高中物理巧学妙解王 第一章 高频热点剖析
五、竖直平面内的圆周运动
竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型. 一、两种模型 模型1：“轻绳类”
绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳类) ，即只能沿某一
个方向给物体力的图1 图
2 作用，如图1、图2
所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：
(1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道) 对小球没
有力的作用，v 0=(2)
小球能通过最高点的条件：v ≥
当v >绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力. (3)
小球不能过最高点的条件：v
有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”， 如图4所示，) ： (1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度v 0=0
(2)小球过最高点时，轻
图3 图
4 杆对小球的弹力情况：
①当v =0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N ，其大小等于小球的重力，即N =mg ；
v 2v 2
②当0
R R
轻杆对小球的支持力N 竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg >N >0．
【例1】如图5所示，质量为m 的小球从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运
图
5 动，问A 点的高度h 至少
应为多少?
【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条
件，即小球在最高点的临界速度是v 临界=，根据12
机械能守恒定律得mgh =mg ⋅2R +mv 临界
25
把v 临界=代入上式得：h min =R ．
2
【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电q 、质量为m 且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A 点的高度h 至少应为多少?
【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道的最高点B 受到三个力作用:电场力F =qE ，方向竖直向上；重力mg ；弹力N ，方向竖直向下．由向心力公式，有
2
v B
mg +N -qE =m
R
要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，说明小球此时处于临
界状态，其速率v B 为图6
临界速度，临界条件
是N =0．由此可列出小球的临界状态方程为m g -q E =
2
v B
① R
③当v =N =0；
v 2v 2
④当v >mg +N =m ，即N =m -mg ，
R R
12
根据动能定理，有(mg -qE ) ⋅(h -2R ) =mv B ②
2
5
解之得：h min =R
2
2v B
说明 把②式中的mg -qE 换成m ，较容易求出
R
5h min =R
2
杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意 杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零.
小结 如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度v
≠应根据具体情况具体分析) ．另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的g 换成g 月，若在其他天体上则把g 换成g 天体. 二、两种模型的应用
【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电q 、质量为m 且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A 点的高度h 至少应为多少?
【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率v
B 为