2015届毕业论文
股票组合投资的风险与收益及其MATLAB的
实现
院 、 部： 计算机与信息科学学院
学生姓名：
指导教师： 桂友武 职称 副教授
专 业： 信息与计算科学
班 级： 信本1102
完成时间： 2015-6
摘 要
随着经济的发展，越来越多的投资者开始将闲置资金投入股票市场，如何科学地在可接受的风险水平下获取收益成为投资者迫切需要解决的问题，由于中小投资者资金投入有限，将有限的投资额有效地分配到不同的股票以降低风险显得尤为重要。俗语中有句话讲到，鸡蛋不能放在一个篮子里，这句话的内涵就是投资组合。对于投资者而言，股票投资作为一种增加收益的方法也存在着一定的风险，因此如何合理的利用股票投资组合方案来降低投资中面临的风险是十分有必要的。
本文是探索给予一定量资本情况下，要使收入达到一定比例，如何获得最优组合的投资方法。本文以马科维茨投资组合理论为主结合动态规划内容，当投资者要求满足投资组合的风险降到最低，同时就需要用关联关系的达到最小，因此可以采用二次规划和动态规划来解决问题，并确定使用MATLAB的编程求解。
关键词： 股票投资组合；投资组合的风险收益
ABSTRACT
In today's market has become increasingly fierce competition, many investors in explore a new way to reduce the management risk, seek a more stable income.With he constant improvement of stock trading development in China, the concept of the nvestors are engaged in stock investment show mature gradually, and the combination of stock investment in the stock market investment as a kind of effective method.Many countries in Europe and in stock investment market is now the important one seat and have a very broad application.Although at present the development of Chinese stock market is not very perfect, but those classic foreign stock portfolio theory and investment strategy can give a lot of reference, so that a series of problems we need to come up with a more practical method to solve, can provide a more powerful investors in the stock investment of our country's help.
Study given to the model and capital, to meet a certain percentage of their income, make the risk as far as possible the way to the smallest of the optimal portfolio.Use Markowitz put forward the basic framework of portfolio, and reasonable improvement on the original content.According to the concept of Markowitz portfolio, to minimize the portfolio risk, in addition to diversification in different projects, still should choose low correlation coefficient related investment projects, using quadratic programming to solve the problem, and used MATLAB programming model.
Key words Enterprise stock portfolio; Portfolio risk and return
目 录
1 股票相关知识及MATLAB简介......................................... 4
1.1股票的基本概念............................................... 1
1.2股票的基本特征............................................... 1
1.3股票分类..................................................... 1
1.4股票术语..................................................... 2
1.5投资者入市注意事项........................................... 2
1.6 MATLAB简介.................................................. 3
2 组合投资基本介绍.................................................. 4
2.1研究背景..................................................... 4
2.2研究意义..................................................... 5
2.3研究目的..................................................... 5
2.4应用方向..................................................... 6
3 组合投资理论与动态规划介绍........................................ 8
3.1股票投资组合理论............................................. 8
3.2马科维茨理论................................................. 8
3.3均值—方差模型.............................................. 13
3.4马科维茨投资组合风险的计算方法.............................. 15
3.5动态规划方法................................................ 15
4 组合投资的实例与分析............................................. 17
4.1动态规划实例分析............................................ 17
4.2马科维茨理论实例分析........................................ 21
5 评价与总结....................................................... 28
参考文献........................................................... 29
致 谢............................................................. 30
1 股票相关知识及MATLAB简介
1.1 股票的基本概念
股票是一种由股份制有限公司签发的用以证明股东所持股份的凭证，它说明股票的持有人对股份制公司的一部分资源所有权的凭证。由于股票牵扯到经济利益，且可以在市面上流通，所以股票也可以当做一种有价股票。目前我国上市公司的股票可以在上海股票交易所和深圳股票交易所交易。
1.2股票的基本特征
权责性：股票作为产权或股权的凭证，是股份的股票表现，代表股东对发行股票的公司所拥有的一定权责。股东通过参加股东大会，行使投票权来参与公司经营管理，股东可凭其所持股票向公司领取股息、参与分红，并在特定条件下对公司资产具有索偿权，股东以其所持股份为限对公司负责。股东的权益与其所持股票占公司股本的比例成正比。
价格波动性：股票价格受社会诸多因素影响，股价经常处于波动起伏的状态，正是这种波动使投资者有可能实现短期获利的希望。
