第一 傅章叶变里
换傅叶立级 设数f ( x )是 以[l,− ] l为周 期的 平 方可积 函 数 ∑ kπ∞x πkx1 (ak c os+ bk isn) (fx) =a0+ 2 ll =1 称k 为 f (x 的)傅 立 叶级数 。 只要f ′ (x )在[ l,−l ] 上分 段连，续级数一致则敛收 f于( )x。 +∫ ∞ +∞ ∫ ˆ1( ξe)−ξxi x}df (ξ e)ξi dxξ f.( ) =x {f 2π −∞ −∞ ∫+ ∞(ξ ) =ˆF f [()] x=f (x)f−eξxidx
.−∞
ˆ(ξ )
傅的里 叶逆 变换 作 f记 f(x ) F
=−
1(ˆ )] = ξ[
f1 2
π
∫
+∞
ˆ(
ξeiξ)xdξ . f
−∞
例
1求矩形脉 函冲数{ 1 | t| ≤a f t( ) =0| t| >a ( a > ) 0. 的傅ˆ叶变换 f里解 :由傅里叶变的定换义
1
∫ˆ
(ξ) = f
ae
−a
i−ξ
td
=t
−1
i
ξei−ξ|t −a
a
=
2sniξ aξ
2例求 f (x) = 傅1里变换叶 例 3.求 f (x ) =ocsa 傅x 叶 里 换.变 例4 求边单指数减衰函 数 {βt −
fe(t ) = 0≥t0t
ˆ 且, 利用 傅 (β > 里0 为常 数) 的 里 叶傅 变换f 积分叶式证明:公 e−βπt t>0 ∫∞+ βc os ω + ω tsni ωt πd ω t=0 = 22 2 β +ω0 0 t
0
: 由解里傅变换的定叶 义 ∫+ ∫∞ˆ( ξ) = f e−tβ−eiξttd=
02
∞+
−(βeiξ+t)d
t0
= F
−1−
1
β+ i ξ
∞
e− β(iξ)t++ 0
|
=
β
− ξi β2+ ξ2i
ξte ξd2
(ˆξ )]= f[
1π2
∫
+∞
β
− i ξ β 2 +ξ
−∞
=
2π
1
∫+∞
(
β− iξ)(c osξt i+s n ξt) β2 i ξ+2
ξ
d−∞
21π
∫
+
∞
β (co ξs)t 2 1β +ξ2
ξ d=
1
π
∫
0
+∞
β
(cos t)ξβ2 + ξ
2d
ξ
−∞
∫
+∞
i− ξ(i cs otξ )2β +ξ2
π2
ξ =d0
∞−
1π
0
∫
+∞
βco s t + ξ ξsin ξ t2β+ ξ
2
f (t
)d =
ξ
t2
[1f( − 0t ) f +t + (0
ˆξ( ) 傅作里 叶 变 换 对f
3
ˆ
ˆx() =F[f ˆ(ξ)] = = 2π f[ 1π2
∫
∞+
(ˆξ)e i−ξxdξ .
∫f
∞
−∞
−∞
ˆ+( )eξi(ξx−) ξd] =π2 f(x− )
f
例5 求矩形冲函脉 {数1 t| ≤| af( t )=0 |t > | (a >a0
)ˆ, 且 利用傅 里 叶 积分 证 明的傅里叶 变 f
∫换
+∞
1
ω
π2 si
naωosωtcd ω=π
4
| t
| a
− ∞
0
其 中
(a > 0) . 并利 用 对 称公 式 求g (t =)换 .解 由:里叶变换傅定义的si
ntaπ
t的
里傅叶
变4
∫ˆ
(ξ ) f=
a
−ae
i−ξ
dt =t − 12π
1i
e−ξitξa −a|2 sina ξξ
=2si
nξ ξa
F
−
1∫
(ˆ )ξ ] [f
=
+
∞ei
ξ dt .
ξ−
∞ˆ( ξ]) (由=于f (x )= F 1−f
[1
π2
∫
∞
ˆ(ξ )+eξitd ξ.) f
−
∞
0
∫+
∞
{
(t)f| t | = a ̸siancωoωstdω =1 f[ ( −t0 )+ f (t 0+])| | t ω= 21
−
1又F
=
ˆξ( ) = ]f[
∞+
1 2
π∫
+∞
2
siaξn ξ
eiξ
dt ξ
.−
∞
1π2
∫
1 ξ
sinaξ
(ocsξt +isin tξd) ξ.
