２００８／０９总第３７７期
文章编号：ｌＯＯｆ一１４８Ｘ１２００８）０９—００１４—０４商业研究ＣＯＭＭＥＲＣＩＡＬＲＥＳＥＡＲＣＨ
不允许卖空情况下均值一半方差
投资组合优化研究
张鹏１．张忠桢２
（１．武汉科技大学管理学院，湖北武汉４３００８１；２．武汉理工大学管理学院，湖北武汉４３００７０）
摘要：运用不等式组的旋转算法求解不允许卖空情况下均值一半方差投资组合模型，并选取沪市六只业绩比较好的股票，进行模拟投资，计算出模型的总收益率，并与等比例投资相比较。结果表明均值一半方差投资组合的投资效果总体上优于等比例投资。
关键词：投资组合；均值一半方差模型；旋转算法
中图分类号：Ｆ２２４．９；０２２１．２文献标识码：Ａ、
ＴｈｅＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｏｎｔｈｅＭｅａｎＳｅｍｉ——ａｂｓｏｌｕｔｅＰｏｒｆｆｏｆｉｏＭｏｄｅｌＷｉｔｈｏｕｔＳｈｏＭＳａｌｅｓ
ＺＨＡＮＧＰｅｎ９１－ＺＨＡＮＧＺｈｏｎｇ—ｚｈｅｎ２
１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｎａｇｅｍｅｎｔ。ＷｕｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ－Ｗｕｈａｎ４３００８１，Ｃｈｉｎａ；
２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｎａｇｅｍｅｎｔ，ＷｕｈａｎＵｎｉｖｅｎｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｈａｎ
、一４３００７０，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ｎｅｐａｐｅｒｕｓｅ８ｔｈｅｐｉｖｏｔｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｍｅａｌｌｓｅｍｉ—ｖａｇｉｓＪｌ．ｃｅｍｏｄｅｌｗｉｔｈｏｕｔｓｈｏｒｔｓａｌｅｓ．Ｂｙｃｈｏｏ－
ｒｅｔｕｒｎｓｉｎｇｓｉｘｓｔｏｃｋｓｆｒｏｍＳｈａｎｇＨａｉ
ｐａｒｅｓｔｈｅａｃｔｕａｌＳｅｃｕｒｉｔｉｅｓＭａｒｋｅｔｓｉｍｕｌａｔｅｄｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ－ｔｈｅｐａｐｅｒｃａｌｃｕｌａｔｅｓｔｈｅｔｏｔａｌａｎｄｔｏｍ－ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｍｏｄｅｌａｎｄｔｈｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ．ｎｅｒｅｓｕｌｔｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｐｅｒ－ｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｔｈｅｍｅａｎｓｅｍｉ—ｖａｒｉａｎｃｅｐｏｒｔｆｏｌｉｏｉｓｂｅｔｔｅｒｔｈａｎｔｈｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｏｒｔｆｏｌｉｏｓｏｌｅｅｔｉｏｎ；ｍｅａｎｓｅｍｉ—ｖａｒｉａｎｃｅｍｏｄｅｌ；ｐｉｖｏｔｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍ
投资组合是分散投资风险的有效途径。２０世纪５０年代，Ｈａｒｒｙ．Ｍ．Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ使用方差度量投资的风险，提出了均值一方差投资组合模型¨Ｊ。该模型获得了理论界和实际投资者的基本认同，同时也引起了一些争议。如这里的方差既包含了可能遭受的损失，也包含了可能获得的超额收益，而超额收益对投资者来说并不是风险；均值一方差模型对资产收益率呈对称分布的要求有很大的局限性等。在此基础上，国外许多学者提出新的投资组合模型，如Ｏｕｄｅｒｒｉ＆Ｓｕｌｌｉｖａｎ口１，Ｇｒｅｅｎ＆Ｈｏｌｌｉｆｉｅｌｄ¨１运用半方差度量投资风险，建立了均值一半方差投资组合选择模型。
