圆锥曲线总复习

圆锥曲线

1.圆锥曲线的定义：

（1）定义中要重视“括号”内的限制条件：

椭圆中，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数

x2y25

如（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆1有

942

公共焦点，则该双曲线的方程_______；

（2）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e

2a，且此常数2a一定要大于F1F2

轨迹是线段F1F2，当常数小于

，当常数等于

F1F2

时，

2的双曲线C过点P(4,)，则C的方程为

F1F2

时，无轨迹；

双曲线中，平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|且大于0，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一

支。

抛物线定义中，定点和定直线是焦点和准线，要注意定点不在定直线上，否则轨迹为过定点且和定直线垂直的直线.

如①已知定点F1(3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是

A．PF 1PF24

B．PF 1PF26C．

_______

（3）抛物线：

y22px(p0)， 2

开口向左时y2px(p0)，

2

开口向上时x2py(p0)，

2

开口向下时x2py(p0)。

开口向右时

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x

2

,

y

2

分母的大小决定，焦点在分母大

y

的坐标轴上。如已知方程

x2y2

1表示焦点在

m12m

,

轴上的椭圆，则m的取值范围是__

（2）双曲线：由x

2

PF1PF2

2

10

2

y

2

项系数的正负决定，焦点在系

D．PF1②

方程

PF2

12；

8表示的曲

数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数

线是_____

（2）抛物线定义给出了抛物线上的点到焦点距离与此点到准线距离间的关系，要善于运用定义对它们进行相互转化。 如抛物线y

2x上的两点A、B到焦点的距离和是5，则

线段AB的中点到y轴的距离为______；

x2

已知点Q(22,0)及抛物线y

4

上一动点P（x,y）,

2

a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定

形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，a

2

b2c2，在双曲线中，c最大，

c2a2b2。

4.圆锥曲线的几何性质：

则y+|PQ|的最小值是_____

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

x2y2

（1）椭圆：焦点在x轴上时221（ab0）

ab

xacos，焦点在y轴ybsin（参数方程，其中为参数）



y2x2

上时22

ab

＝1（a22

b0）。方程AxByC表

示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A

≠B）。

x2y2

如（1）已知方程1表示椭圆，则k

3k2k

取值范围为____；

x2y2

（1）椭圆（以221（ab0）为例）：①

ab

范围：axa,byb；②焦点：两个焦点(c,0)；③对称性：两条对称轴x0,y0，一个对称中心（0,0），四个顶点(a,0),(0,b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；

c

⑤离心率：e，椭圆0e1，e越小，椭圆越圆；

a

e越大，椭圆越扁。

x2y2如（1）若椭圆，则m的1的离心率e

5m5

值是__；

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__

的

22

（2）若x,yR，且3x2y6，则xy的最大

值是____，x

2

y2的最小值是___

x2y2

（2）双曲线：焦点在x轴上：22 =1，焦点在y

ab

y2x222

22＝1（a0,b0）。方程AxByC

ab

表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。

x2y2

21（a0,b0）为例）（2）双曲线（以：2ab

①范围：xa或xa,yR；②焦点：两个焦点(c,0)；③对称性：两条对称轴x0,y0，一个对称中心（0,0），两个顶点(a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2y2k,k0；④准线：两条准线

ca2

x； ⑤离心率：e，双曲线e1ac

曲线

ee越小，开口越小，e越大，开口越大；

b

⑥两条渐近线：yx。

a

如（1）双曲线的渐近线方程是3x2y0，则该双曲线

的离心率等于______；

（2）双曲线ax

2

0直线与椭圆相离；0直

线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。

（3）相离：

特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；

x2y2

（2）过双曲线22

ab

＝1外一点P(x0,y0)的直线与

by2

1a:bx2y2

（3）设双曲线221（a>0,b>0）中，离心率e∈

ab

[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________；

2

（3）抛物线（以y2px(p0)为例）：①范围：

p

x0,yR；②焦点：一个焦点(,0)，其中p的几何意

2

义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y0，没

p

有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线x；

2

c

⑤离心率：e，抛物线e1。如设a0,aR，

a2

则抛物线y4ax的焦点坐标为________；

x2y2

5、点P(x0,y0)和椭圆221（ab0）的

ab

关系：

22

x0y0

（1）点P(x0,y0)在椭圆外221；

ab22x0y0

（2）点P(x0,y0)在椭圆上22＝1；

ab22x0y0

（3）点P(x0,y0)在椭圆内221

ab

双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间

且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；

（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

如（1）过点(2,4)作直线与抛物线y点，这样的直线有______；

2

8x只有一个公共

y2

（3）过双曲线x1的右焦点作直线l交双曲线于

2

A、B两点，若AB4，则满足条件的直线l有____条

2

4x，我们称满足y024x0

的点M(x0,y0)在抛物线的内部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y2(xx0)与抛物线C的位置关系是