投资风险性：股票一经买进就不能退还本金，股价的波动就意味着持有者的盈亏变化。上市公司的经营状况直接影响投资者获取收益的多少。一旦公司破产清算，首先受到补偿的不是投资者而是债权人。
流动性：股票虽不可退回本金，但流通股却可以随意转让出售或作为抵押品。 有限清偿责任：投资者承担的责任仅仅限于购买股票的资金，即便是公司破产，投资者也不负清偿债务的责任，不会因此而倾家荡产，最大损失也就是股票形同废纸。
1.3股票分类
股票根据其性质大致分为以下几种：
1．普通股。普通股是指在公司的经营管理和盈利及财产的分配上享有普通权利的股份。
2．优先股。优先股相对于普通股，优先股在利润分红及剩余财产分配的权利方面优先于普通股。
3．后配股。后配股是在利益或利息分红及剩余财产分配时比普通股处于劣势的股票。
4．垃圾股。经营亏损或违规的公司的股票。
5．绩优股。公司经营很好，业绩很好，每股年收益0.5元以上。
6．蓝筹股。股票市场上，那些在其所属行业内占有重要支配性地位、业绩
优良、成交活跃、红利优厚的大公司股票称为蓝筹股。
7．其他股。可以根据投资主体的不同分为国家股、法人股、内部职工股和
社会公众个人股。
1.4股票术语
上证综合指数：上海股票交易所编制的，以上海股票交易所挂牌上市的全部
股票为计算范围，以发行量为权数的加权综合股价指数。
深证综合指数：深圳股票交易所编制的，以深圳股票交易所挂牌上市的全部
股票为计算范围，以发行量为权数的加权综合股价指数。
K线：又称为日本线，起源于日本。K线是一条柱状的线条，由影线和实体
组成。影线在实体上方的部分叫上影线，下方的部分叫下影线。实体分阳线和阴线两种，又称红（阳）线和黑（阴）线。一条K线的记录就是某一种股票一天的价格变动情况。
波浪理论：全称是艾略特波浪理论，是以美国人R.N.Elliott的名字命名的一
种技术分析理论。波浪理论把股价的上下变动和不同时期的持续上涨、下跌看成是波浪的上下起伏。波浪的起伏遵循自然界的规律，股票的价格运动也就遵循波浪起伏的规律。简单地说，上涨是5浪，下跌是3浪。根据数浪来判断股市行情。波浪理论考虑的因素主要是三个方面：
第一， 股价走势所形成的形态；
第二， 股价走势图中各个高点和低点所处的相对位置；
第三，完成某个形态所经历的时间长短。
1.5投资者入市注意事项
投资者初入股市，往往处于懵懵懂懂的状态，操盘投资错漏百出，大多会白
交很多学费，所以，在操盘的时候需要注意如下问题：
1. 勇于面对股市
投资者既然选择投身股市，就应该有勇于面对股市的决心，不要出现害怕等
负面情绪，投资股票无非就是盈与亏的问题，依据自己的指标出现买入点即果断建仓买入，出现卖点时，即毫不犹豫地抛出。
2. 投资勿后悔
股市行情大盘中影响股价的走势有多种因素，常常存在随机性，因此每一次
的操盘投资并不能确保万无一失，但是已经做出自己分析后的投资就不要再感到
后悔，徒增负面情绪影响自己下一步的操作，要把输赢看成是兵家常事，坚决设立止盈点及止损点。
3. 保持正确投资心态
投资要保持正确的心态。恐惧与贪婪是人的天性，也是投资的大忌。对于投
资者来说，克服自身负面心态成为了首要问题。有获利行情就要勇于追涨，畏首畏尾终将被淘汰;同时，在选股方面不贪多，根据资金情况选择有投资价值的个股，出现涨势行情时应量力而为。
4. 善于等待时机
成功的投资者往往能耐得住寂寞，静候良机到来。股市常常存在反复的波段
行情，所以不要心急。投资者难免会有一夜暴富的心理，恨不得自己的股票天天涨停板，于是整天满仓追涨杀跌，然而不知不觉亏损已经过半。此时才恍然大悟，该继续持有的股卖了，该抛的股还在手中，没有等到相应的操作时机，悔之晚矣。
1.6 MATLAB简介
MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及
交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如
C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。 MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。 MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且mathwork也吸收了像Maple等软件的优点,使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C++ ，JAVA的支持。可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。 MATLAB 产品族可以用来进行以下各种工作：数值分析；数值和符号计算；工程与科学绘图；控制系统的设计与仿；数字
图像处理技术；数字信号处理技术；通讯系统设计与仿真；财务与金融工程 MATLAB 的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。
2 组合投资基本介绍
2.1研究背景
随着经济的发展，越来越多的投资者开始将闲置资金投入股票市场，如何科学地在可接受的风险水平下获取收益成为投资者迫切需要解决的问题。由于中小投资者资金投入有限，将有限的投资额有效地分配到不同的股票以降低风险显得尤为重要。许多投资者想要通过投资股票来获取更多的收益，慢慢的股票市场变成很多投资者投资的对象。然而由于中国股票市场发展并未完全成熟，正面对着转型阶段的需要，当前还没有相对稳定的运行规律，因此存在的问题还是比较多。近些年来，中国的股票市场行情难以让人乐观，股票在融资方面的能力变弱，使得投资者的投资风险增强。不过国家解除国有控股公司、国有投资者和上市公司购买流通股的同时，还特别规定了他们在购买股票后的半年内不得将股票出售，此举虽然能在某种程度上限制部分投资者投机取巧的不良投资行为，但是使得投资者在投资股票时的风险加大，还有就是同时带来投资管理方面的一些问题。
股票行情指股票交易所内各只股票的涨幅变化及交易流通情况，而一般而言可以分为牛市与熊市。牛市是预料股市行情看涨，前景乐观的描述语，熊市是预料股市行情看跌，前景悲观的描述语。结合当前我国股市而言，2015年股市内地75%炒股家庭因股市大涨赚了钱，中国3/4的炒股家庭表示在2015年第一季度的股市大涨中赚到了钱。相比之下，在中国股市跌至创纪录低点的2013年下半年，该比例仅为15.8%。在一项由西南财经大学开展的调查，对5000个内地家庭进行了电话采访。调查发现，截至2015年第一季度，中国内地家庭的股市参与率为6.1%。内地正在炒股的多为年轻人，约13%的受访者不到30岁。此外，2013年下半年新开户的内地股民家庭占比约31%，这其中近40%的家庭来自三四线城市。调查显示，老股民家庭的表现好于新股民家庭：在2013年上半年或之前开始炒股的家庭，78.4%表示赚了钱，相比之下，新股民家庭表示赚钱的比例为72.5%。调查还发现，持股越多的家庭，盈利的可能性就越高。在持有4只以上股票的家庭中，声称赚钱的比例接近85%，远高于持有3只以下股票家庭的74.4%。因此在股票市场组合投资非常重要。
在股票的投资的过程中，股票投资的决策因素不但有量化投资的收益和风险还有科学性的评估等。而在西方的很多国家早已将股票投资组合作为一种很有效的投资方法加以了推广，投资组合理论为西方资本主义国家的繁荣昌盛和国家平
稳发展起到了非常重要的作用。有数据表明：西方资本主义国家进入股票投资市场的人差不多达到了7/10左右，另外统计显示大约有33%的投资者都是用这个理论来进行科学的投资。关于股票投资组合的理论有很多很多，当中有马科维茨的均值—方差理论、期权定价理论和套利定价理论等，而本文想要通过运用马科维茨均值—方差理论来分析和解决股票投资组合问题中的风险收益问题。
2.2研究意义
股票投资作为一种增加收益的方法存在着一定的风险，因此如何合理的利用股票投资组合方案来降低投资中面临的风险是十分重要的。而股票投资组合理论在经历了漫长岁月的发展和积累，早已赋予了它十分丰富的内涵。所以股票投资组合理论用作股票投资市场的一种工具为投资者投资时的前期分析提供了极大的帮助。投资者在运用这些理论时往往受到约束，因为他们不能很好的将现实投资方案与理论知识结合起来。因此本文通过将股票投资组合理论的优化，使得股票投资组合能够更加实际和有效的反映出投资者股票投资的过程。
本文重点阐述对马科维茨投资理论模型的运用和着重研究投资者怎么对股票投资方案进行优化的问题。从股票投资的不同角度出发，投资者进军股票投资的势头已经成为必然，而针对不同规模投资者的现状不同和不同的投资需求，就需要做出不同的并且可行的投资方案。另外对于控制股票投资风险的能力依然存在很多的问题，特别是投资者，它不同于其它投资个体，投资规模往往大很多。因此如何得到股票投资组合最优化问题的解决将是一个十分具有探究价值的现实问题。
2.3 研究目的
股票投资管理是资产管理的重要组成部分之一。股票投资组合管理的目标就是实现效用最大化，即使股票投资组合的风险和收益特征能够给投资者带来最大的满足。因此，构建股票投资组合的原因有二：一是为降低股票投资风险；二是为实现股票投资收益最大化。