通常，不发达市场如中国的证券市场是不允许卖空的，因此，笔者结合实际情况，。研究不允许卖空情况下的均值一半方差投资组合模型及其优化。还选取了１９９８—２０００年沪市６只业绩比较好的股票，依据１９９８—１９９９年的数据作为样本数据，运用不等式组的旋转算法求出不同期望收益率下的最优投资策略，并将得出的最收稿日期：２０【）７一１２—２８
作者简介：张鹏（１９７５一・），男，江西吉安人，武汉科技大学管理学院工商管理系讲师，工学博士，研究方
向：最优化理论与方法、投资分析与管理；张忠桢（１９４６一），男，武汉湖北人，武汉理工大学
管理学院教授，博导，研究方向：最优化理论与方法、金ｋ．ｒ－程、投资分析与管理。
基金项目：国家自然科学基金资助项目：污染物允许排放总量分配方法及排污申报制度改进的研究，项目编
号：７０４７１０７７。
参考文献：
［１］
［２］
［３］刘治钦，秦富．中小企业财务管理［Ｍ］．北京：农业出版社，２００２．［４］［５］［Ｍ］．北京：北京大学出版社，１９９９．王竞天，李正文，冯雪飞．中小企业创新与融资［Ｍ］．上海：上海财经大学出版社，２００１．刘胜军，李汉玲．财务困境与稳健经营［Ｊ］．财会通讯，２００１（９）．（责任编辑：樱紫）中小企业融资中的几个问题［Ｊ］．中国经济时报．方晓霞．中国企业融资：制度变迁与行为分析
总第３７７期张鹏：不允许卖空情况下均值一半方差投资组合优化研究・ｌｕ５・优投资策略应用到其它时段，进行模拟投资，以等比例投资为标准，验证均值一半方差投资组合模型的效果。
一、均值一半方差投资组合模型ｔ：设有ｎ种风险资产，第．『种风险资产的收益率为弓（随机变量），其期望值为０＝Ｅ（月ｆ），记Ｒ＝（Ｒ。，Ｒ．２，…，Ｒ。）７，ｒ＝（ｒ。，ｒ．２，…，ｒ。）７；第．『种风险资产的投资比例为吩Ｊ＝１，２，…，ｎ，记嚣＝．（重，，茹２，…，‰）７，靠Ｉ＋髫：＋…＋茹。＝１为资本预算约束；ｅ表示分量全为１的乃维列向量，则有ｅＴ＂ｊ‘＝ｌｏ在不允许卖空情况下茗，必须大于或等于０。投资组合的收益率为Ｒｐ＝Ｒ７茗＝Ｒ。茗。＋尺：茗：＋…＋Ｒ。％，其均值为ｒｐ＝ｒｋ，各证券在一定时期中的收益率为ｋ＝（ｐ。＋屯）／ｐ川，这里几为第１种证券第ｔ期期末的价格，Ｐ¨为第ｉ种证券第ｔ一１期期末的价格，ｄ。为第ｉ种证券第ｔ期的分红。收益率小于１表示损失。对于给定的最优投资比例，总收益率尺用下面的公式求出：
Ｒ＝兀（∑鼍ｏ）
定义ｌ称０．２（Ｒ；）＋，０＂２（冠）一为随机变量Ｒ的两个半方并，则盯２（咒）：矿２（Ｒ；）＋矿２（足）一。
定义２设Ｒ，弓是两个随机变量，矿２（置），矿２（尺，）为方差，盯２（墨）＋，矿２（冠）一，ｃｒ２（尺，）＋，盯２（Ｒｆ）一为半方差，称：
ｃ。ｙ（屯Ｒｊ）’＝垫卫譬塑酱嚣筹生型地埋ｃ。呱弓）
为Ｒ；和弓的协方差，且有ＣＯＶ（Ｒ；，Ｒ；）一＝盯２（尼）一，ｃＯＶ（Ｒ；，Ｒ；）＋＝矿２（咒）＋，ｃｏｙ（Ｒ，，弓）’＝０．２（弓）一，ＣＯＶ（弓，弓）＋＝矿２（弓）＋。Ｇ一＝［ＣＯＶ（Ｒ；，弓）一］…＝（矿ｉ）。…称为半方差矩阵。
因此，不允许卖空情况下，均值一半方差投资组合模型为：
ｍｉｎ茁７Ｇ—ｘ／２
。
・ｆ．ｒｒｔｘ≥ｒｏ≥ｒｏ
ｓ．ｔ｛ｅｋ＝１（１）
ｕ【茗≥ｏ
其中，ｒｏ为常数，且ｒａｉｎ｛ｒＩ，…，ｋ｝≤ｒｏ≤ｎｌｌｉ．ｘ｛ｒｌ，…，ｒ＾｝。
二、均值一半方差投资组合模型的优化方法
模型（１）为凸二次规划问题，其库恩一塔克（ｘ—ｒ）条件为：
矿：茗ｌ＋…＋ｏ＇２，ｘ。一ｐＩｒｉ＋地≥０ｉ＝１，…，ｎ
ＦＩＸｌ＋…＋ｒｎ茗＾≥ｒｏ‘
毒ｌ＋…＋并－２ｌ
（２）‘。
茗ｌ≥０，…茹。≥０，ｐｌ≥０
