选修4-5中的著名不等式
熊明军
新课程改革推出了知识模块，把高等数学中一些领域的知识进行了简化，下放到高中。选修4-5中给出了许多著名不等式的特例，下面对课本上的这些不等式及其一般形式做一下介绍。
绝对值的三角不等式（P ）：
17
定理：若a , b 为实数，则a -b ≤a +b ≤a +b ，当且仅当ab ≥0时，等号成立。 绝对值的三角不等式一般形式：
n
n
i
a 1+a 2+ +a n ≤a 1+a 2+ +a n ，简记为
∑a
i =1
≤
∑
i =1
a i 。
柯西不等式（P -P ）
31
32
定理：（向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则β≥α⋅β。
当α及β为非零向量时，等号成立⇔α及β共线⇔存在实数λ≠0，使α=λβ。 当α或β为零向量时，规定零向量与任何向量平行，即当α⋅β=0时，上式依然成立。 定理：（代数形式）设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则(a +a
21
22
)(b
2
1
+b 2)≥(a 1b 1+a 2b 2)，
2
2
当且仅当a 1b 2=a 2b 1时，等号成立。 柯西不等式的一般形式（P ）
34
，a ；b ，b ， ，b 为实数，则 定理：设a ，a ，
1
2
n
1
2
n
(a
当且仅当
21
+a 2+ +a n )(b 1+b 2+ +b n
2
2
2
2
2
1
2
)
12
≥a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n ，
a 1b 1
=
a 2b 2
= =
a n b n
时，等号成立（当某b =0时，认为a =0, j =1, 2, ）。
j
j
闵可夫斯基不等式（P ）
33
定理：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则a +a +
2
2
1
2b 1+b 2≥
22
(a
1
+b 1)+(a 2+b 2)，
2
2
当且仅当存在非负实数μ，λ（不同时为0），使μa 1=λb 1，μa 2=λb 2时，等号成立。 闵可夫斯基不等式的一般形式：
，a ；b ，b ， ，b 是两组正数，k >0, k ≠1，则 定理：设a ，a ，
1
2
n
1
2
n
1
n
k
n
1k
n
1k
n
1
k
k ⎤k ⎤⎡⎛⎡⎛k ⎫k ⎫
≤ ∑b i ⎪(k >1)或∑(a i +b i )≥ ∑b i ⎪(0
当且仅当
a 1b 1
=
a 2b 2
= =
a n b n
时，等号成立。
排序不等式（P ）
39
定理：设a ≤a ≤ ≤a ；b ≤b ≤ ≤b 为两组实数c ，c ， ，c 为b ，b ， ，b
1
2
n
1
2
n
1
2
n
1
2
n
的任一排列，则有a b +a b
1
n
2
n -1
+ +a n b 1≤c 1b 1+c 2b 2+ +c n b n ≤a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n 。
当且仅当a =a = =a 或b =b = =b 时，等号成立。
1
2
n
1
2
n
排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和。 切比晓夫不等式（P 41）：
，a ；b ，b ， ，b 为任意两组实数， 定理：设a ，a ，
1
2
n
1
2
n
①如果a ≤a ≤ ≤a ；b ≤b ≤ ≤b 或a ≥a ≥ ≥a ；b ≥b ≥ ≥b ，则有
1
2
n
1
2
n
1
2
n
1
2
n
a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n
n
⎛a +a 2+ +a n ⎫⎛b 1+b 2+ +b n ⎫
≥ 1⎪ ⎪
n n ⎝⎭⎝⎭
②如果a ≤a ≤ ≤a ；b ≥b ≥ ≥b 或a ≥a ≥ ≥a ；b ≤b ≤ ≤b ，则有
1
2
n
1
2
n
1
2
n
1
2
n
a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n
n
⎛a +a 2+ +a n ⎫⎛b 1+b 2+ +b n ⎫
≤ 1⎪ ⎪
n n ⎝⎭⎝⎭
①②两式，当且仅当a =a = =a 或b =b = =b 时，等号成立。
1
2
n
1
2
n
平均值不等式（P ）
43
，a 为n 个正数，则定理：设a ，a ，
1
2
n
a 1+a 2+ +a n
n
≥
n
a 1a 2 a n ，当且仅当
a 1=a 2= =a n 时，等号成立。
当n =2时，
a +b 2
≥ab ，当且仅当a =b 时，等号成立。
加权平均不等式（P ）
48
，a 为正数，p ，p ， ，p 都是正有理数，定理：设a ，a ，并且p +p + +p =1，
1
2
n
1
2
n
1
2
n
那么p a +p a + +p a ≥a a
1
1
2
2
n
n
1
p
1
p 2
2
a n
p n
。
杨格不等式（P ）：
49
11定理：设p , q 为有理数，满足条件1
p q
a
p
轭指标），a , b 为正数，则
p
-1
+
b
q
q
≥ab 。
22
⎛1⎫a +b
当p =2时，此时的杨格不等式就是熟知的基本不等式 ≥ab 。q = 1-p ⎪⎪=2，2⎝⎭
贝努利不等式（P ）：
72
定理：设x >-1，且x ≠0，n 为大于1的自然数，则(1+x )>1+nx 。
n
贝努利不等式的一般形式：
（1）设x 1>-1, i =1, 2, , n , n ≥2，且同号，则(1+x )(1+x ) (1+x )>1+x +x + +x ；
1
2
n
1
2
n
（2）设x >-1，则①当01或a
a
(1+x )
a
≥1+ax ，①②当且仅当x =0时等号，成立。