2015－2016学年第一学期 《概率统计》（公共课）复习题
1. P5 例1.1 设A ，B ，C 为3个事件，用A ，B ，C 的运算式表示下列事件： （1）A 发生而B 与C 不发生：A BC 或A —B —C 或A —( B ∪ C ). （2）A ，B 都发生而C 不发生：AB C 或AB —C . （3）A ，B ，C 至少有一个事件发生：A ∪ B ∪ C .
（4）A ，B ，C 至少有两个事件发生：AB ∪BC ∪CA . （5）A ，B ，C 恰好有两个事件发生：AB C ∪A BC ∪A B C . （6）A ，B ，C 恰好有一个事件发生：A BC ∪A B C ∪AB C . （7）A ，B 至少有一个事件发生：（A ∪B ）C . （8）A ，B ，C 都不发生：ABC 或A B C
2. P10 古典概率公式：P(A) = k/n = A所包含的样本点数 / Ω中样本点总数
P12 例1.8 有n 个人，每个人都以同样的概率1/ N被分配在N （n
解：每个人都有N 种分法，这是可重复排列问题，n 个人共有N n 种不同分法，因为没有指定是哪几间房，所以首先选出n 间房，C n N 种选法。对于其中每一种选法，每间房各住一人共有n ！种分法，故所求概率为p = Cn N n!/ N n
3. P15 条件概率的定义：设A ，B 为两个时间，且P(B)>0，则称P(AB)/P(B)为事件B
已发生条件下事件A 发生的条件概率，记为P(A|B)，即
P(A|B)= P(AB)/P(B).
P16 例1.13 某科动物出生以后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的动物活到25岁以上的概率。
解：设A 表示“活到20岁以上”的事件，B 表示“活到25岁以上”的事件，则有 P(A)=0.7，P(B)=0.56，且B 包含于A .
得：P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=0.56/0.7=0.8
4. P14 几何概型公式：用A 表示“掷点落在区域A 内”的事件，那么事件A 的概率可
用下列公式计算：P(A)=m(A)/m(Ω) ，称它为几何概率。
6
P29 习题22 （1）从（0，1）中随机地取两个数，求：两个数之和小于的概率；
5
144
617
解：设两数为x,y ，则0
5125
5．P30 习题25 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，
不努力学习的学生有90%的可能考试不及格. 据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：
（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 解：设A={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P
（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P （B|A）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知
P (A ) P (B A ) P (AB ) （1）P (A B ) = =
P (B ) P (A ) P (B A ) +P (A ) P (B A ) =
0.2⨯0.11
==0.02702
0.8⨯0.9+0.2⨯0.137
即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%
(2) P (A B ) =
P (A ) P (B A ) P (AB )
=
P (B ) P (A ) P (B A ) +P (A ) P (B A )
=
0.8⨯0.14
==0.3077
0.8⨯0.1+0.2⨯0.913
即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.
6. P36 二项分布的分布律：P{X=k}=Ck n p k （1- p）n-k ，k=0,1，„，n ，则称X 服从参数
为n ，p 的二项分布，记为X~b（n,p ）.
7. P40 泊松分布的分布律：若随机变量X 的分布律为
P{X=k}=λke-λ/k!，k=0，1，„，
其中λ>0是常数，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P（λ）.
8. P44 连续型随机变量的概率特点：
P{a≤X ＜b}=P{a＜X ≤b}=P{a≤X ≤b}=P{a＜X ＜b}.
P48 指数分布：若随机变量X 的密度函数为： λe -λx ，x ＞0，
f(x)=
0， x≤0,
其中λ＞0为常数，则称X 服从参数为λ的指数分布，记作X~E(λ).
9. P44 2.9 设连续型随机变量X 的分布函数为 ， x＜0， 2， 0≤x ＜1， ， x≥1.
试求：（1）系数A ；（2）X 落在区间（0.3,0.7）内的概率；
（3）X 的密度函数。
解：（1）由于X F(x)是连续函数，因此有
lim 2 =A，即A=1，于是有 x →1 ＜0， 0≤x ＜1， x≥1.
（2）P{0.3＜X ＜2-(0.3)2=0.4. ，0≤x ＜1， （3）X 的密度函数为 f(x)=F’(x)=
， 其他.