（ｆｉｘｌ＋…＋ｒｍｘ。）ｐｌ＝０
（矿：善ｌ＋…＋ｏ－２，茗。一ｐＩｒｉ＋儿）茗ｉ＝０ｉ＝１，…，ｎ
其中的肛，和ｍ是模型（１）前两个约束条件对应的拉格朗日乘子。
笔者用旋转算法Ｈｊｌ求解不等式组（２），具体步骤如下：
步骤１：建立初始表。初始基本不等式组由髫。≥０，…，菇。≥０，ｐ，≥０，他≥０构成，其第ｉ个系数向量是ｎ＋２阶单位矩阵的第ｉ行，记为ｅ；。初始基本解，，‘０’＝（０，…，０，０，０）７。其余（不）等式是非基（不）等式，它们的系数向量ｇ。＝（矿ｄ－’．“，矿如．，一‘，１）（ｉ＝１，２，…，ｎ），ｇ训＝（ｒｌ，…，ｋ，０，０），ｇ。＋２＝（１，…，１，０，０）。其偏差分别为：以＝ｇｉ，，‘ｏ’一０＝０（ｆ＝１，２，…，ｎ），矿蒯；ｇ。＋ｌＹ‘ｏ’一ｒｏ＝一Ｉ＂ｏ，矿。＋２＝ｇ．＋２Ｙ∞’一１＝一ｌ。各非基向量的组合系数及其
’偏差如表１所示：“．
表１初始表
ｇｌ吼‰＾吖ｒ１Ｏ
●●●¨～．～●●●
．－●●
ｇ。以‰ｎ吖ｒｌＯ
ｇ＾＋Ｉ１‘ｏＯ，ｏ
ｇｎ＋２●。ｏＯ一１
．１６・商业研究２００８／０９步骤２预处理。进行两次旋转运算：ｇ。人基ｅｎ＋２出基，ｇ。＋：人基ｅ。出基，然后删掉入基向量ｇ。＋：所在列和出基向量ｅｎ＋２所在行。
步骤３主迭代。
（ｉ）若所有非基向量的偏差为非负数，停止计算，当前基本解为最优解。否则（ｉｉ）以偏差最小的非基向量入基，如果该行没有正元素，原问题无可行解，停止计算。若该行的对角元素为止，以其为枢轴进行一次旋转运算，转（ｉ）；否则，以该行的最大正元素及其对称元素为枢轴先后进行两次旋转运算，转（ｉ）。
．三、均值一半方差投资组合模型的实证分析．
依据行业代表性、流通市值规模、交易活跃程度、上市公司财务状况和经营业绩、地区代表性等原则，选择１９９８—２０００年的６只股票作为证券投资组合实证研究的对象。６只股票相应的月收益率如表２所示：
表２１９９８—２０００年６只股票ｌ至１２月的月收益率
年份月份Ｓ２Ｓ３Ｓ４Ｓ５Ｓ６
１Ｏ．钙１５１．１７０．９１８１．００９１．００８１．１３６
２０．９２２０．８ｌｌ０．９１１Ｏ．８４７Ｏ．８６５０．９
３１．０ｌｌＩ．３５９１．０ｌＯ．９６３１．００６１．０２５
４１．０４８１．１６９Ｏ．９６８１．００８１．０５６１．２０４
５１．０１９０．８８６０．９３８０．９５８０．９４６１．１１６
６０．９５５Ｏ．９７２Ｏ．９２４０．８８４０．９４３Ｏ．９４２
１９９８
７１．０６６０．８５１Ｏ．９７１１．０２９０．８６７ｏ．９６５
８０．７８９１．０１４Ｏ．８９９０．８１３Ｏ．７５１０．８３８
９１．１１．００２１．０３１０．９７４．１．０５７１．０８３
ｌＯＯ．９６５０．９５６０．９８９Ｏ．９９１６０．９７６０．９４
ｌｌ０．９７６１．００３Ｏ．９６７１．０５４１．０３５１．１１
１２０．８６９Ｏ．８４３Ｏ．９９ｌＯ．９５４０．９０８０．８４５
ｌ０．９９３０．９８３１．０２４Ｏ．９６８０．９８４１．０８４
２１．０５３１．１０ｒ７０．９ｌＩＯ．９９２０．９２４ｏ．９９４
３１．０８２０．９７２１．０１４０．９３４１．０７９１．０３４
４０．８７４Ｏ．９２３１．１６２Ｏ．９０５０．８２２０．９１４
５１．２４２１．１５８１．４２６１．１９１．０５２Ｏ．９弓１５
６１．６３６２．２２７Ｏ．９７５１．３０６１．２５９１．３８１
１９９９
７０．９５１１．１１９１．１１８０．９１３ｏ．８３５０．９２２
８０．９５ｌＯ．８７９０．９ｌｌ１．００３０．９７７０．９４９
９０．９３０．９３８０．９２４０．９５３１．０２ｌＯ．９８９
ｌＯ０．９２１０．９３３１．１５２０．９４０．９７７Ｏ．９６６
１１ｏ．９８７Ｏ．９３４Ｏ．９７２０．９８２０．９４Ｏ．９４８
１２１．０７９１．１０１０．９４９１．０３２ｏ．８９４０．９１５
１１．４２１１．３９３０．９８７１．２ｌ０．９８７１．０５８
２Ｏ．８４２１．９ｌ０．９４１１．０８４１．０２Ｉ１．５７３