组合管理是一种区别于个别资产管理的投资管理理念。组合管理理论最早由马柯威茨于1952年系统地提出，他开创了对投资进行整体管理的先河。目前，在西方国家大约有1／3的投资管理者利用数量化方法进行组合管理。构建投资组合并分析其特性是职业投资组合经理的基本活动。在构建投资组合过程中，就是要通过股票的多样化，使由少量股票造成的不利影响最小化。
1. 分散风险
股票与其他任何金融产品一样，都是有风险的。所谓风险就是指预期投资收益的不确定性。投资者常常会用篮子装鸡蛋的例子来说明分散风险的重要性。如
果投资者把鸡蛋放在一个篮子里，万一这个篮子不小心掉在地上，那么所有的鸡蛋都可能被摔碎。而如果投资者把鸡蛋分散在不同的篮子里，那么一个篮子掉了不会影响其他篮子里的鸡蛋。资产组合理论表明，股票组合的风险随着组合所包含的股票数量的增加而降低，资产间关联性低的多元化股票组合可以有效地降低个别风险。 一般用股票投资收益的方差或者股票的p值来衡量一只股票或股票组合的风险。通常股票投资组合的方差是由组合中各股票的方差和股票之间的协方差两部分组成，组合的期望收益率是各股票的期望收益率的加权平均。除去各股票完全正相关的情况，组合资产的标准差将小于各股票标准差的加权平均。当组合中的股票数目N增加时，单只股票的投资比例减少，方差项对组合资产风险的影响下降。当N趋向无穷大时，方差项将接近0，组合资产的风险仅由各股票之间的协方差所决定。也就是说，通过组合投资，能够减少直至消除各股票自身特征所产生的风险(非系统性风险)，而只承担影响所有股票收益率的因素所产生的风险(系统性风险)。
2．实现收益最大化 股票投资组合管理的目标之一就是在投资者可接受的风险水平内，通过多样化的股票投资使投资者获得最大收益。从市场经验来看，单只股票受行业政策和基本面的影响较大，相应的收益波动往往也很大。在公司业绩快速增长时期可能给投资者带来可观的收益，但是如果因投资者未观察到的信息而导致股票价格大幅下跌，则可能给投资者造成很大的损失。因此，在给定的风险水平下，通过多样化的股票选择，可以在一定程度上减轻股票价格的过度波动，从而在一个较长的时期内获得最大收益。 2.4应用方向 投资组合理论为有效投资组合的构建和投资组合的分析提供了重要的思想基础和一整套分析体系，其对现代投资管理实践的影响主要表现在以下4个方面:
1．马科维茨首次对风险和收益这两个投资管理中的基础性概念进行了准确的定义，从此，同时考虑风险和收益就作为描述合理投资目标缺一不可的两个要件(参数)。
在马科维茨之前，投资顾问和基金经理尽管也会顾及风险因素，但由于不能对风险加以有效的衡量，也就只能将注意力放在投资的收益方面。马科维茨用投资回报的期望值(均值)表示投资收益(率)，用方差(或标准差)表示收益的风险，解决了对资产的风险衡量问题，并认为典型的投资者是风险回避者，他们在追求高预期收益的同时会尽量回避风险。据此马科维茨提供了以均值一方差分析为基础的最大化效用的一整套组合投资理论。
重要的理论依据。
在马科维茨之前，尽管人们很早就对分散投资能够降低风险有一定的认识，但从未在理论上形成系统化的认识。
投资组合的方差公式说明投资组合的方差并不是组合中各个股票方差的简单线性组合，而是在很大程度上取决于股票之间的相关关系。单个股票本身的收益和标准差指标对投资者可能并不具有吸引力，但如果它与投资组合中的股票相关性小甚至是负相关，它就会被纳入组合。当组合中的股票数量较多时，投资组合的方差的大小在很大程度上更多地取决于股票之间的协方差，单个股票的方差则会居于次要地位。因此投资组合的方差公式对分散投资的合理性不但提供了理论上的解释，而且提供了有效分散投资的实际指引。
3．马科维茨提出的"有效投资组合"的概念，使基金经理从过去一直关注于对单个股票的分析转向了对构建有效投资组合的重视。
自50年代初，马科维茨发表其著名的论文以来，投资管理已从过去专注于选股转为对分散投资和组合中资产之间的相互关系上来。事实上投资组合理论已将投资管理的概念扩展为组合管理。从而也就使投资管理的实践发生了革命性的变化。
4．马科维茨的投资组合理论已被广泛应用到了投资组合中各主要资产类型的最优配置的活动中，并被实践证明是行之有效的。
3 组合投资理论与动态规划介绍
3.1股票投资组合理论
传统的股票投资理论是以在定性和经验分析的基础为主上建立的，其中包含基础分析方面和技术分析方面。它觉得股票价格的上下浮动是由外部环境变化决定，或内部因素影响，没有波及对整个股市变化规律和投资者影响的探究。
现代股票投资组合理论大部分都是建立的基础都是有效市场假说，而所说的有效市场假说则是最早研究整个股票市场有效性以及其变动规律的系统理论，通过投资者的理性，信息、价格、投资者之间的反应机制，以及收益率的变化规律等描述了一个均衡、独立、随机的股票市场。有效市场假说认为，有效市场的股票价格能全方面的体现全部信息，特别对新信息的反应是快速而精准的。市场竞争是股票价格均衡水平从这个高度到另一个高度的过渡，观点上与新信息相对应的股票价格浮动是随机性的。
股票投资组合理论是在理性投资者和有效市场假说基础上，通过定量分析风险和收益间的关系建立起来的有效投资组合，用最小的风险可能来收获最大的利益的方法。
马科维茨把投资组合的价格变化视为随机变量，以它的均值来衡量收益，以它的方差来衡量风险（因此马科维茨理论又称为均值－方差分析），把投资组合中各种股票之间的比例作为变量，那么求收益一定的风险最小的投资组合问题就被归结为一个线性约束下的二次规划问题。再根据投资者的偏好，由此就可以进行投资决策。
3.2马科维茨理论
1．基本假设
1) 所有投资都是完全可分的，每一个人可以根据自己的意愿（和支出能力）选择尽可能多的或尽可能少的投资。
2) 一个投资者愿意仅在收益率的期望值和方差（标准差）这两个测度指标的基础上选择投资组合。
E=对一个投资组合的预期收益率
p
σ=对一个投资组合的收益的标准差（不确定性）
p
3) 投资者事先知道投资收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条
件。
4) 一个投资者如何在不同的投资组合中选择遵循以下规则：
（1）如果两个投资组合有相同的收益的标准差和不同的预期收益，高的预期收益的投资组合会更为可取；
（2）如果两个投资组合有相同的收益的预期收益和不同的标准差，小的标准差的组合更为可取；
（3）如果一个组合比另外一个有更小的收益标准差和更高的预期收益，它更为可取。
2. 基本概念；
1) 单一股票的收益和风险
对于单一股票而言，特定期限内的投资收益等于收到的红利加上相应的价格变化，因此特定期限内的投资收益为：
价格变化＋现金流(如果有）
持有期开始时的价格P－P＋CF=tt-1
Pt-1r=
假定投资者在期初时已经假定或预测了该投资期限内的投资收益的概率分布，将投资收益看成是随机变量。
任何资产的预期收益率都是加权平均的收益率，用各个收益发生的概率p进行加权。预期收益率等于各个收益率和对应的概率的乘积之和。
n
E(r)=∑piri=p1r1+p2r2+...+pnrn
i=1
pi为第i个收益率的概率；r1,r2,...,rn为可能的收益率。
资产的风险用资产收益率的方差（variance）和标准差（standard deviation）来度量。
2) 风险来源
市场风险（market risk）,利息率风险（interest-rate risk）,购买力风险（purchasing-power risk）,管理风险（management risk）,信用风险（credit risk）,流动性风险（liquidity risk）,保证金风险（margin risk）,可赎回风险（callability risk）,可转换风险（convertibility risk）,国内政治风险（domestic political risk）,行业风险（industry risk）。
3) 投资组合
通常说投资组合由股票构成，一种股票是一个影响未来的决策，这类决策的整体构成一个投资组合。
3．投资组合的收益和风险
(1)投资组合的收益率
构成组合的股票收益率的加权平均数，以投资比例作为权数。
T
假定投资者k第t期投资于n种股票的权重向量为，ωt=(ω1,ω2,...,ωn)，ωi是组合中第i种股票的当前价值在其中所占的比例（即投资在第i中资产上的财富的份额，且
ω1+ω2+...+ωn=1
(2)马科维茨组合收益率集
设r1,r2,...,rn为n个方差有限的随机变量，它们称为n种股票的收益率。下列集合R1中的元素称为这n种股票的组合的收益率：
n
⎧⎫R1=⎨r=ω1r1+ω2r2+...+ωnrn|ri∈R,i=1,2,...,n;∑ωi=1⎬
i=1⎩⎭
(3)资产组合的风险度量
资产组合的方差包括每个资产的方差和资产间的协方差。股票收益率之间的关系可以用相关系数、决定系数、或协方差来表示。风险用过收益率的方差或标准差来刻画，如果
Vij=Cov[ri,rj]
是i和
r
rj
之间的协方差,那么投资组合的标准差应
该满足下列公式：
nn
2
σp=E[(∑ωiri-∑ωiE[ri])2]
i=1
i=1
==
i,j=1n
∑ωω
i
n
j
E[(ri-E[ri])(rj-E[rj])]
i,j=1
∑V
i,j
ωiωj
Var(r1)V=
Cov(r2,r1)
...Cov(rn,r1)
Cov(r1,r2)Var(r2)...