−
∞
再由函数的奇积性质分得可1
π
2
+∞∫
ξ
1inaξs i(sinξtd) = ξ.05
−∞
再由
函数的积分性偶可质得 ∫
0+
∞
1
ξ π 2 si
nωac
osξdt =ξ
4π
t| a ( >a 0)
0
如 果取
t 0, a== 1 , 有
0 ∫∞
+s
inξξ
dξ
=π
2
另一方
ˆ 面(ˆ)x= 2πf (−)x f
g ξ ) (
=sinaξ
ξ
π1 ˆ = (ξf) 2π
故
g ˆ ξ ( =)
1
ˆ ˆ ξ () = f (ξ ) = f (−ξ )f2π
6
.2单 位脉冲 函数 (δ 函数 ) 工程在和物现理象中，集从分布中的量如， 中集 质 量， 集 点中 电荷 点，热 源 ， 位 单 脉冲, 冲击力的时作瞬用等的究研中会遇在原到等于点 ，∞在 他其地 方 为0的 D riac 函 . 数 种 函这数 不 是 高 等 数 学中的 普通 函 数 ，而 广 义 函是数. 这种 函在工程数物和中有重要理意.义 函δ 数的 定 义 δ 函 是数 义 在 定−∞( ,) ∞内 足满下如件条的数函: {∞ x= 0 1. δx( x− x0 = 0) x ̸=x0 ∫+∞ .2δ ( − x0xdx =)1
−
∞可
把 以δ( x −x0) 看成某 含 种 数 参 ε 普 通的 函数 δϵ x(− x0) 的 （）弱极限. 例 如取{1 x 0
δϵx( x −x0 )有 如下 的 两个 质 性:
7
a)( im lδϵx −( x) 0
=ϵ0+→
{
+
0
∞+
∞
x =x 0 x̸= x0
(∫b)
→ϵ0+
im
−∞
l
δϵx( x−0)d x 1=
定
理( 筛选 性质) 对 点在 a
当
( a,b = ()−∞,+∞) 时 ， 有 ∞∫δ (x −x)φ(0x)dx= (x0)
φ−
∞引
理 1若 f ()x 是义广函,数若 对 在 (,a ) b内的 任连续函数意 有 b∫ f(x)φ x)d( x 0
a
=
则 f( ) x= .0
8性质 1 δ x)( 是 偶函数.证 明对 任连意续数 函(φ)x 作 换 x变 −= ， τ 有∫ ∫∞∞ δ (−)x(xφdx =) δ ( τφ()τ )−x
−∞d
∫
= φ(
−) =0 (φ) =0
∞
−∞
−
∞δ(x −0φ())xd
x
性质 2设 (xα)在 点 x 的0 域 内 邻连续, 则 α ()xδ ( −x 0)x= α(x)0δ(x − 0)x 别地特若，α( 0x = 0 )则 (αx0δ )( x x0− = )0
.证 明对 意任续连数 φ(x) 函应 用筛 选 性质 有 ∫
∞,
− ∫∞∞
αx()δ(x − 0x)φ()dx xδ ( − x0)x(α)xφx)d(x α=x0(φ()0x)
=
−
∞∫
=
α( 0)x
∞
∞
− (x δ− x0)φ(x)d
x
∫
=
9∞
∞−
α
x0(δ) ( − x0xφ(x)d)
x证
毕 . 性质3 H (x)′= δ x() 其 { 中 H1 (x) 0=
>0xx 0
证明 对 任连续意函 φ(x数),取 lmix→0+ φx) =(0, 有 ∫∞
H′x(φ)x)(d
∞x
−
∞
∫
− =
=H (x)
′(x)dxφ
∞−
Hx)(φx)|( ∞∞−
∫
−
0
∞
φ
′()xxd
∫
= φ() 0=
∞
δ
(x φ)()xd
x∞−
∞
∫∞
[− ′(xH ) −δ( x)](xφd)
x0
1
′H()x −δ (x )= 0
证毕 .性质
δ 4x(− 0)x 的傅 里 叶 变 换 与逆 变 换
F [∫ δx−(x0] )=
+
∞∞
δ−( xx−0e−i)xdξx= −iξe0
x特
别 地, 当 x0 =0 时 有