３０．９２２１．０５１０．９５４０．９３７１．１８０．９９２
４０．９６９１．０３５１．１０５１．００４０．９９１０．８７１
５０．９５５１．０９６０．９９９０．９７１．０３２１．０７９
６１．０３４１．００６１．３８９１．０Ｄ５Ｏ．９８４１．０２６
２０００
７１．１５７１．２０７１．２７０．９９９１．１６．１．０１７
８１．１４５Ｏ．８８４０．９１３１．０１２Ｏ．９８１ｏ．９３
９１．２６９０．９５０．８４８１．０６４Ｏ．９５４Ｏ．９ｌ
ｌＯ１．１０９０．９３８１．０３２１．０２７０．９３９０．９９８
ｌｌ１．１３８１．０３８１．１５１１．０４９１．２３５１．ｃｒ７
１２Ｏ．８０４０．９３４０．９８８０．９４７１．０８１１．０１
总第３７７期…张鹏：不允许卖空情况下均值一半方差投资组合优化研究・１７・
以１９９８—１９９９年的历史数据作为样本数据，可以计算出每一种股票收益率的算术平均数，如表３所示。表３股票收益率的算术平均数
将收益率的算术平均数的中间值［１．００５，１．０５］划分为９等份，针对不允许卖空的情况，分别运用不等式组的旋转算法，可计算出均值一半方差模型的最优投资策略如表４所示。，
表４均值一下半方差投资组合的最优投资策略
从表４可知，在不允许卖空的均值一下半方差投资组合模型中，当投资者的期望收益率为１．００５，即净收益率为０．５％时，他的最优投资策略为，只购买第二、第三和第六种资产，且最优投资比例分别为１．０１％、６１．６４％和３７．３４％。同样，也可以得到其它期望收益率所对应的最优投资策略。
应用表４的最优投资比例，可计算出到２０００年底，投资者的总收益率如表５所示：
表５不同期望收益率所对应的２０００年底的总收益率≈
其中Ｍ—Ｂ表示均值一半方差投资组合模型。
根据计算可得，等比例投资情况下的总收益率为１．８９７０。表５中的总收益率大多数优于等比例投资情况。此外，实证分析还验证了旋转算法的有效性。与通常处理二次规划问题的算法相比，采用的不等式组的旋转算法避免了通常所需的松弛变量、剩余变量和人工变量，使计算量更少，操作更为简便，计算效率也更高，有较为广阔的应用前景。
参考文献：
［１］
［２］ＭａｒＩ【ｏ访ｔｚ，Ｈ．Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏｓｅｌｅｃｔｉｏｎ，ＴｈｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｉｎａｎｃｅ［Ｊ］．１９５２，７（１）：７７—９１．ｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｉｎｇＢ．Ｎ．Ｏｕｄｅｒｒｉ，Ｗ．Ｇ．Ｓｕｌｌｉｖａｎ．Ａｓｅｍｉ—ｖａｒｉａｎｃｅｍｏｄｅｌｆｏｒｒｉｓｋｉｎｔｏｃａｐｉｔａｌｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓ
［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＥｃｏｎｏｍｉｓｔ，１９９１，２：２１１—２２３．
ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｐｏｒｔｆｏｌｉｏｂｅｗｅｌｌ［３］Ｒ．ｃ．Ｇｒｅｅｎ，Ｂ，Ｈｏｌｌｉｆｉｅｌｄ．Ｗｈｅｎｗｉｌｌ呲跚一ｖａｒｉａｎｃｅ
１ｌａ／ｉｃｅ，１９９２，４７：１７８５—１８０９．ｄｉｖｅｒｓｉｆｉｅｄ？［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｉ．
［４］
［５］张鹏，张忠桢，岳超源．基于效用最大化的投资组合旋转算法研究［Ｊ］．财经研究，２００５（１２）：１１７—１２６．张鹏，张忠桢，岳超源．限制性卖空的均值一半绝对偏差投资组合模型及其旋转算法研究［Ｊ］．中国管理科
学，２，００６，１４（２）：７—１１．
，（责任编辑：张实）