...
Cov(r1,rn)
...Cov(r2,rn)......
Var(rn)
Cov(rn,r2)...
=
σ11σ12
σ21σ22
...
...
...σ1n...σ1n.........σnn
σn1σn2
马科维茨考虑的问题是如何确定ωi，使得股票组合在期望收益率一定时，风险最小。投资者可以使用矩阵表示，称ω为组合，μω=ωμ为组合的收益，
T
σω=(ωTVω)1/2为组合的风险，这样就组成了均值－方差股票组合选择。这一问题
的解称为对应收益的极小风险组合。
用数学语言来说，这是个二次规划问题，即它是在两个线性等式约束条件下
2T
σ=wVw≥0。ωω的二次函数的求最小值的问题。即对于任何n维向量，它必然有
写成二次函数的形式：
σ=∑∑ωωijρijσiσj=∑∑ωωijCov(ri,rj)
2
P
i=1i=1
i=1j=1
nnnn
投资组合收益率的标准差：一个投资组合收益率的标准差取决于构成它的股票收益的标准差、它们的相关系数、以及投资比例。
投资组合风险的分散化：
投资组合收益的标准差与构成组合的股票的收益标准差具有联系。投资组合的风险分散功能：构成组合的股票收益率之间的相关度越小，投资组合的风险越小。
4．无差异曲线
投资组合理论的主要结果直接源于投资者喜欢E、不喜欢σP的假定，某一
P
个投资者这种偏好的程度通常由一簇无差异曲线（indifferent curves）表示。（刻画了投资者对收益和风险的偏好特征）。
风险的偏好特征：不畏风险，极端畏惧，风险厌恶，风险喜好。
可行集：任何一种股票可以被Ep、σp图形上的一个点所描述。任何一个组合也是如此。取决于理论假设的限制条件，只有某些组合是可行的。
1) N个股票可以形成无穷多个组合，由N种股票中任意k种股票所形成的所有预期收益率和方差的组合的集合就是可行集。
2) 它包括了现实生活中所有可能的组合，也就是说，所有可能的股票投资组合将位于可行集的内部或边界上。
3) 任何两个可行组合的结合也将是可行的。可行集将沿着它的上（有效）边界凸出。
有效组合：
有效组合示意图（横坐标：Ep 纵坐标：σp）
可得的Ep和σp结合的区域的上边界被称为有效边界或有效前沿（efficient frontier）。Ep和σp的值位于有效边界上的组合构成有效组合集（efficient set）。
有效集：有效集描绘了投资组合的风险与收益的最优配置。
（1）有效集是一条向西北方倾斜的曲线，它反映了“高收益、高风险”的原则。
（2）有效集是一条向左凸的曲线。有效集上的任意两点所代表的两个组合再组合起来得到的新的点（代表一个新的组合）一定落在原来两个点的连线的左侧，这是因为新的组合能进一步起到分散风险的作用，所以曲线是向左凸的。
（3）有效集曲线上不可能有凹陷的地方。
最优投资组合：同时考虑投资者的偏好特征（无差异曲线）和有效集。 （1）有效集向上凸的特性和无差异曲线向下凹的特性决定了有效集和无差异曲线的相切点只有一个，最优投资组合是唯一的。
（2）对投资者而言，有效集是客观存在的，而无差异曲线则是主观的，它是由自己的风险—收益偏好决定的。
有效集的推导：所有可能的点（Ep，σp）构成了（Ep，σp）平面上可行区域，对于给定的Ep ，使组合的方差越小越好，即求解下列二次规划。
只有两种资产的情况：上述所示在数学上被称为“二次规划模型”，可以直接运用拉格朗日乘数法求解，如下：
σp2=x
12σ12+x22σ22+2x1x2σ12
⎧x1+x2=1
s.t.⎨
⎩x11+x22=μ
L=∑∑xixjσij-λ1(μ-∑xii)-λ2(1-∑xi)
i=1j=1
i=1
i=1
nnnn
∂L∂L∂L=0(i=1,2,L,n);=0;=0∂xi∂λ1∂λ2
有效边缘线的形状：
1．是双曲线的一支，向右上方倾斜的曲线，反映”高风险，高收益”。 2．是一条上凸的曲线。
3．构成组合的股票间的相关系数越小，投资的有效边缘线就越是弯曲得厉
害。
3.3均值—方差模型
1952年，马科维茨创建了均值—方差模型并提出了一系列关于股票有效投资组合的理论。这一模型是通过二次规划的方法，其中股票投资的预期收益是用期望收益率来度量，投资风险是用收益率的方差来度量。马科维茨给出了有效投资组合的概念，在相同的风险水平下，有效投资组合有最高的收益。马科维茨均值—方差模型通过构建有效投资组合来分散非系统风险，并通过收益、收益方差、收益间的协方差揭示了股票投资收益和风险是成正比的关系。经典的马科维茨均值—方差模型的假设：
（1）股票收益率服从联合正态分布；
（2）信息成本为 0，每个投资者都事先掌握投资收益率分布的充分信息； （3）投资者都是理性的，他们追求一定收益率水平下风险的最小化或一定风险水平下收益率的最大化；
（4）市场无摩擦，无税收和交易成本； （5）股票可以任意分割； （6）允许投资者卖空。
在上述条件成立的情况下，通过计算之后马科维茨总结出投资者选择投资组合的有效边界。下面，投资者对有效投资组合的过程进行推算。
假设现在有n种股票风险资产，对于在以后预定时期内的期望收益率向量为
X=(X1,X2,...,Xn)T，同期收益率的协方差矩阵为∑=(σij)n⨯n。假设这n种风险资
产的投资组合向量为w=(w1,w2,...,wn)，wi(i=1,2,...,n)是第i个风险资产的投资权重，∑i=1wi=1。经过计算，得到该投资组合在以后预定时期内的期望收益率r
在该时期的收益率方差σ为 ：
T
r=wX
T
σ=w∑w
T
n
依据之前的假设，在r不变的情况下，使σ得到最小的组合称作有效投资组
r
合。当r等于p时，由以下的模型可以得到使σ最小的组合方式：
s..twTX=rp (3-1)
wTd=1
其中,d=(1,1,...,1)T通过拉格朗日乘数法来计算上述模型优化问题，可以求出：
1
minwT∑w
2
其中，λ1和λ2是拉格朗日乘子。由（3-1）式求出最优解的一阶条件为：
1T
w∑w+λ1(1-wTd)+λ2(rp-wTX)2
从(3-2)式中第1式，求出最优解为：
L=
(3-2)
⎧Lw=∑w-λ2w-λ1d=0
(3-3) ⎪⎪T
⎨Lλ1=1-dw=0 ⎪TL=r-wX=0λp⎪⎩2
将（3-3）式代入（3-2）式的第2式和第3式中，解得：
w*=∑-1(λ1d+λ2X)
(3-4) (3-5)
1=λ1dT∑-1d+λ2dT∑-1X=λ1a+λ2b