(ˆ ) ξ=F [ δ ()x ]= 1 δ
−F
1
π2−∞ π2 特地别, 当 a =0 有 时1i∗ 0ξ ∗11 − 1F δ[ (ξ) ]=e = ,F[ ] = (ξ )δ2π π22π 即 1 ˆ=F [1] = πδ2(ξ )
[
δ ξ(
−a) =]
1
∫
+
∞
(ξ −a)δieξxξd
=1
e
iξa
F解− 1δ[(ξ −)] =a
1
1
21
eiπax
F
[
1 2π
eix]a =δ ( −ξa
)
以
F [ c所osa] =x F[ ei a+e−xax]i= π [ δξ(−a) δ +ξ( +a)] 2同 可得 样 [F inaxs =] πi δ[ ( ξ a+ − ) (δ −ξ a) ]1
例证 单明位阶跃函数H ( x) 的 傅里 变 叶换 1+ π (ξ δ)F H[ (x]) =iξ 明证设 F
[ (x)]f= 1 iξ+ π δ ξ ()
f则(x = )F =1 2
1
[− fξ ()]= (ξδ )
eξxi
1
π2
∫
+
∫∞
∞−
+
∞
−
∞
2 π∞ −ξ ∫ i+ ∞1 siξn 1 x= +d 2 ξπ 0
ξ12
ξd +
1
iξ
∫ +∞
[
1
π+δ( )ξe]iξxd 1 eiξxdξ
ξ
{
1
=
意注∫
0
2 1 2
+1
2−12
x> x
0
∞+
insξ xξ
π
{d ξ
=2 π 2−
x>0
x
0例
符号函数求的 { 1 sng = −t 1的里傅叶换变
>0t
0
解 于 sg由n t 2H =(t − )1, 所有以
F[gsnt]= 2F [H ( )]−t F1[ = ] 2= iξ . 2i ξ2+π δξ ()2−π δ(ξ
)
性 质4设 方程 φ t = () 有0 m个 重 根t ,1t2 ,.... tm,, 则 有
1
3
[δφ(x] =
)m ∑ δ ( − tt ) kk=
|1′φ(x|
)
特 地 ,别 当t =10 为 一 根 时 个,有 δ () δ ta(t )= , a= 0̸ ,为a常 数 || a 当1t =a,− 2t= a, 两个为根 时 ,
有 (δ −ta )=2
2
δ t − a( + )δ t( a)+2 a|
, a|̸ = 0 ,a为 数常
傅里叶
变的换性质
.1 线 性性 质设ˆ(ξ ) = F [ fx)]( ,g f ˆξ )(= F [ g ()x] α,.β 是 常 数 则 ;(ˆ ) ξ+ βg F [α f x) + (βg x()] =αf ˆ( ξ. )ˆ( )ξ +β g F −[1αf ˆξ () ] αf (=)x β+g ().x2 位. 移 质
14性
设a, x0
(ˆξ) = Ff [x)( ] 均为f常; 数则ˆ(ξ ) . F f[(x − x 0]) =eiξ−0xf F −1[ (ξf a−) ] =iaxf (xe. 证) 明 由F 变 换 定 义 , 令 − x0 x =τ
则∫
=
F[ f x −( 0x]
)∞+
∫=
∞− +∞
(f x−x0)e− ξidx
x fτ )(−eiξτe− ξxi 0d.x
−∞
类似 地 也 可证明 第 二 式成 . 立 证毕.位 移 性质 的 物 理 义意 :当 一个 数函( 信 )号 沿 时 间轴移 动 后 它， 的 振幅 频 谱不 发生 变 ,化但 相 位 频 发谱生 变化 而 .位移 性 质 在 通 信 技 术中 被用 来 进行 频 移动.谱ˆ(
)ξ = [Ff (x] )a ̸ = 为0 3.常相 似性 质 设 f 数 则 1, ˆξ F [f ax)] (=f ) (|a| a特 别地 若取，a = −1 ,则可 得 翻 转 式 ˆ公−ξ() F [f (−x )]=
