第一讲 和倍问题
知识点：已知两个量的和与这两个量的倍数关系，要我们求这两个量分别是几。
和÷（倍数+1）= 较小数；较小数 × 倍数= 较大数；和－较小数= 较大数
例1：甲、乙两个仓库共存货物960吨，已知甲仓库所存货物是乙仓库的2倍，问甲、乙两个仓库各存货物多少吨？
例2：果园里有梨树，苹果树和桃树共1800棵，其中梨树的棵数是苹果树的2倍，桃树的棵数是苹果树的2倍，问三种树各多少棵？
例3：学校里的足球只数是排球的3倍，篮球的只数是排球的5倍，足球和篮球共72只，问三种球各多少只？
例4：三块钢板共重207千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍，第三块钢板重多少千克？
例5：某小学购进红粉笔和白粉笔共244盒，购进的白粉笔比红粉笔的7倍少12盒，问购进红粉笔、白粉笔各多少盒？
例6：两箱茶叶共重88千克，如果从甲箱取15千克放入乙箱，那么乙箱的重量是甲箱的3倍，问两箱原有茶叶各多少千克？
例7：甲水池有水1500升，乙水池有水1200升，每分钟从甲水池流入乙水池25升水，问多少分钟后乙水池的水是甲水池的2倍？
自我检测：
一．填空。
1、小红和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是小红年龄的4倍。妈妈岁，小红
2、生产队养公鸡、母鸡共404只，其中公鸡是母鸡的3倍。公鸡有 只。
3、小明买语文本和数学本共25本，其中语文本比数学本的2倍多4本，语文练习本买了
4、师傅和徒弟一共生产零件190个，师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个。徒弟生产零件
5、A 、B 两人同时从学校出发相背而行，2小时共行48千米，A 的速度是B 的2倍，求A 的速度是 ，B 的速度是 。
6、一块长方形木板，长是宽的2倍，周长是54厘米。这块长方形木板的长是厘米，宽是 厘米，面积是 平方厘米。
7、甲、乙两个冷藏库原来共存肉92吨，从甲库运出28吨后，乙库存肉比甲库的4倍少6吨。原来甲库存肉 吨，乙库存肉 吨。
8、两个仓库共存粮2200千克，由乙库运出210千克，甲库存粮是乙库的2倍少380千克。甲库原来存粮 千克，乙库原来存粮 千克。
9、小红有30支铅笔，小兰有45支铅笔。小兰给小红支以后，小红的铅笔支数是小兰的2倍。
10、姐姐有320元，弟弟有180元，弟弟给姐姐元后，姐姐的钱比弟弟多3倍。
二、解答题。
11、甲、乙粮仓共存粮1038吨，如果把甲仓存的粮食放到乙仓9吨，两个仓库存粮就一样多，问甲、乙粮仓原来各存粮多少吨？
12、两数相除，商3余10，被除数、除数、商的和是163，求被除数和除数。
第二讲 差倍问题
知识点：已知两个量的差与这两个量的倍数关系，要我们求这两个量分别是几。1、先根据两个量的倍数关系，确定其中一个量为1倍数，另一个量为几倍数。2、然后根据“两个量的差÷这两个量的倍数差”求出1倍数，然后用“1倍数×倍数”求出几倍数。
例１：甲、乙两所学校，甲校学生比乙校学生多210人，甲校学生人数是乙校的3倍，问甲、乙两校各有多少人？
例２：甲桶中的油是乙桶的4倍，从甲桶中取15千克油到乙桶，两桶油的重量相等，问原来两桶油各是多少千克？
例３：甲、乙两根绳子，甲绳长63米，乙绳长29米，两根绳子剪去同样的长度，剩下的甲绳长是乙绳的3倍，问剪去的绳子长多少米？
例4：甲、乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库的袋数是乙仓库的3倍。从甲仓运走850袋，从乙仓运走50袋，两仓剩下的袋数相等，问原来两个仓库各存多少袋面粉？
例5：老王和小张原来银行里的存款相等，老王取出60元，小张存入20元后，小张的存款是老王的3倍，问原来两人存款共多少元？
例6：有两堆煤，甲堆94吨，乙堆138吨，每天各运走9吨，几天后，乙剩下的煤是甲堆的3倍？
例7：今年哥俩的岁数加起来是55岁，曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍，问哥哥今年几岁？
自我检测：
一、填空题
1、小红和妈妈的年龄相差28岁，妈妈的年龄是小红年龄的5倍。妈妈岁，小红 岁。