其中，a=dT∑-1d,b=dT∑-1X,c=XT∑-1X。联立方程（3-4）和（3-5），解得：
rp=λ1XT∑-1d+λ2XT∑-1X=λ1b+λ2c
将(3-6)式代入(3-3)式，求出投资组合的最优解为:
w*=
rpa-bac-b2
∑-1X+
c-rpbac-b2
∑-1d
(3-6)
经过以上的推论，可以解得出马科维茨均值-方差模型的有效投资组合结果。而且马科维茨均值—方差模型是一个对未来期的有效投资组合的预测，主要根据未来期的期望收益率和收益率协方差矩阵。其实，投资者在应用的时候所用的数据都是一些历史数据的协方差矩阵，而这些股票收益率的历史数据得到的协方差
矩阵就称为历史协方差矩阵。本文正是在历史协方差矩阵的基础上根据马科维茨均值-方差模型研究投资组合策略。现引入，预测期：即用于预测的历史数据所在的时期，投资期：即进行投资的未来期。马科维茨投资组合在投资期的风险就是该投资组合的经济效果，本文称作马科维茨投资组合风险。设马科维茨投资组合为 w*，投资期中收益率的真正协方差矩阵为∑ture，则马科维茨投资组合风险为：
σture=(w*)T∑turew*
3.4马科维茨投资组合风险的计算方法
设马科维茨投资组合为w*，投资期中收益率为ri(i=1,2,...,n)，收益率的均值为ri，收益率的协方差矩阵是{σij}i,j=1，则σij的计算方法是：
n
σij=E(ri-ri)(rj-rj)
根据马科维茨投资组合风险的定义，马科维茨投资组合风险为：
σM=∑wi*σijw*j
i,j
通过上述定义计算马科维茨投资组合的风险是最直接和准确的计算方法，但是收益率的协方差矩阵{σij}i,j=1不能直接得到，所以这个方法在实际中的可行性
n
不高。因为马科维茨投资组合风险不能直接计算，所以通常使用样本协方差矩阵来估计马科维茨投资组合的风险。假设源于ri-ri(i=1,2,...,n)的样本数据有
ri
(m)
-ri(i=1,2,...,n;m=1,2,...,T)，样本的协方差矩阵是{Eij}i,j=1，则Eij等于：
n
1T(m)
Eij=∑(ri-ri)(rj(m)-rj)
Tm=1
依据该样本协方差矩阵计算的马科维茨投资组合的风险为：
λ1=(c-rpb)(ac-b2)
(3-7)
λ2=(rpa-b(ac-b)
2
由上式（3-7）可以知道，依据样本协方差矩阵计算得到的风险是马科维茨投资组合风险的无偏估计量。以上说明，依据样本协方差矩阵估计马科维茨投资组合风险是一种非常可行的方法。
3.5 动态规划方法
1．动态规划介绍
动态规划是求得决策过程最优化的数学方法，它是将多变量、复杂的决策问题进行分阶段决策，变为求解多个单变量的决策问题。首先是将问题的过程分为
几个相互联系的阶段，恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函数，从而把一个大问题化为同类型子问题逐个求解。最后每一个子问题所得到的最优解就是整个问题的最优解。
2．动态规划应用方向
动态规划在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的运用，它主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题。但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决过程，也可以用动态规划方法解决。
3. 动态规划基本思想
动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法，。动态规划的基本原理是“最优化原理”，即一个最优方案具有这样的性质，无论初始状态和初始方案如何，相对于初始方案产生的状态来说，其后的方案必定构成最优子方案。动态规划把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，继而利用各阶段之间的关系逐个求解，得出最优组合。
4．动态规划在投资组合的应用
股票投资组合是投资者有意识的将资金分散投放于多种股票而形成的投资集合。股票投资组合能够有效的分散投资风险，从而获得最大的投资利益。于是通过动态规划法，对资金在投资组合的各只股票间进行合理分配，使投资组合达到最多收益率，这一方法为解决资金分配问题提供很大帮助。尤其是在目前的形势下全球经济具有很大的不确定性，我国股市波动幅度也难以预料。这更加需要我们对股票市场进行深入的调查和准确的预测。所以运用动态规划能够使得投资者面对股市更有信心。
4 组合投资的实例与分析
4.1动态规划实例分析
1 股票及数据选取 1）股票选取
为缩小可控范围，股票的选取主要着眼于沪深A股市场。首先依托大智慧分析软件中的股票筛选器功能，通过对相关股票指标、利润率、增长、估价、财务比率等的限定。分行业筛选出业绩优良的股票，继而结合相关股票评级、主力资金流入方向等，筛选出具有交集的股票。最后出于风险考虑，剔除处于同一行业的股票，最终选定长安汽车（000625汽车制造）、中视传媒（600088传播与文化产业）、新世界（600628零售业）作为投资组合的基础股票。
2）单项资产收益率及风险计算
考虑到股票市场的瞬息万变，如果以年或月为单位计算股票收益率，时间范围未免过长，数据难免存在滞后性，且不能准确反映股票的真实收益率，为更细致地反映股票的收益情况，本文选取周作为基础衡量单位，进而对个股的平均周回报率及风险进行测算。相关基础数据主要来源于国泰安经济金融实证研究数据库，具体计算结果如表1所示。
表1 个股的收益及风险
周平均收益率
2
方差σi 标准差σ
新世界 -0.054% 0.00157 0.03965
长安汽车 0.252% 0.00172 0.04152
中视传媒 0.512% 0.00397 0.06303
表2 协方差及相关系数
长安汽车 中视传媒 新世界
新世界 0.00064 0.00146 0.00157
长安汽车和中视传媒的相关系数 长安汽车和新世界的相关系数 中视传媒和新世界的相关系数
长安汽车 0.00172 0.00136 0.00064
中视传媒 0.00136 0.00397 0.00146
0.52159 0.39108 0.58515