f15
证 明当
a> 0 ,时 令 t = a, x有∫ + F∞ [f ax(]) = (fxae)−ixdx
a=1
a
∫
∞ +∞
−
f(x e)
−
∞ξ − iat
t
d1ˆ ξ= f )(a a 当 a
.证
明由 ouFierr变 换的定 义 ,利 用分 部 积分 可得 ∫, ∞+F [ f (′x) ] f=′(x)e−i ξxxd−∞
61
f =()x−eξix|∞− + ∞ξi
∫
+∞
f
(x e)−ξixx
d−
∞
(ξ ) ˆ=iξ f
通过积分下号导求可，得∫ ∞ ˆ df ( )ξ d= −iξexx dξd d ξ∞− ∫ =∞ [ix−f ()]x−ieξdxx= [Fixf−(x ]
)∞−
证
毕 . 论推1 .若 il|xm→∞| f ()x= 0, 0 , ，1 ... , − 1,n
ˆ则( ξ) F f[( n)()] =x iξ() f 2n.象 数函 的高阶 导 数: dn ˆ n n ( fξ) =( − i ) F [ xf ( x])n d ξ5 积性质分∫x 设 g ( ) = −x ∞f τ()d τ若 lmx→+∞ig x( ) 0= ,则∫ x ˆ1 [ F f( τd)τ] f= ξ )(i ξ∞
1−
k7 =
证
由明 于g′( x ) f= x( ) 根 据微 分性 质,
F有[ f x)(]= F [ ′(gx)] =i Fξ[ (x)]
g由
可此得出
∫
F
[
1ˆ f ( )dτ ] τ= f (ξ )iξ −
∞
x
证毕
. 若 极限 limx→+ ∞ (gx )= ∫∞ 注 1 :ˆ0) ̸(= 0, 则对 g ( ) 不xf (x dτ) |ξ0== f ∞−能 应 微用 分性 ， 从 质 上而式 不 立成. 此 ， 积 时 分性质修要为改 ∫ 1xˆ ˆ(0) δ0()F[ f τ (d)τ] =f ξ ( ) π+f ξ i∞− 证略.
毕6. 卷与积卷定理
积定义 1 设 fx) ( g 和x)(在 −∞,(∞) 内 定义, 积分若∫ f∞( ) gx(x ) f (τ=)g x(− τd)τ
∞−
1
8
存
在 则 称， 它 为 fx) (和g ( )x的 积卷 ,记 作 (x)f g( ).x1 f .()xg ()x =g x( f )()
x2.( f ()x (x))hg (x)) h(x) = fx()(g x))(
3.
f (x )g (()x+ h (x)= f (x ) (xf) h()
(xg x)( +
明证 则
:.1 由 卷积 定 义 ， 令 − x = τ, −tτd= dt,
f ∫() x (gx =)
∞∫
=
−
∞
∞
(f τg () − x )dττf (x)
−∞
(xf− t)g t)d(t =g ( x)
卷
定积理ˆ
( ξ )= Ff [(x]),设 f有
1
9g
(ˆ ξ)= Fg[ ()]x ,则
ˆ(ξ
ˆ ) (gx)] f=g ( ξ) ˆ1F f (x[g ()x) = f (]ξ ) ˆgξ() 2π证明由 卷及积F 换的变定义有，
F[f ()
xf( )gτ x ( τ− d) τe]−ξxdxi∫ ∞ ∞− − ∞ ∫∞= f (τ e)−ξτi [g (x− )τe−ξ(ixτ−) x]ddτ −∞−∞ ∫ ∞ ∫ ∞ = (fτ e−i)τ dτ [ξ g( te−iξ)t(d)] t
−= −∞
∞
∫
∞
[∫
∞
F
f[( )
xg (
x])
ˆξ () ˆ= f gξ()
1 例求函数f (t)
=H ( t)−e 和 g tt) =
(
{ , | t|1 ≤1
0 ,
| |t > 1 的 卷,积 其 H (中t) 是单位跳跃函 数.
