不等式的应用最值问题
教学目标
1．深刻理解不等式中，两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一定理，即平均值定理． 2．熟练应用平均值定理，求某些问题的最值．
3．培养学生严谨的思维品质，以及对数学思想方法的理解和运用，提高学生灵活运用所学知识解决问题的能力． 教学重点与难点
平均值定理适用的条件，及其变形使用． 教学过程设计
（一）不等式平均值定理的功能
师：不等式平均值定理的内容是：若干个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．即： 如果a 1，a 2，a 3，„，a n ∈R +且n ∈N +，n ＞1，那么
在高中阶段，我们只要求同学掌握两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．请同学用数学表达式表示上述定理．
（教师板书）
师：由两个不等式的结构来看，它们的功能是：从左往右可以把和的形式缩小为积的形式；从右往左可以把积的形式扩大为和的形式．为了使用方便，通常把不等式变形为
由于平均值定理在特殊形式下，可以进行放缩变换，因而它在数学中，可以作为用综合法证明不等式的依据，还可以作为求最值问题的工具．
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今天，我们主要研究应用平均值定理求最值的问题． （二）应用平均值定理求函数的最值
例1 当0＜x ＜2时，求函数y=x（2-x ）的最大值．
师：函数y=x（2-x ）是积的形式，求最大值实质是要做什么样的转化？ 生：可以使用平均值定理把积的形式转化成和的形式． 师：平均值定理是对正数而言的，由于x ，2-x 都是正数，所以
在什么条件下“≤”取“=”号？
生：当且仅当x=2-x，即x=1时，取等号．此时，y 的最大值为1． 师：把积的形式化为和的形式，这个和应该为定值才行．
从而求出最小值． （教师板书）
解：由x ＞1，知x-1＞0．则
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中等号成立．
所以当x=2时，y 的最小值为6．
师：运用平均值定理求函数的最值时，必须要有和的定值或积的定值出现．即
①，当且仅当a=b时．取“=”号．
（定值）②，当且仅当a=b=c时，取“=”号． 不等式①②可以在求函数的最大值时使用．
③，当且仅当a=b时，取“=”号．
值）④，当且仅当a=b=c时，取“=”号． 不等式③，④可以在求函数的最小值时使用．
例2 中对函数式的运算结构稍做变化，就可以使用定理了． 例3 填空题：
师：请同学来分析（1）． 生甲：由于x ＞0，则
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生乙：我的做法与甲同学不一样． 由于x ＞0，则
师：甲、乙两位同学对函数式的变形采取了不同的方法，但都得到了定积，谁是谁非呢？
师：分析的很好！在拆、凑函数式的时候，除了要考虑能否得到“定积”或“定和”以外，还要顾及使用平均值定理后，能否取“=”号．这一条件如果思维不严密，就会出现错误．
由学生自己解（2）． （板书如下）
y=x·（5-2x ）=x·x ·（5-2x ）
2
如果学生的板书有漏洞或错误，教师可以边纠正，边总结应用平均值定理求函数最值的步骤． 如果学生板书没有问题，教师可以请学生总结步骤．并进行适当的引导或补充． 应用平均值定理求函数的最值，要注意的问题有：
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（1）函数式中诸元素是否为正数； （2）诸元素的和或积是否为定值； （3）判断“=”是否成立． （三）灵活运用平均值定理求最值
师：此题为三角函数求最值的问题，应从何处入手？
用平均值定理求最大值，但sin x+cos2x不是定值，因此，应从配、凑和为定值入手．师：函数式中涉及到正、余弦两种三角函数，可以利用同角的平方关系进行转化．
（2sin 2
x+cos2
x+cos2
x ）为定值；即可求出y 2
的最大值．
师：对函数式的变形是灵活多样的，但宗旨都是使和或积为定值． 例5 若正数x ，y 满足6x+5y=36，求xy 的最大值． 教师可以先让学生进行讨论，然后再请一位同学发言． 生：已知是两正数和的等式．要求两数积的最大值，可以由
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（板书如下）
解：由于x ，y 为正数，则6x ，5y 也是正数，所以
当且仅当6x=5y时，取“=”号．
师：函数式中含有根式，不容易看出定积是否存在，用什么方法解决这个问题？ 生：可以先用换元法把根式去掉，再把函数式进行转化．
师：换元法是常用的数学思想方法，能帮助我们把复杂问题简单化． （四）不等式在应用问题中的应用
例7 已知：长方体的全面积为定值S ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．
师：经过审题可以看出，长方体的全面积S 是定值．因此最大值一定要用S 来表示．首要问题是列出函数关系式． 生：设长方体体积为y ，其长、宽、高分别为a ，b ，c ，则y=abc．由于a+b+c不是定值，所以肯定要对函数式进行变形．
生：我受例4的启发，发现可以利用平均值定理先求出y 的最大值，这样y 的最大值也就可以求出来了． 解法如下：
解：设长方体的体积为y ，长、宽、高分别是为a ，b ，c ，则
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2
y=abc，2ab+2bc+2ac=S．
而
y =（abc ）=（ab ）（bc ）（ac ）
2
2
当且仅当ab=bc=ac，即a=b=c时，上式取“=”号，y 2
有最小值
师：对应用问题的处理，关键是把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求最值的基本保证。（五）布置作业： 1．选择题：
（1）设a ，b 为实数，且a+b=3，那么2a +2b
的最小值是 [ ]。
（2）设a ＞0，b ＞0，且2a+5b=200，那么lg a+lg b满足 [ ]。 A ．当 a=50，b=20时，取最大值 5 B ．当a=50，b=20时，取最大值3 C ．当a=50，b=20时，取最小值 5 D ．当 a=50，b=20时，取最小值 3
（3）x ，y 是满足2x+y-1=0的正实数，那么x 2
y [ ]。
2．填空题：
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3．当0＜x ＜1时，求y=x（1-x ）的最大值。
2
5．用一块正方形的白铁片，在它的四个角各剪去一个相等的小正方形，制成一个无盖的盒子，问当小正方形的边长为多大时，制成的盒子才有最大的体积？并求出这个体积。
材料每平方米 3元，用作侧面的材料每平方米2元，问怎样设计容器的尺寸，才能使制作的成本最低（不计拼接时用料和其它损耗）。
作业答案或提示：
1．选择题：（1）B ；（2）B ；（3）B 。
5．设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为x ，盒子的体积是
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课堂教学设计说明
本课以平均值定理的应用为主线，例1，例2从抓典型思路入手，引导学生积极参与，使学生掌握求最值的一般方法，例3，例4则是通过对典型错误的辨析和纠正，加深了学生对定理条件的理解，进一步激发了学生的学习兴趣，提高了思维的严谨性，在此基础上，例5，例6则突出了化归转化和换元法在解题中的作用，使学生认识到数学思想方法就是运用数学知识分析问题和解决问题的观点，方法、解题中的很多错误，都是因为对思想方法的认识肤浅造成的，只有领悟思想方法的实质，才能不断提高解题能力和纠错、防错能力．
例7是为了提高学生解决实际问题的意识而设计的．但如果时间不够，可以专门设计一节课，利用平均值定理解应用问题．
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