t +b 1y t -1+u t 直接进行最小二乘估计，得到
ˆ*) 及DW 统计量值。 Var (b 1
ˆ*) 、DW 及样本容量n 代入式（8.4.2）计算h 统计量值。 (2)将Var (b 1
(3)给定显著性水平α（α=0. 05），查标准正态分布表得临界值h α/2（h 0. 025=1. 96），若h 〉h α/2，则拒绝原假设H :ρ=O，说明自回归模型存在一阶自相关；若h 〈h α/2，则接受原假设H :ρ=O ，说明自回归模型不存在一阶自相关。
8.5 案例分析
表8.5.1给出了某地区消费总额y (亿元) 和货币收入总额x (亿元) 的年度资料，试分析消费同收入的关系。
表8.5.1 某地区消费总额和货币收入总额年度资料
1．首先使用互相关分析命令cross ，初步判断滞后期的长度。在命令窗口键入：cross
y x，输出结果见图8.5.1。
图8.5.1 y 与x 各期滞后值的相关系数
从图8.5.1中y 与x 各期滞后值的相关系数可知，消费总额y (亿元) 与当年和前三年的货币收入总额相关，因此，可设如下有限分布滞后模型：
y t =a +b 0x t +b 1x t -1+b 2x t -2+b 3x t -3+u t
2．利用OLS 法估计分布滞后模型(设滞后期长度为3)
LS y c x(0 to -3)
估计结果如表8.5.2。
表8.5.2 回归结果
根据以上回归结果可得
ˆt =-7. 83672+0. 30329x t +0. 267851x t -1+0. 302935x t -2+0. 170085x t -3 y
n =27, α=0. 05, d L =1. 084, d U =1. 753
容易发现上述估计结果存在一阶自相关。
ˆt =y t -e t , 命令窗口输入 3．计算z t =y
GENR z=y-RESID
ˆt -1=-7. 83672+0. 30329x t -1+0. 267851x t -2 4．将z t -1=y
+0. 302935x t -3+0. 170085x t -4
替代自回归模型中的y t -1，用IDENT RESID(偏相关系数检验) 或方程窗口点击View\Residal Test\Correlogram-Q-Statistics，容易发现y 与z (-1)存在二阶自相关，因此，用如下广义差分法估计模型：
LS y c x z(-1) AR(1) AR(2)
估计结果为表8.5.3：
表8.5.3 回归结果
容易验证上述估计回归结果不存在序列相关（n =27, α=0. 05, d L =1. 240, d U =1. 556），最终估计模型为：
ˆt =-15. 04861+0. 218009x t +0. 888013z t -1 y
ˆt -1代入得如下最终结果： 将z t -1=y
ˆt =-22. 007843+0. 218009x t +0. 2693246x t -1+0. 237855x t -2+0. 269010x t -3+0. 151039x t -4y
方法二：如前所述，对分布滞后模型直接进行估计会存在自由度损失和多重共线性等问
题。在此，我们选择库伊克模型进行回归分析，即估计如下模型：
y t =a +b 0x t +b 1y t -1+u t
*
*
*
*
利用表8.5.1所给数据，得如表8.5.4回归结果。
表8.5.4 回归结果
回归结果显示，t 检验值、F 检验值及R 2都显著，但是
DW 2
n ˆ*) 1-n var(b 129
1-29⨯0. 062991
2
h =(1-)
=(1-
1. 215935
2
) =2. 2442
在显著性水平α=0.05上，查标准正态分布表得临界值h α/2=1.96，由于h =2. 2442〉h α/2=1. 96，则拒绝原假设H :ρ=O，说明自回归模型存在一阶自相关，需对
模型作进一步修改。
在局部调整假设和自适应假设下，局部调整——自适应期望综合模型可转化为如下形式的自回归模型
y t =a +b 0x t +b 1y t -1+b 2y t -2+u t
*
*
*
*
*
利用所给数据进行估计，得如表8.5.5回归结果。
表8.5.5 回归结果
回归结果显示，t 检验值、F 检验值及R 2都显著，且:
DW 2
n ˆ) 1-nD (b 1
2. 22828
2
28
1-28⨯0. 121021
2
h =(1-) =(1-) =-0. 78636
在显著性水平α=0.05上，查标准正态分布表得临界值h α/2=1.96，由于h =0. 786〈h α/2=1. 96，则接受原假设H :ρ=O，模型误差项不存在一阶序列相关。最终
的估计模型为
ˆt =-1. 7923+0. 2357x t +1. 2870y t -1-0. 5145y t -2 y
t = （-0.4674） (6.9426) (10.6347) (-4.0819)
2
=0.9983 R =0. 9981 DW =2.2283 F =4766.970 R
2