02
解 :卷积由义及交换律定 ∫∞f (t ) gt) = f (( )τg ( t−τ ) τd− ∞ ∞∫ f (t− τ) (g τd)τ
=−
∞
当t
g) (t) =0
当
− 1≤ ≤ 1t τ ∈ ,−1, [t] ⇒ (f −t τ g) (τ )̸= 0从 而∫ f
( t) g () t=−1
te(−−τt )τd= 1− e (t+−1)
当
t >1, τ ∈ [ −,1 1 ⇒ ]f ( t−τ ) g( τ )̸= 从0 ∫
f 而(t g) (t )
=− 1
e1(−−tτ )dτ= (e e−1)−et
2−
1
0 , t −1例 证明2积卷式:公δ
t − () ∗ fa( t = )f ( t −)a 明证 由卷积:定义及选性质筛式知立成 : ∫∞δ (t a−∗f) (t =)δ (τ −af) t(−τ )τ = fd (ta−
)−
∞以有所
例3证明:
δ ( t−a) ∗ δt ( −b) =δ (t − a −)b
证
: 应明用积定卷理及 δ 数函傅里的变叶
换，易 出得F
δ (t [ a)− ∗ (tδ− b ) ]= F [ (tδ − a)]F[ δ (t− b) ]= e−ωaie−ωb i e−=iωa(+) =b F[ (t −δ − ba)]两 作边 F逆变换, 可得出 .F −1 Fδ ([t− ) a δ∗( t −b)]= −F1F[δ (t a − b−])
2
证2毕 .例 求下3两列个数的函积:卷si n t sainbt fa () = t,fb( )t= 其 中a > 0,b 0>.πt t π 已知函数 {解1 | t| ≤, a φ(t)a =0, |t >|a F 变的换 为si2aωnF φ[a(t)]= = 2πfa ( ω.)ω 设 c= mina(, b)，显 有:然{ 1 φa(
)φtbt)( φ=(t)c= ,0| t ≤| |ct| >
c用利卷积理定式
F[ fx(g ()x)]= (ξˆ )f
1 ˆ (fξ) g ˆξ )(2π g ˆ ξ() =2 π F[ fx)g( ()]xφb( t =)2 πF [aφt(φb)(t))]
23
即
φat)
(=
π F2[φc ( ω)]=
4π si ncωω 1
(2 π)2
上
式中 的ω 换 成,t两 边 乘以
fat( fb(t) =
换),后 可
得
sin c
ttπ 例4 设 f () t= eβt− (H) tcso ,tβ > 0 求, [F ft)]
(解
:由于 :F [
e−
βt
H ()] =t
1 +βj ω
1 F [ csax] =o [Fe ixa+eiax]− π [= δ(ξ− a+) δ( +ξa )] 利用2卷积定理及关式 于δ 函数的积公式 δ卷(t − a) ∗ f (t =) (ft− a)
F有[ f ()t ]== 1 1 1π 2β jω 1+ [ (ξ δ a−)+ δ ( ξ +) a]+ 1
21 +βj (ω +a
)2
β j (ω − +)
a42
例 5
设 ft( )=H t(− b )oc ts,β > 0, 求 F [f( )t ]:解 由:于j
1 ω F[H (t − )b] [ =+ δ (π ω)] ejb− ωjω 1jb− ωe+ πδ(ω ) =jω F [ csao]x= π[ δξ (−a ) δ +ξ +( a )] 用卷利积理定及式于关δ 数的函积公卷式 及δ( −t a ∗)δ ( −tb) = δ ( t a− −b) F[ H( t) =] 1 +πδ ω( )
有
F [f(t) ]= 1π jω2 1[ ejb− +ωδπ( ω])π δ[(ξ a−)+δ(ξ a)+ ]
1
e−j(ωb+)a1 −jb(e−ω)aπ +]+ [ (ξ δ−)aδ+ ( +ξa )] = [2 j (ω+ a ) j (ω 2−a 2
例 ) 5解微分求积分方:程∫ t f(t′) −a 2 (f τ)τ d =−ae||t
−
∞5
(2 >a0)
∫ˆ0) =( f
∞
f ( )ττ = 0d−
∞
:解应用微 性分与质积分性，质对程方两作边 F 换可得变 2 aa 2ˆ jωˆf ( ω )− f ω ( =)2 .2 jω ω +aˆ(
ω )= f 2jω (ωa2 j +a)22= 1 d 2 ωd 2ω2 a +a .2
=
F [−jt−e|t|a] .2 ˆ (ξ) =e−a ξ t (t > )0 傅的里 . 证1明函数 f叶 变换逆 x为21 1− ˆf (x = F [f) ξ( ] = √ exp)( − 2). 4at 2a t
π
1. 5维一热导方传的初 值程题问 2
2
2
