DA广东省茂名市中考真题

茂名市 2009 年初中毕业生学业考试 与高中阶段学校招生考试 数学试题参考答案及评分标准

说明：1．如果考生的解与本解法不同，可根据试题的主要内容，并参照评分标准制定相应 的评分细则后评卷． 2．解答题右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分． ） 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 D 5 B 6 A 7 A 8 C 9 B 10 D

二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分． ） 11．1 12．

1 2

13．2

14．60

15．110

三、 （本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分． ） 16． （1）解：原式  1 2  8 ······························ 2 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ·········

 4 ． ··········· ··········· ·········· ··· 分 ··········· ·········· ··········· ·· 4 ·········· ··········· ··········· ··

（2）解：由① －② 得： y  3 ， ····························· 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ······· 2 ∴ y  3 代入① 把 得： x  2 ， ································ 分 ··········· ·········· ·········· 3 ·········· ··········· ··········

∴ 方程组的解为 

 x  2， ··········· ··········· ·········· ··· 分 ··········· ·········· ··········· ·· 4 ·········· ··········· ··········· ··  y  3.

17．解： （1）列表（或树状图）得：

a

b

1 2 3 4

1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）

2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）

3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）

4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）

因此，点 A(a，b) 的个数共有 16 个； ···························· 分 ··········· ·········· ······ 4 ·········· ··········· ······ （2）若点 A 在 y  x 上，则 a  b ， 由（1）得 P(a b ) 

4 1  ， 16 4 1 ． ···················8 分 ··········· ········ ·········· ········ 4

因此，点 A(a，b) 在函数 y  x 图象上的概率为 18．解：如图所示：每画对一个 3 分，共 6 分．

△ ABC 与 △A1B1C1 不一定全等． ····························· 8 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ·······

·

B1

B

A1

C1 B1

A

C A1 C1

四、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分． ） 19、解： （1）九年级捐书数为：1000× 30%× 4=1200（本） ····················· 1 分 ··········· ·········· ·········· ·········· · 八年级捐书数为：1000× 35%× = 2100（本）························ 分 6 ··········· ·········· ·· 2 ·········· ··········· ·· 七年级捐书数为：1000× 35%× =700（本）························· 分 2 ··········· ·········· ··· 3 ·········· ··········· ··· ∴ 捐书总本数为：1200＋2100＋700=4000（本）······················ 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· 5 因此，该校学生捐图书的总本数为 4000 本． ························ 分 ··········· ·········· ·· 6 ·········· ··········· ·· （2）4000÷ 1000=4（本） ··································· 分 ··········· ·········· ··········· ·· 7 ·········· ··········· ··········· ·· 因此，该校平均每人捐图书 4 本． ······························ 分 ··········· ·········· ········ 8 ·········· ··········· ········ 20．解：∵ 方程有实数根，∴b  4ac ≥ 0 ，∴(4)2  4(k  1) ≥ 0 ，即 k ≤ 3 ． ···· 分 ··· 2 ···

2

解法一：又∵x 

4  (4)2  4(k  1) ··········· ······· ·········· ········  2  3  k ， ··········· ······· 3 分 2

∴x1  x2  (2  3  k )  (2  3  k )  4 ， ························ 分 ··········· ·········· ·· 4 ·········· ··········· ·· ··········· ·········· ··· 5 ·········· ··········· ··· x1 x2  (2  3  k )  3  k )  k 1 ························· 分 (2 若 x1 x2  x1  x2 ，即 k  1  4 ，∴k  3 ．························ 7 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· 而这与 k ≤ 3 相矛盾，因此，不存在实数 k ，使得 x1 x2  x1  x2 成立． ········· 分 ········ 8 ········ 解法二：又∵x1  x2  

x1 x2 

c k 1   k  1 ， ··········· ··········· ·········· · 5 分 ··········· ·········· ·······

···· · ·········· ··········· ··········· · a 1

b 4   4 ， ··········· ··········· ···· 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· 4 a 1