2、百货商店中全自动洗衣机的台数是半自动洗衣机的3倍，两种洗衣机相差404台。全自动洗衣机有 台，半自动洗衣机有 台。
3、小明和小胖各有一些动漫书，小明比小胖多9本，是小胖的2倍多4本。小胖有动漫书
4、哥哥和弟弟都是集邮爱好者，哥哥的邮票数比弟弟多60张，是弟弟的3倍。哥哥有邮票
5、父亲现年50岁，女儿现年14岁，年前，父亲的年龄是女儿的5倍。
6、一块长方形木板，长是宽的3倍少1厘米，周长是46厘米。这块长方形木板的长是厘米，宽是 厘米，面积是 平方厘米。
7、甲筐有梨400个，乙筐有梨240个，现从两筐中取出相同数量的梨，剩下梨的个数，甲筐恰好是乙筐的5倍。甲筐剩下 个梨，乙筐剩下 个梨。
8、两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个。从第一堆中拿使第二堆的棋子数是第一堆的3倍。
9、甲冷藏库原来的存肉量比乙冷藏库少92吨，从甲库运出28吨后，乙库存肉比甲库的4倍少6吨，原来甲库存肉吨，乙库存肉
10、姐姐和弟弟原来有同样数量的幸运星，姐姐又做了120颗，弟弟送给同学80颗后，姐姐的幸运星数是弟弟的5倍，原来他们两人共有 颗幸运星。
二、解答题。
11、有大、小两个水池，大池里已经有水300立方米，小池中已经有水70立方米。现在往两个水池里注入同样多的水后，大池的水量是小池的3倍，问每个水池中注入了多少量的水？
12、甲粮仓原来的存粮量比乙粮仓多1050吨，如果把甲仓存的粮食放到乙仓6吨，甲仓库的存粮就是乙仓库的4倍，那么甲、乙粮仓原来各存粮多少吨？
第三讲 和差问题
知识点：已知两个数的和与两个数的差，要我们求这两个数分别是多少。方法1、首先要确定哪个数大、那个数小，两个数相差多少。2、和差问题的难点是确定两个数的和是几，差是几。3、关键用“移多补少”的方法，使两个数同样大，以便平均分，求其中一个数。4、数量关系是：大数=（两个数的和+两个数的差）÷2；小数=（两个数的和－两个数的差）÷2
例1: 甲、乙两笼鸡共有24只，已知甲笼鸡的只数比乙笼多4只，问甲、乙两个笼内各有鸡多少只？
例2：小红期中考试时，数学和语文的平均分是96分，语文比数学少8分，问语文、数学各得几分？
例3：甲、乙两仓库共有货物1000吨，如果从甲仓库调50吨货物到乙仓库，那么甲、乙仓库的货物同样多，问原来两仓库各存货物多少吨？
例4：某加工厂甲班和乙班共有工人94人，因工作需要从乙班调46人到甲班工作，这时乙班比甲班少12人，问原来两班各有多少人？
例5：两只盒子里共有15只面包，如果甲盒中放入4只面包，乙盒中取出2只面包，这时乙盒比甲盒多1只面包，问甲、乙两盒原来各有面包多少只？
例6：一只三层的书架，共放书108本，上层比中层多11本，下层比中层少5本，问上、中、下层各放书多少本？
例7：一群猴子共102只，共吃一堆桃子。大猴每只分得12只桃子，小猴每只分得10只桃子，桃子正好分完。小猴们很快把10只桃子吃完了，却要求再给每只小猴3只桃子，大猴们只得满足小猴们的要求后，还余24只桃子，问猴群共有多少只桃子？
自我检测：
一、填空题。
1、小星花了95元买了一条裤子和一件衬衫，已知衬衫比裤子贵了15元，那么裤子 元，衬衫 元。
2、小张与小王两位同学今年的年龄和是28岁，小张比小王大2岁。小张今年 岁，小王今年 岁。
3、两个连续奇数之和是100，则这两个奇数分别是 和 。
4、小阳期末考试时，语文和数学的平均分是96分，数学比语文高4分。他数学考了 分，语文考了 分。
5、在一个直角三角形中，两个锐角相差40度，那么这两个锐角中，较大的角是 度，较小的角是 度。
6、一个长方形的周长是14米，长比宽多3米，这个长方形的面积是 平方米。
7、今年弟弟8岁，哥哥14岁。当他们两人的年龄和是48岁时，弟弟 岁，哥哥 岁。
8、两个水桶里共盛水30公斤，如果把第一桶里的水倒6公斤到第二桶里，两桶水就一样多。第一桶原有水 公斤，第二桶原有水 公斤。
9、四年级有三个班，如果把甲班的1名学生调到乙班，两班人数相等；如果把乙班的1名学生调到丙班，丙班比乙班多2人。甲班和丙班比， 班人数多，多 人。
二、解答题。
10、一个展览会上，展品中有266件不是A 公司的，有178件不是B 公司的。这两个公司的展品合起来有498件，那么A 公司有展品多少件？B 公司有展品多少件？
第四讲 速算与巧算