证6 利用明分积部及分分性微，质有 ∫ + ∞1 2 2f x() =e−a teξiξx d ξ2 −π∞ ∫ + ∞ 1 2 1 =+∞2 iξ x−2aξ 2 e a ξ teiξx|ξ −−e d e= ξ =−∞ 2 πx iπix2−∞ ∫ ∞ 2 +a 2t1 − a 2 ξ t2 iξ =x −[iξ e ed]ξt 2π −∞ 22 a t fd (x )a2t −12ˆ F i[ξf ξ (])= − =−. x dxx所 以f x)(满足 f (d) x x +f () = 0x , 2 dx2 a t ∫ ∞ +∫+ ∞ 112 2 2 f0()= −ea ξ tξ = ed− ηd √ η2 −π ∞π2a t− ∞ √ 1 = √ (令 η = ξ ta)2a πt 证毕. +∫∞1 ˆ(ξ e)ixξd ξf f( )x= 2 −∞π
27
可 得∫
+
∞
e
−
∞
−a2 ξ2
e
xiξ=
1a
√
π
ext(−p
x
24 2ta
)
注意.、奇函偶数的积性质，上式也分是 就√ +∫∞2 1 π 2x2 e−a ξ tos cξxdξ = ep(x −2 .)2 t a4at 0
2. 求 解维一热传方导的程值初题
问
{u t − a2ux x =f x(,t ) (− ∞ x )0u(
,x0) = φ ()
x记
uˆ ξ, ()t 函 数 为ux(,t) 关 于 x的 F 变 (ˆ, t)ξ = Ff (x[ t,]) ，φ 换 ， fˆ( ξ = ) F[(x)φ ，利]用 F 换的变分微质，有
性F[ux ] =x (ξ i2)uˆ = −ξ 2u .ˆ对 题作 F问 换变得
28可
ˆ(ξ ,) t(t 0> ) ˆu t + a ξ 22u ˆ f = ˆ(ξ,u ) 0 φ= (ˆ ξ
)题
.这是含数 参 的ξ阶一常微分方程的值问初方 程的通解为
∫ t
2 2ˆξ( , τea2ξ2τ) τd+ C]. uˆ( , ξ) t =−e a ξt[f
0
由初条件可始得 C=φ (ˆξ) ， 从而 ∫
+
0 ˆu(ξ t, =)φ ˆ( ξ)
−ea ξ 2 t2
t
ˆξ, ( )eτa2ξ−2(tτ − )d τ. f
得
上
对式 ξ F作 逆变换 ， 应用 积卷 质性 ,
可
92
u(x
,t = F )−[ˆ 1uξ(, )]
2t1 − x2 = φ()x∗ e√ a4t 2 aπt ∫ t 2 −12 x√+ f ( ,x )τ ∗ e 4 a(t− )τd τ2 aπ (t− τ 0 ) +∞ ( x∫ ξ−) 2 1 − = √φ( )e 4aξ2 tdξ 2aπt ∞ ∫−t ∫ +∞ −ξ ) 2 f1( , τ ) ξ− x ( 4ae(t−τ 2 d)dξτ .+ √√ 2a π 0∞−t− τ
半
无界散扩题
问2 u− uax = 0x x(> 0, t>0) t u (,x ) = 0 0 u 0(, t) n=(n为 实数
3)
0 令u =v(x, t) +n ，则 v x(, t)满 足 vt − a2xv x 0= ( > x0 , t >0) v(, x) = 0− (xn> 0) v (0 ,t =)0
将初条始作奇件拓延得， { n−, >x
v0 x, (0)= φ (x)= , n
从0而构成界无域的上热传导题 问{ t v− 2vaxx = 0 (− 0)
v(, 0) =xφ x)
(13
由例 可得
前ux,( ) = n+t a2πt n
√ ∫
[
0e
x−( ξ2) − a4 2t
∫
dξ− 0
+∞
e
−
x(ξ )− 24a t2
dξ
]−
∞
x
−ξ上式 端右一个积第令 z = √分; 而在 第 2 taξ x−二个 积中令分z = √ 可，得 2 a t ∫x2a/t√ ∫+∞n 2 z−2 e− z d z+ e u(x ,)t = n− √ [z d √ n]+ −∞/2ax tn =n − √π
∫
√
/2a xt
√
−x2a/t
e
−
z2
2n dz
= n−√ π
0
√ ∫/2ax t
x x =
n − n ·er f ( ) =√n erf (c√ ) . 2 a ta2
t其，中2
efr(x) = √
π
0
x∫
e− dzz2
是
误 差 数函， e f r(x)c= 1 −rf e() 是x 误差 余 数.函
半平
的稳定面问题
3
2
解求平半面的利克雷问狄题 :u x +xuyy =0 −(∞ (u, 0x)= f ()x iml2 2 2r→ ∞ u+(x,y ) = 0, r =x +
yˆ(ξ ) 别 分 为(x,uy 和)f (x )记 uˆ(, y ξ ) f和 x 的对傅里叶换变. 问对式题 F作变 ，有
换 uyy ˆ− ξ2 uˆ = 0( > 0y) ˆ(ξ u ˆ(ξ,) 0)=
由 f于 → u0 ( r当 →∞ )， 所以 当 y →+∞时 有 +∫ u∞ (ξˆ ,y) = (x,uy )e−i ξ xxd→ 0.