（4）对于抛物线C：y

2

_______；

（5）过抛物线y

2

4x的焦点F

作一直线交抛物线于P、

Q两点，若线段PF与FQ的长分别是

p

、

q

，则

11

_______； pq

（7）求椭圆

7x24y228上的点到直线

3x2y160的最短距离；

yax1与双曲线3x2y21交于A、B

两点。①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？②

（8）直线

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

0直线与椭圆相交； 0直

线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直

（1）相交：

线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故

当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？

8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点

0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条

件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充

分条件，但不是必要条件。

22

如（1）若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______；

（2）直线y―kx―1=0与椭圆则m的取值范围是_______；

P(x0,y0)到两焦点F1,F2的距离分别

x2y2

S，则在椭圆221为r焦点F1,r2，1PF2的面积为

ab

2b2

中， ①＝1)，且当r1r2即P为短轴端

r1r2

点时，②S

xy1恒有公共点，5m

22



最大为



ma＝x

b2c2

arccos

a2

；

b2tan



2

x2y2

1的右焦点直线交双曲线于A、（3）过双曲线12

B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条；

c|y0|，当|y0|b即P为短轴端点时，

x2y2

Smax的最大值为bc；对于双曲线221的焦点三角形

ab

0直线与椭圆相切；0直

线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；

（2）相切：

有：①

2b2

arccos1rr

12

；

b2x0k=2

ay0

；在抛物线

y22px(p0)中，以P(x0,y0)为

py0

。

12

②Sr1r2sinbcot。

22

如（1）短轴长为

中点的弦所在直线的斜率k=

，离心率e

2

的椭圆的两焦点为3

F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周

长为________

x2y2

1弦被点如（1）如果椭圆

369

那么这条弦所在的直线方程是 ；

A（4，2）平分，

x2y2

1的焦点为F1、F2，点P为椭圆上（3）椭圆94

→→

的动点，当PF2 ·PF1

x2y2

（2）已知直线y=－x+1与椭圆221(ab0)

ab

相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，

则此椭圆的离心率为（答：(； ）x2y2

试确定m的取值范围，使得椭圆551上有

（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝

6

2

43

，F1、F2是它

不同的两点关于直线

的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且

； y4xm对称（答：

特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必

AB是AF2

与

BF2

等差中项，则

AB＝__________

要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验

0！

12．你了解下列结论吗？

2222yyxx（1）双曲线21的渐近线方程为220； 2

abab

22

byx（2）以yx为渐近线（即与双曲线21共2aab

22

yx渐近线）的双曲线方程为(为参数，≠0）。22

ab

（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且F1PF2

60，SPF1F23．求

该双曲线的标准方程；

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则

PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，22

xy反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C如与双曲线1有共同的渐近线，且过点(3,2)916三点共线。

的双曲线方程为_______ 10、弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可

A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB

＝22

设为mxny1；

1x2

＝

，若

y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB

，若弦AB所在直线方程设为

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）



1

y1y22k

2b2为

a

，抛物线的通径为2p，焦准距为p；

xkyb，则AB

1y2

。特别地，焦点弦

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；(双

曲线除外)

（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______；

（2）过抛物线

y22px(p0)的焦点弦为AB，

A(x1,y1),B(x2,y2)，则①|AB|x1x2p；

（6）若抛物线

y22x焦点的直线交抛物线于A、B两

p2

,y1y2p2 ②x1x24

点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______；

11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达

y22px(p0)顶点O的

两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0)

（7）若OA、OB是过抛物线

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量u（2）给出与

xy

定理”或“点差法”求解。在椭圆221中，以

ab

b2x0

P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=－2；在双曲

ay0x2y2

线221中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率ab

22





1,k或um,n；

AB相交,等于已知过



（3）给出0,等于已知P是MN的中点; （5） 给出以下情形之一：①//；②存在实数



,使；③若存在实数



,,且1,使OCOAOB,等于已知

AB

的中点;

A,B,C三点共线.

MAMB0,等于已知MAMB,即

AMB是直角,给出MAMBm0,等于已知AMB是钝角, 给出MAMBm0,等于已知

（7） 给出

AMB是锐角,



（8）

给出,等于已知MP是

AMB的平分线/

（9）在平行四边形ABCD中，给出()()0，等于已知ABCD是菱形;

（10） 在平行四边形ABCD中，给出

ABCD是矩形; |ABAD||AB，等于已知A|D

（11）在ABC中，给出OA

2

OBOC

22

，等于

已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外

心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在ABC中，给出，等

给

出

于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（

13

）

在

ABC

中，

，等于已知O是ABC

的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

ABC在中，给出

ABAC)(R)等于已知(|AB||AC|

通过ABC的内心；

1

ABAC,等于（16） 在ABC中，给出AD2

已知AD是ABC中BC边的中线;

（

14

）