由表2可知，三支股票的两两相关系数均为0~+1之间的数值，说明个股的收益结果变化方向相同，但并不是完全相同，两者之间只存在一般性的正相关关系。根据资产组合理论，只要各资产之间的相关系数ρ不等于+1，资产组合的收
益标准差或风险总是小于单个资产收益标准差或风险的加权平均。换言之，只要两种资产之间不存在完全的正相关关系，其资产组合的风险总是会减少的，而风险减少的程度，主要取决于资产收益之间的相关程度。
2 组合权重设计
在权重的选择上，本文采用风险结合的动态规划法，即以动态规划法为基础思路，在选择各步骤收益最优解时，将风险方差纳入考虑，通过计算标准离差率，选取各投资额下标准离差率最小值小的最大收益，作为整个组合的最优解。具体计算中，主要按照两个步骤进行，首先将长安汽车和中视传媒作为小的投资组合（以下称小组合），分别测算在不同投资额下的风险结合最优解，此步最优解选择主要根据标准离差率及最小标准离差率下的最大收益；第二，根据步骤一的测算结果，将新世界纳入，测算新世界和小组合在总投资额下的最优解，此步最优解选择主要根据投资者的风险承受程度。
运用动态规划求解投资比例：假设总投资额为4万，并且需要全部分配到长安汽车、中视传媒和新世界的构成投资组合中。根据周平均收益率，按照复利原
根据动态规划方法，引入相关参数如下： （1）S——投资总额，此例中为4万元； （2）n——投资组合中的项目数，此例中为3； （3）uk——决策变量，分配给第k个项目的投资额；
（4）Sk——状态变量，分配给第k个至第n个项目的投资额； （5）gk(uk)——阶段目标函数，对第k个项目投资uk所获得收益； （6）fk(Sk)——将S分配给第k个至第n个所获得的最大收益； （7）Sk+1=Sk-uk——状态转移方程。
表3 收益与投资额 单位：元
则，计算得到各支股票28天所获得的收益与投资额之间的关系，如表3所示。
101 202 303 404 1.011%
207 413 620 826 2.065%
10000 20000 30000 40000 28天收益率 -22 -43 -65 -87 -0.217%
由此，得到逆序DP（动态规划）方程：
fk(Sk) = max {gk(uk)+ fk+1(Sk+1)} fn+1(Sn+1) = 0
利用上述递推关系，求得f1(S1)时最大收益的组合，即为所有分配方案中的最优解。
由上表知：S=40000元 ，n=3，u1 u2 u3分别代表对新世界、长安汽车和中视传媒的投资额。
步骤一：
①k=3时，将S3投资于第3支股票——中视传媒。此时f3(S3) = max {g3(u3)+ f4(S4)}= max {g3(u3)+ 0}=max {g3(u3)}= g3(u3) 0≤u3≤S3
S3=0时，f3(0)=0，u3 =0， σ2= 0.00397； S3=1时，f3(1)= 207，u3 =1，σ2= 0.00397； S3=2时，f3(2)= 413，u3 =2，σ2= 0.00397； S3=3时，f3(3)= 620，u3 =3，σ2= 0.00397； S3=4时，f3(4)= 826，u3 =4，σ2= 0.00397；
②k=2时，将S2投资于第2和第3支股票，即长安汽车和中视传媒，使分 配给这两支股票的投资额所获得的收益最大。本文创造性地引入了风险方差及标准离差率作为衡量选择最优解的指标，通过选择各投资额下各种组合中最小离差率下的最大收益，得出各投资额下的最优解，即各投资额下小组合的最优解。具体操作方法如表4和表5所示。
根据动态规划思想，此时，f2(S2) = max {g2(u2)+ f3(S3)} 0≤u2≤S2
表4 各投资额下小组合的收益与风险计量
总投资额S2
长安汽车u2 中 视传 媒u3
小组合收益f2(S2)
小组合风险σ2
小组合标准离差率
标准离差率最优解
0 1
0 0 101 0 101 202 0 101 202 303 0 101
0 207 0 413 202 0 620 413 207 0 826 620 413 207 0
0 207 101 413 303 202 620 514 409 303 826 721 615 510 404
2
2
2
0 0.00397 0.00172 0.00397 0.00211 0.00172 0.00397 0.00256 0.00181 0.00172 0.00397 0.00285 0.00211 0.00173 0.00172
2
2
0 0.00030 0.00041 0.00015 0.00015 0.00021 0.00010 0.00010 0.00010 0.00014 0.00008 0.00007 0.00007 0.00008 0.00010
0 0.00030
2 0.00015
3 0.00010
4 202 303 404
0.00007
(其中：小组合收益f2(S2)为RP=W1R1+W2R2；小组合标准离差率为σ/ f2(S2)；
小组合风险σ2为σp=W1σ1+W2σ2+2W1W2σ12；)
表4中，首先分别对各投资额下的组合进行小组合收益及小组合风险方差计算，再分别计算出各种组合的标准离差率，进而选择出各投资额下的最小标准离差率，以此作为第一次最优筛选条件；在得出各投资额下的最优离差率以后，反推回小组合收益，选择最优离差率对应的组合作为该投资额下的最优组合，如果对应多个组合，则选择小组合收益最大的组合作为最优，具体结果如表5所示。
表5 最优标准离差率下的最优组合
总投资额S2 长安汽车u2 中视传媒u3
0 1 2 3 4
0 0 0 0 1
0 1 2 3 3
小组合最大收益f2(S2)
0 207 413 620 721
小组合风险σ
0 0.00397 0.00397 0.00397 0.00285
2
步骤二：
在得到各投资额下的最优小组合以后，进一步将最优小组合（u2，u3）与第一支股票新世界结合，寻找三项资产组合下的最优解。此时，k=1，将S1分配到新世界、长安汽车、中视传媒三支股票中，由于步骤一中已经对后两支股票作了最优组合，因而此步骤中只需考量新世界与小组合的收益与风险关系，具体数据如表6所示，由于总投资额4万元最终需要全部投入，此步骤中仅计算S1=4时的数据。根据动态规划思想，f1(S1) = max {g1(u1)+ f2(S2)} 0≤u2≤S1
表6 大组合收益及风险
总投资额S1
新世界u1 0
-22 -43 -65 -87