10．P49 标准正态分布的密度曲线图形（略）
P52 标准正态分布的上α分位点的定义和求法:
设X~N(0，1) ，若z α满足条件 P{X＞z α}=α，0＜α＜1，则称点z α为标准正态分布的上α分位点。例如，由查表可得z 0.05=1，z 0.001=3.16.故1.645与3.16分别是标准正态分布的上0.05分位点与上0.001分位点. （上图白色部分的才是α）
-? P59习题27 求标准正态分布的上α分位点：
（1）α=0.01，求z α；（2）α=0.003，求z α，z α/2. 解：查表可得：（1）z α=2.33；（2）z α=2.75，z α/2=2.96
11. P58 习题16（1） 设某种仪器内装有3只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密
度函数为：
100/x2， x≥100，
， x＜100. 求：（1）在开始150h 内没有电子管损坏的概率.
1501001
P (X ≤150) =d x =. 解：⎰100x 2
3
28
p 1=[P (X >150)]3=(3=
327
习题24 设随机变量X 分布函数为
⎧A +B e -xt , x ≥0,
F （x ）=⎨(λ>0),
x
（1） 求常数A ，B ；
（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}； （3） 求分布密度f （x ）.
lim F (x ) =1⎧⎧A =1⎪x →+∞
解：? （1）由⎨得⎨
lim F (x ) =lim F (x ) ⎩B =-1⎪x →0-⎩x →0+
（2）P (X ≤2) =F (2)=1-e -2λP (X >3) =1-F (3)=1-(1-e -3λ) =e -3λ
⎧λe -λx , x ≥0
(3) f (x ) =F '(x ) =⎨
x
? 12. P59 习题 31设随机变量X~U（0,1），试求：（1） Y=e的分布函数及密度函数；
X
（2） Z=2lnX的分布函数及密度函数.
解：（1） P (0
当y ≤1时F Y (y ) =P (Y ≤y ) =0
当1
X
ln y 0
d x =ln y
y ≤1⎧0,
⎪
即分布函数：F Y (y ) =⎨ln y , 1
⎪1, y ≥e ⎩
⎧1
1
故Y 的密度函数为：f Y (y ) =⎨y ,
⎪0, 其他⎩（2） 由P （00) =1
当z ≤0时，F Z (z ) =P (Z ≤z ) =0
当z>0时，F Z (z ) =P (Z ≤z ) =P (-2l n X ≤z )
z
=P (lnX ≤-) =P (X ≥e -z /2)
2
=⎰-z /2d x =1-e -z /2
e
1
z ≤0⎧0,
即分布函数为：F Z (z ) =⎨-z /2
1-e , z >0⎩
⎧1-z /2
⎪e , z >0
故Z 的密度函数为f Z (z ) =⎨2
⎪z ≤0⎩0,
⎧
⎪0, ⎪1⎪
13. P60 习题36 已知F （x ）=⎨x +,
2⎪⎪1, ⎪⎩
x
0≤x
21x ≥.
2
则F （x ）是（ ）随机变量的分布函数.
（A ） 连续型； （B ）离散型； （C ） 非连续亦非离散型. 解：因为F （x ）在（∞,+∞）上单调不减右连续，且lim F (x ) =0lim F (x ) =1,
x →-∞
x →+∞
所以F （x ）是一个分布函数。
但是F （x ）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F （x ）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C ）
? 习题42 设随机变量X 的分布函数为
x
⎪0. 4, -1≤x
0. 8, 1≤x
求X 的概率分布.
解：由离散型随机变量X 分布律与分布函数之间的关系，可知X 的概率
? 习题44 若随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，则方程y +Xy+1=0有实根的概率
2
是多少？
⎧1
⎪, 1
解：f (x ) =⎨5⎪⎩0, 其他
4
所以 P (X 2-4≥0) =P (X ≥2) +P (X ≤-2) =P (X ≥2) =
5
14. P74 离散型随机变量独立性的定义：P{X=xi ，Y=yi }=P{X=xi }P{Y=yi }.
连续型随机变量独立性的定义：f(x，y)=fx(x)fy(y).
[f(x，y) 为(X,Y)的概率密度函数]
15. P85 习题13设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为
（2） X与Y 是否相互独立？ 解：（1）X 和Y 的边缘分布如下表:
(2) 因P {X =2} P {Y =0.4}=0.2⨯0.8=0.16≠0.15=P (X =2, Y =0.4), 故X 与Y 不独立.