该模型较好地解释了所考察地区居民消费与收入之间的关系。
思考与练习
1．什么是滞后现象？产生滞后现象的原因主要有哪些？
2．对分布滞后模型进行估计存在哪些困难？实际应用中如何处理这些困难？
3．试述阿尔蒙估计的原理和步骤。
4．简述自适应预期模型的理论基础，并举实例说明。 5．说明自适应预期模型是一个几何分布滞后模型。
6．简述局分调整模型的理论基础，并举实例说明。
7．库伊克模型、自适应模型与局部调整模型有何异同？模型估计会存在哪些困难？如何解决？
8．说明三种自回归模型与几何分布滞后模型的区别。
9．检验一阶自回归模型随机误差项是否存在自相关，为什么用德宾h 检验而不用D-W 检验？
10．考察以下分布滞后模型：
y t =a +b 0x t +b 1x t -1+b 2x t -2+b 3x t -3+b 4x t -4+b 5x t -5+u t
假如用2次有限多项式变换估计这个模型后已知：
ˆt =0. 85+0. 50z 0t +0. 45z 1t -0. 10z 2t y
3
3
t -i
3
t -i
式中，z 0t =
∑x
i =0
，z 1t =
∑ix
i =0
，z 2t =
∑i
i =0
2
x t -i
⑴求原模型中的各参数的估计值；
⑵试估计x 对y 的短期影响乘数、长期影响乘数和各期延期过渡性乘数。 11．考察以下分布滞后模型：
y t =a +b 0x t +b 1x t -1+b 2x t -2+b 3x t -3+u t
假如用2次阶有限多项式变换估计这个模型后已知：
ˆt =0. 5+0. 81z 0t +0. 35z 1t -0. 40z 2t y
3
3
t -i
3
t -i
式中，z 0t =
∑x
i =0
，z 1t =
∑ix
i =0
，z 2t =
∑i
i =0
2
x t -i
⑴求原模型中的各参数的估计值；
⑵试估计x 对y 的短期影响乘数、长期影响乘数和各期延期过渡性乘数。 12．考虑如下回归模型：
ˆt =-3012+0. 1408x t +0. 2360x t -1y
R
2
=0. 727
t = (-6.27) (2.6) (4.26)
其中：y =通货膨胀率；x =生产设备使用率
(1)生产设备使用率对通货膨胀率的短期影响和长期影响分别是多大？
(2)如果你手中无原始数据，并让你估计下列回归模型：
y t =b 1+b 2x t +b 3y t -1+u t
你怎样估计生产设备使用率对通货膨胀率的短期影响和长期影响？
13．对于下列估计的模型：
投资函数：I ˆt =120+0. 6Y t +0. 8Y t -1+0. 4Y t -2+0. 2Y t -3 ˆ=280+0. 58Y +0. 12C 消费函数：C t t t -1
其中，I 为投资、Y 为收入、C 为消费。试分别计算投资、消费的短期影响乘数和长期影响乘数，并解释其经济含义。
14．表1给出了某行业1975-1994年的库存额y 和销售额x 的资料。试利用分布滞后模型：
y t =a +b 0x t +b 1x t -1+b 2x t -2+b 3x t -3+u t
建立库存函数（用2次有限多项式变换估计这个模型）。
表1 某行业1975-1994年库存额和销售额资料
15．表2给出了美国1970-1987年间个人消费支出（C ）与个人可支配收入(I ) 的数据（单位：10亿美元，1982年为基期）
表2 美国1970-1987年个人消费支出与个人可支配收入数据
考虑以下模型：
C t =a 1+a 2I t +u t C t =b 1+b 2I t +b 3C t -1+u t
请回答以下问题：(1)估计以上两模型；(2)估计边际消费倾向(MPC )
16．接上题，如果考虑如下模型：
ln C t =a 1+a 2ln I t +u t ln C t =b 1+b 2ln I t +b 3ln C t -1+u t
请回答以下问题：(1)估计以上两模型；(2)估计个人消费支出对个人可支配收入的弹性系数。
17．表3给出了1970-1991年美国制造业固定厂房设备投资y 与销售额x 的相关数据(单位：亿元) 。
表3 某地区1970-1991年固定资产投资与销售额资料
试就下列模型，按照一定的处理方法估计模型参数，并解释模型的经济意义，检验模型随机误差项的一阶自相关性。
**
(1)设定模型：y t =a +bx t +u t （其中y t 代表理想的或长期的新建厂房设备开支），
运用局部调整假定。
*b
(2)如果模型设定为y t =ax t e ，请用局部调整模型进行估计，同（1）中的结果相比，
u t
你会选择哪个模型？
**
(3)设定模型：y t =a +bx t +u t （其中x t 代表理想的销售量），运用自适应预期假定。
与（1）中的结果相比，你认为哪个模型更适当一些？
(4)运用阿尔蒙多项式变换法，试用4期滞后和2次多项式估计分布滞后模型
y t =a +b 0x t +b 1x t -1+b 2x t -2+b 3x t -3+b 4x t -4+u t