小组合u 721 620 413 207 0
大组合收益f1(S1)
721 598 370 142 -87
大组合风险σ 0.00285 0.00218 0.00174 0.00154 0.00157
2
4
其中：大组合收益根据新世界和步骤二中计算的投资额为4万元时最优小组
22222
合的收益计算得出；大组合风险采用σp=W1σ1+W2σ2+2W1W2σ12，其中新世
界和小组合的协方差根据观测期内新世界的收益率数据以及按照最优小组合比例（1:3）追溯调整计算的小组合收益率计算得出，其数值为0.00126。
值得注意的是，第三只股票的收益率和风险均低于其他两支，它的引入主要是为了降低组合风险，这种降低必定会减少整个组合的收益，由表6数据亦可以看出，随着新世界比例的增大，大组合的收益和风险均呈现下降趋势。对于投资者而言，如果想要选择最大的收益，只需选择最优小组合即可，如果想要降低组合风险，则可根据自己的风险承受水平，对表6中的数据进行选择。
3. 组合结果评价
案例研究中的组合具有一定的投资可行性，并且有较强的使用灵活性，主要表现在以下几个方面。首先，组合中所选三支股票分属汽车制造、文化传播、零售三大行业，并且相关系数均为0~+1之间，一定程度上可以通过组合降低整体风险；其次，组合权重设计中，依据动态规划的思想，结合标准离差率作为筛选指标，更为具体地考量收益和风险的关系，逆序选出的投资组合最优解更具科学性；第三，步骤一的结果可直接作为投资依据，此时投资组合中仅包含长安汽车和中视传媒两支股票，并且不同投资额下的最优组合结构均有列示；最后，为降低组合风险，引入收益与风险均偏低的新世界股票，投资者可根据风险承受水平，选择适合的投资比例。
4. 结论与展望
在案例设计与研究过程中，本文创造性地将标准离差率作为筛选指标引入动态规划方法，在求解各投资额下最优组合时，首先选取各投资额下标准离差率最小的投资组合，继而在备选组合中选择收益最大的组合，作为该投资额下的最优解；接下来的步骤中，再根据上步得出的最优组合（小组合），计算小组合与另外单支股票的协方差及大组合风险与收益，以此类推，最终可以得出不同风险水平下的最优解，投资者可根据自己的风险承受水平选择适合的投资组合。采用动态规划思路求解最优组合最大的优势在于，其计算过程中各步骤的产出均为该种投资水平下的最优投资组合。关于如何使投资结构更为合理与稳健，例如将核心及卫星级资产纳入动态规划体系，以及如何科学地选取组合中的基础股票，需要我们进一步的探索和研究。
4.2 马科维茨理论实例分析
一个股票组合由一定数量的单一股票构成，它的期望收益即取决与每只股票的期望收益，又取决于各种股票在组合中占有的比例。因此某一投资组合的期望收益率是该组合中各种股票期望收益率的加权平均值。期望的数学表达式为：
up=∑xiui
i=1∞
式中up为投资组合的期望收益率。xi为第i种股票投资价值在组合中的投资比，xi≥0，且设∑xi=1，表示所有资金投资于风险股票上，ui为第i股票的期
i=1∞
望收益率。
例1．某投资者资产组合中包括A、B、C三种股票，股份数分别为100、200、100，每股初始出厂价分别为40元、35元和62元，则它们在组合中的权数分别为0.2325、0.4070、0.3605。若每股期末的期望值分别为46.8元、43.61元、和
76.14元，如表7所示，求短期内该资产组合的收益率?
表7 三支股票的统计数据
股票名称
A B C
组合中的股份数
100 200 100
每股初始化市价
40 35 62
权重 0.2325 0.4070 0.3605
每股期望期望值
46.48 43.61 76.14
解：
uA=
46.48-40
⨯100%=16.2%
40
43.61-35
⨯100%=24.6%35
76.14-62uC=⨯100%=22.8%
40uB=
up=∑xiui=0.2325⨯16.2%+0.4070⨯24.6%+0.3605⨯22.8%=22%
i=1
∞
小结：组合p的收益率和各构成它的每支股票的收益率以及各股票所占的权重有关。
投资者用方差反映投资组合的风险，投资者都是风险的厌恶者，投资者可以通过调整股票的权重来降低投资的风险。
投资组合风险的一般计算公式：
在明确了协方差后，可以得出投资组合预期收益率的方差及标准差的一般计算公式为：
2
σp=
2
xiσi+∑∑xixjσij∑iij
=1
=1
=1
n
22
nn
式中σp为投资组合收益率的方差，即风险。
例2．某投资者持有燕京啤酒、万科A和招商银行三只股票构成的投资组合，记燕京啤酒为S1，记万科A为S2，记招商银行为S3。其数据如表8。
表8 燕京啤酒、万科A和招商银行的分析数据 股票
xi
E(Ri)
σi
S1 S2
0.3 0.28 0.42
-0.047 0.535 0.446
2.311 2.467 1.885
S3
求该股票组合风险?
解： 经计算可以得出三只股票的协方差矩阵如表9。
表9 三只股票的协方差矩阵
S1
5.34 -0.13 0.52
n
n
n
S2
-0.13 6.09 0.53
S3
0.52 0.53 3.55
S1 S2
S3
2
2
2
σp=∑xiσi+∑∑xixjσij
i=1
i=1j=1
=0.32⨯5.34+0.282⨯6.09+0.422⨯3.55+2⨯0.3⨯0.28⨯(-0.13)
+2⨯0.3⨯0.42⨯0.52++2⨯0.28⨯0.42⨯053=1.915
小结：组合的风险与各构成股票的方差和它们之间的相关系数有关系。 两种股票构成的投资组合的最小风险比较简单，多种股票构成的投资组合的最小风险比较难求，实际中往往要求收益率大于零或为某一定值时的最小风险，计算量也很大，可以用计算机处理数据。
(1) 两种股票的最小风险。
假设投资组合中只有两种股票i和j,即
xi+xj=1
两种股票的投资组合的方差为：
σp2=xiσi2+(1-xi)2σj2+2xi(1-xi)σij
为使投资组合的风险极小化，首先求对上式求
∂σpxi
2
2
2
xi
的一阶导数，则：
=2xiσi-2(1-xi)σj+2(1-2xi)σij
令上式为0，则：
2xiσi+2xiσj-4xiσij=2σj-2σij
xi=
222
σj2-σijσi2+σj2-2σij
例3．已知股票组合p是由A和B两种股票构成，股票A和B的方差以及相关系数如表10，怎样可使风险最小?
