《基本不等式》学案 使用时间 2012-3-31
高二数学组 贾嵘
【使用说明及学法指导】
1. 先精读一遍选修4-5教材P5-P8，用红色笔进行勾画；再针对预习自学二次阅读并回答；
2. 若预习完可对合作探究部分认真审题，做不完的正课再做；
3. 找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；
4. 必须记住的内容：重要不等式、基本不等式的结构和利用基本不等式求最值时的要点。
【学习目标】
1. 熟练掌握重要不等式、基本不等式的结构和利用基本不等式求最值时的要点，提高应用基
本不等式解决问题的能力。
2. 自主学习，合作交流，探究出两个不等式的代数证明与几何解释，并归纳出利用基本不等
式求最值时的要点。
3. 激情投入，高效学习，体验数形结合的思想，增强应用数学的意识。
一、预习自学：
问题一：两个不等式的代数证明及几何解释
1、重要不等式
定理1：如果a , b ∈R ，那么a 2+b 22ab ，当且仅当
代数证明：
几何解释：
2、基本不等式
定理2：如果a ,
b ∈R 代数证明：
几何解释：
我们把a +b
2+，当且仅当 时，等号成立。 称为a , b 的 ，ab 称为a , b 的 ，
基本不等式可以表述为： 。
基本不等式的几何意义是： 。 问题二：利用基本不等式求最值。
例1、求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；
（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。
小结：
1、基本不等式的两个变形式① ；② 。
2、两个正数的积为定值时， 有 ；两个正数的和为定值时， 有 。
3、利用基本不等式求最值时的要点 。
【预习自测】
求最值：1、若x >0，求y =x +
变1：若x
变2：若x ≥3，求y =x +
变3：x >3，求y =x +
【我的疑惑】
二、合作探究
探究点一:你能给出这两个不等式的其他的几何解释吗？
探究点二：利用基本不等式解决实际问题。
某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和
EFGH 构成的面积为200平方米的十字型地域，计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为每
平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210
元，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米80元。
（1）设总造价为S 元，AD 长为x 米，试建立S 关于x 的函数关系式；
（2）当x 为何值时，S 最小？并求出这个最小值。
【课堂小结】 4x -34x 4x 4x 的最小值； 2、若x >0，求y =x (1-x ) 的最大值。 的最大值； 变1：若x >0，求y =x (1-2x ) 的最大值 的最小值； 变2：若x ≥3，求y =x (1-2x ) 的最大值 的最小值；
1. 知识方面
2. 数学思想方法