（以下同解法一） 五、 （本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分． ） 21．解： （1）依题意得： y1  (2100  800  200)x  1100 x ， ··················3 分 ··········· ······· ·········· ········

y2  ( 2 4 0 0 1 1 0 0 1 0 )   x 0

·· 0 0 0 ····· ···· ···· 0 2 0 0 0 0  2 0 ， ··2············6 分  x 1 0 ·· ········ ····

（2）设该月生产甲种塑料 x 吨，则乙种塑料 (700  x) 吨，总利润为 W 元，依题意得：

W 1 1 0 0  1 2 0 0 ( 7 0 0 ) x x

∵

2 0 0 0 0x 1 0 0 ． ···0········· 分   8 ·· 0 0 0 ···· · 7 ··· ······· ·· · 2 ····

 x ≤ 400， 解得： 300 ≤ x ≤ 400 ． ······················· 8 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· ·· 700  x ≤ 400，

∵100  0 ，∴ 随着 x 的增大而减小，∴ x  300 时，W 最大=790000（元） ···· 9 分 W 当 ． ···· ···· 此时， 700  x  400 （吨） ． 因此，生产甲、乙塑料分别为 300 吨和 400 吨时总利润最大，最大利润为 790000 元． ···········10 分 ··········· ·········· 22．证明：

 （1）连接 BM ，∵B、C 把 OA 三等分，∴1  5  60° ， ·············· 1 分 ··········· ··· ·········· ····

1 5  30° ， ························2 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· 2 1 又∵ 为 ⊙M 直径，∴ABO  90° ，∴AB  OA  OM ， 3  60° ，····· 分 OA ···· 3 ···· 2 ∴1  3 ， DOM  ABO  90° ， ·························· 分 ··········· ·········· ···· 4 ·········· ··········· ····

又∵OM  BM ，∴2 

1  3，  在 △OMD 和 △BAO 中， OM  AB， ··········· ··········· 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· 5 DOM  ABO. 

∴△OMD ≌△BAO （ASA） ······························· 6 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ·········· （2）若直线 l 把 ⊙M 的面积分为二等份， y 则直线 l 必过圆心 M ， ··············· 7

分 ··········· ···· ·········· ·····

3) ∵D(0， ， 1  60°，

D  0， 3

4 C

OD 3   3， ∴OM  tan 60° 3

∴M ( 3， ， ···················· 8 分 ·········· ·········· 0) ···················· 把 M ( 3， 代入 y  kx  b 得： 0) ··········· ········ ·········· ········· 3k  b  0 ． ··················· 10 分 O

B

2 1 M

5

3 A x

23．解： （1）设 2006 年底至 2008 年底手机用户的数量年平均增长率为 x ，依题意得： ····· 分 ···· 1 ···· ··········· ·········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ······ 50(1  x)2  72 ， ······································ 3 分 ∴1  x  1.2 ，∴x1  0.2 ， x2  2.2 （不合题意，舍去） ·············· 分 ， ··········· ··· ·········· ··· 4 ∴ 2006 年底至 2008 年底手机用户的数量年平均增长率为 20%． ············· 分 ··········· ·· ·········· ·· 5 （2）设每年新增手机用户的数量为 y 万部，依题意得：·················· 分 ··········· ······ 6 ·········· ·······

[72(1  5%)  y](1  5%)  y ≥103.98 ， ·························8 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ···

0.95  y ≥103.98，  0.95  0.95 y  y ≥103.98 ， 68.4 即 (68.4  y) 64.98  1.95 y ≥103.98 ， 1.95 y ≥ 39 ，∴ y ≥ 20 （万部） ·············· 分 ．··············9 ·········· ····

∴ 每年新增手机用户数量至少要 20 万部． ························ 分 ··········· ·········· ··· ······················· 10 六、 （本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分． ） 24、解： （1）当△ABC 与△DAP 相似时，∠ APD 的度数是 60° 30° ········· 2 分 或 ． ········· ········· （2）设 PC  x ，∵PD ∥ BA ， BAC  90° ，∴PDC  90° ，··········· 分 ·········· 3 ··········

cos cos 又∵C  60° ，∴AC  24 60°  12 ， CD  x  60° 

∴ AD  12 

1 x， 2

1 3 x ，而 PD  x 60°  ··········· ·········· 4 ·········· ··········· sin x ， ··········· ··········· 分 2 2