表10 相关系数表
股票名称
A B
方差 0.3
0.4
0.5
相关系数
解： 由表4得σA2=0.3,σB2=0.5,ρAB=0.4,则
σB2-ρABσAσB0.5-0.40.3⨯0.5
xA===0.704. 22
σA+σB-2ρABσAσB0.3+0.5-0.80.3⨯0.5
xB=1-0.704=0.296
小结：这说明应把全部资金的70%投资于A股票，而把余下的30%资金投资于B股票，这样的投资风险最小。
(2) 多种股票组合而成的投资组合的最小风险。
如果投资组合中多于两种股票可以用极小微分法求解。在一个股票组合中，在确定一定的收益率目标后，要求组合的风险最小的有效组合，用数学语言表达式为求组合收益率方差的极小值，这时可以利用拉格朗日乘数法求解。拉格朗日乘数法是解决有限制条件下最优化问题的一种方法，求组合方差的最小，限制两个条件：(1)投资收益率达到预期水平；(2)各种股票的权数之和等于1，数学表达式如下式中，xixiσii=xiσi。
由于限制条件有两项，需引入两个λ乘数从而将上式中转化为拉格朗日目标函数：
2
2
⎛n⎫⎛n⎫
Z=∑∑xixjσij+λ1 ∑xiui-up⎪+λ2 ∑xi-1⎪
i=1j=1⎝i=1⎭⎝i=1⎭
若要风险最小，则将上式所有xi以及λj作偏微分，并令其为0，由此可得到下列(n+2)个一次线性方程式组：
nn
⎧∂Z2
⎪∂x=2x1σ1+2x2σ12+...+2xnσ1n+λ1μ1+λ2=0
1 ⎪∂Z22⎪=2x1σ12+2x2σ2+...+2xnσ2n+λ1μ2+λ2=0
⎪∂x2
⎪...⎪∂Z 22⎨=2x1σn1+2x1σn2+...+2xnσn+λ1μn+λ2=0⎪∂xn
⎪∂Z
=x1μ1+x2μ2+...+xnμn-μp=0⎪
∂λ ⎪1
∂Z⎪
=x1+x 2+...+xn-1=0⎪∂λ2⎩
式中最后两个式子是对λ1，λ2偏微分的结果。将上面(n+2)个一次方程转换为矩阵等式：
C⋅X= K
⎧2σ1
⎪⎪2σ21⎪⎪ ⎨⎪2σn1⎪μ⎪1⎪⎩1
2
2σ12 2σ1n
2
2σ2 2σ2n 2σn2 2σnnμ2 μn1 1
μ
1μ2
μn 0
1⎫⎧x1⎫⎧0⎫⎪⎪⎪⎪⎪1⎪⎪x2⎪⎪0⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⨯=⎬⎨⎬⎨⎬1⎪⎪xn⎪⎪0⎪0⎪⎪λ1⎪⎪μp⎪⎪⎪⎪⎪⎪0⎪⎩1⎪⎭⎩λ2⎪⎭⎪⎭⎪
其中，C表示系数矩阵,变数向量为X，K是常数向量。由于股票组合的预期期望收益和股票之间的协方差是已知的，用C的反矩阵，便可求出X。
C⋅X=K,C-1⋅C⋅X=C-1K I⋅X=C-1K,X=C-1K
例4．从我国股票市场的不同行业中，随机选取了收益较好的3只股票，分别记作股票1，股票2，股票3，在网上查找3只股票近5年每月的开盘、收盘价，根据公式算出每只股票每月的收益率，再据期望、协方差函数求得相应的统计量见表11和表12。要求收益率不低于上年的0.303每股的权重应为多少?
表 11 三支股票的数据表
股票 1 2 3
期望 -0.47 0.535 0.446
方差 5.34 6.09 3.55
表 12 协方差矩阵
1 2 3
1 5.34 -0.13 0.52
2 -0.13 4.50 -0.53
3 0.52 -0.53 3.55
解：设x=(x1,x2,x3)，其中xi表示第i只股票的资金重u=(u1,u2,u3)=(-0.47
，0.535，0.446)，表示第i只股票的收益率期望值，建立表达式：
nn
⎧2
⎪minσp=∑∑xixjσij
i=1j=1
⎪n⎪
up=∑xiui⎨
i=1⎪n
⎪xi=1∑⎪i=1⎩
引入两个λ乘数可得拉格朗日目标函数：
⎛n⎫⎛n⎫
Z=∑∑xixjσij+λ1 ∑xiui-up⎪+λ2 ∑xi-1⎪
i=1j=1⎝i=1⎭⎝i=1⎭
要求风险的最小值，对所有以及λj作xi偏微分，令其为0，此可得到下列一次线性方程式：
⎧∂Z
⎪∂x=-0.26x1+9.00x2+1.06x3+0.535λ1+λ2=0⎪1
⎪∂Z=10.08x-0.26x+1.04x-0.047λ+λ=0
12312
⎪∂x2⎪∂Z⎪
=1.04x1+1.06x2+3.55x3=0 ⎨
∂x3⎪
⎪∂Z=-0.047x+0.535x+0.446x-0.303=0
123⎪∂λ1
⎪∂Z⎪=x1+x2+x3-1=0⎪∂λ2⎩
nn
所以，
⎡10.68-0.261.04-0.47⎢-0.269.00-1.060.535⎢⎢1.04-1.067.100.446⎢0⎢-0.470.5350.446
⎢110⎣1
求解得： 1⎤⎡x1⎤⎡0⎤⎢x⎥⎢0⎥1⎥⎥⎢2⎥⎢⎥1⎥⨯⎢x3⎥=⎢0⎥ ⎥⎢⎥⎢⎥0⎥⎢λ1⎥⎢0.303⎥0⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎣λ2⎥⎦⎢
⎡0.3218⎤⎢0.1585⎥⎢⎥X=⎢0.5197⎥ ⎢⎥3.2228⎢⎥⎢⎣-3.7850⎥⎦
所以股票1、股票2、股票3的权数分别为0.3218，0.1585，0.5197。
小结：当投资组合的收益率一定时，投资者总希望风险越低越好，要通过上述方法求最小风险，协方差矩阵要可逆。组合的风险与各构成它的每只股票的方差以及两两的协方差有关系。
5 评价与总结
本文通过分析马科维茨投资组合理论及其均值方差模型，得到了较好的投资组合方案，对股民购买股票具有进步作用。通过论文的写作增加了我个人对股票投资的进一步了解，不过本篇论文所用的数据都是静态的数据据最优的投资组合的方案有一定的偏差。不过本文采用的是静态数据对马科维茨的均值—方差模型及投资组合理论进行检验和分析，没有更进一步的观察和解析它的动态变化情况。因为这些历史的静态数据具有一定的滞后性不能及时的更新，会直接或间接的影响到投资决策的效果。因此在此基础上投资者对动态数据的研究应该有进一步的探索以便有可行性更大的投资策略。
参考文献
[1] 任玉杰.数值分析及其MATLAB实现[M].（MATLAB 6.X，7.X版）
[2] 姜启源.谢金星.叶俊 数学模型[M].（第四版）
[3] 李文静. 股票投资基金投资组合分析[M]. 2005
[4] 张喜彬、荣喜民、张世英．有关风险测度及组合股票投资模型研究[J]．系统工程理论与实践，2000
[5] 彭勇行.风险投资的最优组合决策[J].中南财经大学学报,1996,5(11)
[6] 中国股票业协会.股票投资分析（第2版）[M].北京:中国时政经济出版社,2011
[7] 安中华.其一协方差矩阵的最有投资组合选择[J].武汉化工学院学报,2004,9
[8] 刘新平.概率论与数理统计[M].陕西:陕西师范大学出版总社，2010
[9] 张中华.投资学[M].北京：高等教育出版社,2006
[10] venture capital at the crossroads[M]. Bygrave W,Jeffry,Timmons . ,1992
[11] 中国股票业协会.股票投资基金[J].中国财政经济出版社,2006
[12] 杜干，杜小泉.股海搏击三部曲.经济管理出版社[J],1996,8第1版
[13] Technical analysis of futures market[M],John Murphy
[14] Securities investment principle[M],William Sharp;Gordon Alexander
[15] Portfolio and choice of securities[M]，Marshall Sanat ;Hamm Lever
[16] Stock market trend analysis[M]，Robert - D - John ;Mackie Edward
致 谢
本篇论文是在我的导师桂友武副教授的亲切关怀和悉心指导下完成的，他用端庄的科学态度，严谨的治学精神，以及精益求精的工作作风，深深地影响和激励了我。从毕业课题的选择到论文的最终完成，桂老师都始终给予我细心的指导和不断的鼓励。
我还要感谢在一起开心的度过大学生活的信本1102班的同学，正是由于你们无私的帮助和支持，我方能能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。在论文即将完成之际，我的心情久久无法平静，从开始进入课题研究到论文的顺利完成，有多少值得尊敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意。
最后我还要感谢养育我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!