16. P86 习题19（1）设随机变量（X ，Y ）的分布律为
(1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；
P {X =2, Y =2}0.051P {X =2, Y =2}=5==,
0.252P {Y =2}
∑P {X =i , Y =2}
i =0
解：P {X =2|Y =2}=
P {Y =3|X =0}=
P {X =0, Y =3}0.011P {Y =3, X =0}
=3==;
0.033P {X =0}
∑P {X =0, Y =j }
j =0
17. P111 习题7 设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）
=16，求E （3X 2Y ），D （2X 3Y ）.
解：(1) E (3X -2Y ) =3E (X ) -2E (Y ) =3⨯3-2⨯3=3. (2) D (2X -3Y ) =22D (X ) +(-3) 2DY =4⨯12+9⨯16=192.
18. P125 习题5有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m. 现从这批
木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？
解：设100根中有X 根短于3m ，则X ~B （100，0.2）
从而P {X ≥30}=1-P {X
=1-Φ(2.5)=1-0.9938=0.0062.
19. P131 χ（n ）分布的定义：设X1，X2，„，Xn 是来自总体N （0,1）的样本，则量
2 2 2 222
χ2=X +X +„+X 所服从的分布称为自由度为n 的χ分布，记为χ~χ（n ）. 1 2 n 密度曲线图（略）
上α分位点的定义：对于给定的正数α，0＜α＜1，满足条件 P{χ2＞χ2α(n)}= α的点χ2α(n)为χ2(n)分布的上α分位点.
20. P132 t 分布的定义：设X~N（0,1），Y~χ2(n)，并且X ，Y 独立，则称随机变量 t=X/
√Y/n 服从自由度为n 的t 分布，记为t~t(n). 密度曲线图（略）
上α分位点的定义及性质：对于给定的正数α，0＜α＜1，满足条件 P{t＞t α(n)}=α的点t α(n)为t(n)分布的上α分位点； 性质：T 1-α(n)=-Tα(n)≈Z α.
P133 F 分布的定义：设U~χ2(n1) ，V~χ2(n2) ，且U ，V 独立，则称随机变量F=(U/n1)/(V/n2)
服从自由度为(n1，n 2) 的F 分布，记为F~F(n1，n 2). 密度曲线图（略）
上α分位点的定义及性质：对于给定的正数α，0＜α＜1，满足条件 P{F＞F α(n1，n 2)}=α的点F α(n1，n 2) 为F(n1，n 2) 分布的上α分位点； 性质：F 1-α(n1，n 2)=1/Fα(n2，n 1).
2
21. P136 习题2 从正态总体N （4.2，5）中抽取容量为n 的样本，若要求其
样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少取多大？
解：Z =
2
~N (0,1)
P (2.2
则Φ
，故
即n >24.01，所以n 至少应取25
22. P152 习题 5 随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的
样本观测值：0.9，0.8，0.2，0.8，0.4，0.4，0.7，0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计.
解：(1) E (X ) =
θ
2
ˆ=2X 且E (θˆ) =2E (X ) =2E (X ) =θ, , 令E (X ) =X ，则θ
ˆ=2=2⨯0.6=1.2且θˆ=2是一个无偏估计. 所以θ的矩估计值为θ
⎛1⎫
(2) 似然函数L =∏f (x i , θ) = ⎪,i=1,2,„,8.
⎝θ⎭i =1
显然L=L(θ) ↓(θ>0)，那么θ=max{x i }时，L=L(θ) 最大,
1≤i ≤8
8
8
所以θ的极大似然估计值θˆ=0.9.
因为E(θˆ)=E(max{x i }) ≠θ, 所以θˆ=max{x i }不是θ的无偏计.
1≤i ≤8
1≤i ≤8
习题8 某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,
今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm ）如下：
14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 解：n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,
x =14.95, u a =u 0.25=1.96, ,
2
μ的置信度为0.95的置信区间为
⎛
x ±u α/2 =(14.95±0.1⨯1.96) =(14.754,15.146)
⎝
题型：填空题（10道20分），选择题（5道15分），判断题（5道15分），
计算题（5道50分）