∴S△ APD 

1 1 3  1  ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· PDAD   x 12  x

 ························5 分  2 2 2  2 

 3 2 3 ( x  24 x)   ( x  12) 2  18 3 ． 8 8

∴ PC 等于 12 时， △ APD 的面积最大，最大面积是 18 3 ． ··············· 分 ··········· ··· 6 ·········· ···· （3）设以 BP 和 AC 为直径的圆心分别为 O1 、 O2 ，过 O2 作 O2 E ⊥ BC 于点 E ，

cos 设 ⊙O1 的半径为 x ，则 BP  2 x ．显然， AC  12 ，∴O2C  6 ，∴CE  6 60°  3 ，

∴O2 E 

62  32  3 3 ，

A

··········· ·········· O1E  24  3  x  21  x ， ···········7 分 又∵⊙O1 和 ⊙O2 外切， ∴O1O2  x  6 ． ················· 8 分 ··········· ······ ·········· ······· 在 Rt△O1O2 E 中，有 O1O  O2 E  O1E ，

2 2 2 2

D O2 60° C E

B

O1

P

∴( x  6)2  (21  x)2  (3 3)2 ， ········9 分 ········ ······· 解得： x  8 ， ∴BP  2 x  16 ． ···························· 10 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ·······

25．解： （1）∵M  0，  在 y  （2）由（1）得： y 

 

1 4

1 1 1 1 x  b 上，∴   0  b ，∴b  ．········· 分 ········ 2 ········ 3 4 3 4

1 1 x  ， ∵B1 (1 y1 ) 在 l 上， ， 3 4

∴ x  1 时， y1  当

1 1 7  7 1   ，∴B1 1，  ．················ 分 ··········· ····· ·········· ····· 3 3 4 12  12 

2

解法一：∴ 设抛物线表达式为： y  a (x  1) 

2

7 (a  0) ，················ 分 ··········· ···· 4 ·········· ····· 12

7 7 ，∴a   ， ······· 分 ······· ······ 5 12 12(d  1) 2

又∵x1  d ， ∴A (d， ，∴0  a (d  1)  0) 1

∴ 经过点 A、B1、A2 的抛物线的解析式为： y   1 解法二：∵x1  d ，∴ A (d， ， A2 (2  d， ， 0) 0) 1

7 7 ····· ···· ( x  1) 2  ． ·····6 分 2 12(d  1) 12

( ∴ y  a(x  d ) x  2  d )(a  0) ， ··························· 分 设 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ····· 4

把 B1 1 ，  代入：

 7  12 

7 7  a(1  d )(1  2  d ) ，得 a   ， ·········· 5 分 ·········· ·········· 12 12(d  1) 2

∴ 抛物线的解析式为 y  

7 ( x  d ) x  2  d ) ． ················6 分 ( ··········· ····· ·········· ····· 12(d  1)2

（3）存在美丽抛物线． ·········

·························· 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· 7 由抛物线的对称性可知， 所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角 形，∴ 此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵0  d  1 ，∴ 等腰直角三角形斜 边的长小于 2，∴ 等腰直角三角形斜边上的高必小于 1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于 1．

1 1 7 1    1， 3 4 12 1 1 11  1， 当 x  2 时， y2   2   3 4 12 1 1 1 当 x  3 时， y3   3   1  1 ， 3 4 4

∵ x  1 时， y1  当 y

Bn

l

B3

B2

B1

M O

…

A1

1

A2 2 A3

3

A4

An

n

An1

x

∴ 美丽抛物线的顶点只有 B1、B2 ． ····························· 8 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ ①若 B1 为顶点，由 B1 1 ，  ，则 d  1 

 7  12 

7 5  ； ··········· ········· 分 ··········· ········ 9 ·········· ········· 12 12

②若 B2 为顶点，由 B2  2，  ，则 d  1   2  综上所述， d 的值为

 11   12 

 

11   11  1  ， 12   12 

5 11 或 时，存在美丽抛物线． ··················· 分 ·················· 10 ·········· ········ 12 12