−
∞33
方程 u
yy ˆ−ξ u2
ˆ = 的0解通为u ˆ(ξ,
y ) =C e1|−ξy|+ C2|e|y .ξ
由式u ˆ( ξ,y ) = 0(当 . y +→)∞
∫
+∞ −∞
u(, y )xe−iξ dxx
→
从而
(ˆξ) 可.知 C 2= 0 ; 再 由 界条 件 得边C 1=f
(ˆ )e−ξ||ξy u .(ˆξ, )y = f
由
于F−1
e[
−ξ ||y
]
=
1
∫
+
∞
2π − ∞∫ 0 ∫∞+1 = [ e yξiξ+x ξd +e−ξ y+ξx iξ] 2π d∞−0 1 1 1 y = (+) =. 22 2π y +i yx −ix π( +xy
)
e−ξ|y| iξex xd
应用
卷积定理作 F， 逆换可得变
3
4
u
(x,y ) =F= π
−y1
[
ˆ (ξu, y)] =f x)(∗ f ξ() (x − ξ ) +2y2
y π(x 2 + 2y
)∫
+
∞
d
.
ξ
−
∞
这是半平就的泊松面公.式求解调 方和程第二的值问边题 : xu x+ yy u=0 −(∞ x) 0 u y x( ,) 0 =os ca (a x> ) 0 lmiy +∞→u x, y( )= 0 , 记 ˆ(ξu,y ) =F[u (x,y ) ]为 对 x 傅的 叶 变换. 对里题问边 作 两F 变，有
换35
2 u ˆ− ξu ˆ = 0( > y) yy0 u yˆ(ξ ,0) = πδ[( ξ− a +) δ( + ξa ) ] lim ˆξ,( y = 0 ,)y →+∞ u 程方u ˆyy − 2ξuˆ = 0 的通 解
u 为ˆξ,(y ) =Ce1−|ξy |+ Ce2ξ||y.