知识点：通过灵活运用定律和性质，进行简算或巧算。例如：分解或合并、利用特殊数、添括号获取括号、带符号搬家等方式。
例1： （1000+2）+（1001+4）+（1002+6）+…+（1050+102）=？ 例2: 99999×22222+33333×33334=？
例3： 66666×10001+66666×6666=？ 例4： （873×477－198）÷（476×874+199）=？
例5： 6273+9999×9999+3726=？ 例6: 654321×123456－654322×123455=？
例7： （1911+1912+1913+…+2044+2045）÷（1956+1957+1958+…+2000）=？
例8： （2×3×4＋4×6×8＋…＋200×300×400）÷（1×2×3＋2×4×6＋…＋100×200×300）=？
:
例9： 2772÷28＋34965÷35=？
自我检测：
一、填空题。
1、（2002+2002）×。
2、 1+（11×111）－
3、下列五个数：0.0908、0.9008、0.0098、0.098、0.908中，最小的数是
4、把一千一百万、一万一千、一千一百、十一这四个数之和写成阿拉伯数字是。
5、
6、0.2×0.3×
7、10÷。
8、0.8×（0.3+0.7）
9、9÷13+13÷9+11÷13+14÷9+6÷
二、解答题。
10、求1.2121212÷3.030303的值。
11、求1+2－3+4－5+6－7+…+2000－2001+2002的值。
第五讲 年龄问题 知识点：是和差问题、和倍问题、差倍问题的综合运用。1、差倍抓住“差不变”“年龄差÷年龄的倍数差”算出1倍数。2、和倍算出年龄和“年龄和÷年龄的倍数和”求出当时两人的年龄。
3、和差先算年龄和，确定两人的年龄差，用（年龄和+年龄差）÷2=大年龄（年龄和－年龄差）÷2=小年龄，求出两人年龄。
例1：小明比妈妈小24岁，妈妈的年龄正好是小明的3倍，妈妈和小明现在分别是多少岁？
例2：玲玲和爷爷今年的年龄和是78岁，爷爷的年龄是玲玲的5倍，问两人今年各是几岁？
例3：王刚今年9岁，李英今年13岁，当两人年龄和是40岁的时候，王刚和李英分别是多少岁？
例4：小鲸鱼对大鲸鱼说：“妈妈，我到您现在这么大时，您就31岁了！”大鲸鱼对小鲸鱼说：“我像你这么大时，你只有1岁”，问小鲸鱼和大鲸鱼现在各多少岁了？
例5：张爷爷有三个孙子，大孙子22岁，二孙子20岁，小孙子15岁。25年以后，三个孙子的年龄之和比张爷爷那时年龄的2倍还少60岁，问张爷爷今年多少岁？
例6：今年姐妹俩年龄的和为55岁。若干年前，当姐姐的年龄只有妹妹现在这么大时，妹妹的年龄恰好是姐姐年龄的一半，问姐姐、妹妹今年各几岁？
自我检测：
一、填空题。
1、爸爸和妈妈的年龄和是69岁，十年后，爸爸比妈妈大3岁，那么爸爸现在 岁。
2、王刚5年前的年龄等于李明7年后的年龄，王刚4年后与李明3年前的年龄和是35岁，李明今年 岁。
3、哥哥今年15岁，弟弟今年11岁，当兄弟俩岁数的和是100岁时，弟弟应该是 岁。
4、爸爸今年35岁，儿子今年11岁， 年前爸爸的年龄是儿子的5倍。
5、一家三口年龄之和是77岁。已知爸爸和妈妈同岁，妈妈的年龄是孩子的3倍，妈妈今年 岁。
6、小明和小红两人6年后的年龄之和为30岁，小红的年龄等于两人的年龄差，小红今年 岁。
7、小文今年7岁，他爸爸今年35岁。当小文 岁时，他爸爸的年龄是他的8倍。
8、小华今年10岁，爷爷今年64岁， 年后，爷爷的年龄等于小华年龄的4倍。
9、父亲今年的岁数是儿子的4倍，5年后父子共55岁，那时父亲 岁。
二，解答题。
10、2000年，妈妈50岁，儿子23岁，问哪一年妈妈的年龄是儿子的4倍？
11、哥哥5年前的年龄等于妹妹3年后的年龄，哥哥4年后与妹妹3年前年龄的和是35岁，求哥哥、妹妹今年的年
第六讲 相遇问题
知识点：行程问题涉及三个基本的量：路程、速度、时间。它们之间的关系是：路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度
例1：甲乙两人分别从相距60千米的两地同时出发相向而行，甲骑车每小时行10千米，乙步行每小时行5千米，问两人出发几小时后相遇？
例2：甲乙两人同时从A 地出发相背而行，甲骑车每小时行10千米，乙步行每小时行5千米，问两人出发4小时后相距多少千米？