由
u 式(ˆξ, y ) =0 (当 y . +∞)→可 知 C 2=0
C1;= − πξ |
|∫+∞
−
∞(x,u ye−i)ξx dx
[δ→ (ξ −)a +δ ( ξ+a )
从
π而 |ξ |
uˆ ξ( , ) y=−
[
(ξ δ− )a δ +( + aξ)] −|eξy
3|6
作F 逆 变可得换
(x, yu ) = F−1[ u(ˆ,ξ y)]
=
1 2π
−
+∞
∫π
| ξ
|
∞−
[
δ(ξ −a )+ (δξ a+)] e−ξ|| y−jξxed ξ (−eajx ejax)+
−
=
1−|e|ya2π ||
a这
是就平面半泊松的式.公注 1 : 利 用式上容易 出二得维调和方的程 依诺曼 ( euNamnn 问) 题
3
7
{
ux + uyxy =0 −(∞ )0
y ux(,0 ) g =()x
的 .解事 实 上， v令 x, y )(= uy (x y ),， 则有 vx{ x +yy = (uxvx+ uyy y ) 0=v (x
,0) =g x)(
这是数 v 的函利狄克雷问题，解为其 ∫
v
x, y ) =(
yπ
+
∞
g (ξ )(x − ξ2) +y2
d
.ξ
−
∞
38
而从
(xu,y )=
∫
y
vx,( y) η + c
yd0
=
==
1
∫
y∫
η+
∞g
( )ξξ 2 + η)η
2π
y 0∫1 +∞
−∞
( x− ∫y
0
dξydη+ dηcd ξ+ cξd + c,
π− ∫∞ ∞ +1 2
−∞
π
g( )ξ g ( ξ)l n
(
x −+ (x − ξ )2+ y 2ξ ) η22 x −(ξ )2 +2
y
0
其 中 y， > 00， c 任为 意 常 数
.9
3
70..1
三维拉普拉
斯方的程本解
基基 解 本E x,(y , z) 满方 程足
∆E Exx≡+yE +yEzz= δ (x, y, z (−)∞
+
∞
(ξˆ ,, ζη ) = [E ] =F
−E
∞E (x
, ,y z )ei−(x+yξη+zζ )dxdy
注
意: (x,δy ,z ) = δ x)( δy ()δ z() ， 有 F[ δ(x ,, z y] ) ， =1 对程方 作重三 变F，换 应微用性质分 得ˆ =,1 (−ξ2 +η 2 ζ 2)E+ˆ=−
E 1 ξ2 +η 2 ζ2+ .
再
作F 逆变换，
有+ √ √ 222 记 r = x +y z+ ，ρ = ξ2+ η +2ζ 2 ， 球用坐来标计算面上的积，取分 轴ζ向为方r = (x,y , ) 方 向z，
则 xξ + yη +zζ r= cos θ
−∞
ρE x, y, (z ) =
−
1(2 π)3
+∞
eixξ(yη++ζz ) 2 ξ+ η2ζ 2
ξdddζ η
.
4
0
从而
E (
x y,, z )= = =−1(2π )3 −∫1
∫
+
∞
0∫π
2π
∫
π
0
eriρc os θρ2
ρ2
si θndθdφ
d
+∞
∫0
π 24 0 ∫0+ ∞irρ− e 1 −e−iρr 2 2π0
e
ir ρoscθ s i nθdθ dρd ρ
2ir
ρ∫ 1 −+ si∞nr ρ 1 d= ρ= − 2.2π 0 rρ π4r 面上最后个一号利等了狄利克雷积分用 ∫ ∞ sin+x dπx= . x20 此基解在边值问题的格本函数法林中应 用有 .注2 对一:的般泊方程松uxx uy+y+uz = z fx,( y, z ()∞− x,
用应基解 (本.075. ) 可，出一得 特 个 为 f 与 解基本 解 E 的三重卷积u( x y, , z) = f( x, ,yz ) ∗ E (x ,y z,) +
∞
=
−∞
(ξf η,,ζ ) E( x −ξ, y − η z , − )ζ ξdd
η1
4事
上，基本实解 对E x y，， z分别 求阶导二数 后相可得加∆ E(x − ξ ,y− η , z− ζ)= δ (x −ξ , y− η z,− ζ ) ,而
从+
∆u∞(,xy z, =)
∞−+ ∞
f (ξ η,, ζ∆E )x(− , ξy− , η z− ζ d)
=
−∞
f
(ξ, ,ηζ ) (δ ξ− x, η −y ζ, −z ) d ξ
d=
f (x ,, yz ).
上
面用应 了 函δ数偶函数及筛选是性质 .ˆ∂f , 甚 至是 形式 复更 的杂函 数 的Foriue fr∂x j( ) ∂ f 换变 ,一 般 是在 ∂ x的右 上排印角那表个示
jFurioer 换 的 变 号符.我 遍 我 找所知 道的 符 号 ,表 试图 查到 如 何 输. 入但有找没到. 比较单的办简是分法别用∨ 和 ∧ 作上为. 但这标生样的符号比成较,大形 与 若 状是 用及 ˆ 9ˇ 作 为 上标 也, 比 方 便较 , 果效比 上一 方 法 好 . 些但 排出 来 符 号的太 小 . 了 此因我 定 新义命,令
来输
入
(
∂f ∂xj
24
)
的F urier 变 o换 ,我感觉果效还 算 理 想.
4
3