例3：甲乙两车分别从相距800千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行52千米，乙车每小时行48千米，问（1）几小时后两车还相距200千米？（2）几小时后两车相遇？（3）几小时后两车相遇又相距400千米？
例4：甲乙两人分别从AB 两地同时出发相向而行，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。在离AB 两地中点3千米的地方相遇，求AB 两地的距离。
例5：甲乙两人从AB 两地骑车同时出发相向而行，2小时后相遇。相遇后乙继续向A 地前进，甲则返回。当甲到达A 地时，乙距离A 地还有4千米。已知AB 两地相距80千米，求甲、乙两人各自的速度？
例6：雏鹰小队外出野营活动，队伍长800米，行进的平均速度是每分钟60米。队伍最前面的联络员用5分钟时间跑到队伍最后面传达命令，联络员每分钟行多少米？
11
自我检测：
一、填空题。
1、甲、乙两车同时从A 、B 两地相向而行，5小时相遇。甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米，求A 、B 两地相距千米。
2、A 、B 两港相距402千米。甲、乙两快艇分别从两地同时相对开出，3小时相遇。甲艇每小时行65千米，乙艇每小时行 千米。
3、甲、乙两车从相距480千米的两地相对开出，甲每小时行60千米，乙每小时行40千米，现在要使两车在两地间的中点处相遇，则乙必须先行 小时。
4、A 、B 两港相距108千米。甲、乙两船分别同时从两港相对开出。甲船每小时行16千米，乙船每小时行20千米，相遇时甲船离B 港千米。
5、客车和小轿车分别从A 、B 两地同时相向而行，小轿车每小时行80千米，比客车每小时多行6千米。当两车相遇时小轿车比客车多行30千米，A 、B 两地相距
6、快车和慢车同时由甲、乙两地相向而行，经过5小时相遇，相遇后快车再行3小时到达乙地。慢车每小时行48千米，求甲、乙两地的距离是 千米。
7、甲、乙不同时由相距794千米的两地相向而行，甲每小时行52千米，乙每小时行42千米，甲行了416千米与乙相遇，乙比甲早出发小时。
8、甲、乙两地相距1510千米，客车和货车同时从两地相向而行，15小时后两车还相距10千米。已知货车每小时行45千米，求客车每小时行 千米。
9、甲、乙两人骑车从两地先后出发，用同样的速度相向而行。甲用4小时行了48千米到达相遇地点，乙行了36千米到达相遇地点，乙行完全程要 小时。
10、甲、乙两地相距918千米，A 、B 两车同时从两地相向而行，6小时相遇。已知A 车的速度是B 车的2倍，则A 车每小时行 千米，B 车每小时行 千米。
二、解答题。
11、一辆货车和一辆轿车同时从甲地开往乙地，轿车每小时行75千米，货车每小时行50千米。10小时后轿车到达乙地后，立即按原路返回，问再过几小时后与货车相遇？
12、甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向出发，甲车每小时走56千米，乙车每小时走48千米，两车在离中点32千米处相遇，问东、西两地之间的距离是多少千米？
12
第七讲 追及问题
知识点：追及问题是行程问题的另一个分类，它的特点是两个运动物体行进的方向相同，基本数量关系式：追及路程=速度差×时间
例1：慢车以每小时45千米的速度从甲地开往乙地，3小时后快车以每小时60千米的速度也从甲地开往乙地，问多少小时后快车追上慢车？
例2：两辆汽车运送货物，大卡车以每小时36千米的速度从甲地开往乙地，2小时后小卡车以每小时48千米的速度也从甲地开往乙地，当小卡车追上大卡车时离甲地多远？
例3：两匹马在相距50米的地方同时同向出发，出发时黑马在前白马在后。如果黑马每秒跑10米，白马每秒跑12米，几秒后两马相距70米？
例4：上午8点一列货车以每小时40千米的速度从甲地开往乙地，中午12点一列客车以每小时65千米的速度也从甲地开往乙地。为了行车安全，火车间的距离不得小于10千米，那么货车最晚应在什么时间停车让客车驶过？
13
自我检测：
一、填空题。
1、A 、B 两地相距80米，甲在A 地，乙在B 地，他们同时同向出发。甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，甲追上乙要用
2、小王和小李都在甲地，准备去乙地。小王每分钟行120米，小李每分钟行150米。小王先行5分钟后，小李才出发，经过 分钟后小李追上小王。
3、兔子和乌龟在一个200米的环形跑道上赛跑，它们从同一地点同时出发。乌龟每爬行5米，兔子超过它一圈。当乌龟爬完一圈时，兔子跑了 圈。
4、小明和小勇家相距400米，并且都在学校东边，小勇家距学校比小明家距学校远。小明每分钟走75米，小勇家距学校为了保证两人都用16分钟同时到校，小勇每分钟必须走 米。
5、学校操场的环形跑道长200米。甲、乙两人同时同地朝同一方向出发。甲每分钟行110米，乙每分钟行100米，经过 分钟后甲可以追上乙。
6、甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，两人同时从A 地到B 地。结果甲比乙早到5分钟，求A 、B 两地的路程有
7、小方先行的速度是每分钟75米，小云步行的速度是每分钟65米。小云先出发步行100米后，小方出发去追小云。小方追上小云时，他共行了 米。
8、甲、乙两匹马在相距50米的地方同时出发，出发时甲马在前乙马在后。如果甲马每秒跑10米，乙马每秒跑12米，经过 秒后两马相距70米。
9、小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明。结果在距学校1000米处追上小明，小强骑自行车每分钟行 米。
10、兄妹两人在周长300米的圆形水池边玩，从同一地点同时同向绕水池而行。哥哥每分钟走20米，妹妹每分钟走16米。当哥哥追上妹妹时，哥哥已经走了 圈。
二、解答题。
11、甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上跑步。如果两人从同一地点出发背向而行，那么经过2分钟两人相遇；如果两人从同一地点出发同向而行，那么经过20分钟两人相遇。已知甲的速度比乙快，问甲、乙两人跑步的速度各是多少？
12、红星小学组织学生排队步行去郊游，队伍总长630米，步行速度是每分钟行60米。队尾的王老师以每分钟150米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，问共用了多少分钟？
14
第八讲 火车行程问题
知识点：运动方式多样，有时是相遇，有时是追及，有时是又有相遇又有追及。特别注意路程是什么。在火车行程问题中，路程有时是某一列火车的长，也可能是两列火车的长。遇到火车过桥问题时，还有可能是桥长与火车长度的和。
例1：客车以每秒钟21米的速度行驶，司机发现对面开来的一列货车，速度是每秒钟15米，从身边经过共用了10秒钟，问货车的车长是多少米？
例2：小樵在铁路边沿铁路方向的公路上散步，速度是2米/秒。从后面开来一列长288米的火车，从车头到车尾经过他身旁共用了16秒，问火车的速度是多少？
例3：火车通过一条长1460米的桥用了70秒，穿越1940米的隧道用了90秒，求火车的车长和车速。
例4：小薇坐在行驶的列车上，发现迎面开来长243米的货车用了9秒通过窗口，还发现列车通过一座240米长的桥用了16秒，求货车的速度。
例5：一列火车有18节车厢，每节车厢长45米，车厢与车厢之间相隔1米，问这列火车以30米/分的速度通过一座长103米的大桥需要多少分钟？
例6：在铁路复线上两列火车相向而行，甲车车长172米，车速每秒16米，乙车车长128米，车速每秒24米。现两车车头相距180米，几秒钟后两车的车尾相离？
例7：在铁路复线上两列火车同向而行，甲车车长172米，车速每秒24米，乙车车长128米，车速每秒16米。现乙车在前甲车在后，两车相距180米，甲车完全超过乙车要行多少路程？
15
自我测试：
一、填空题。
1、长度为100米的列车，若以每小时60千米的速度通过一个400米长的隧洞，要用
2、某人步行的速度是每秒钟2米。一列火车开来，从他身边经过用了10秒钟。已知火车的车身长是190米，火车每秒钟行米。
3、小王骑自行车每秒钟行5米，一列迎面开来的火车每秒行20米，车长是200米，火车从小王身边开过用了
4、一位汽车驾驶员发现后面开来的火车，从他身边开过用了12秒。汽车每秒行15米，火车每秒行25米，求这列火车的长度是米。
5、一座桥长200米，一列长130米的火车通过这座桥共用了30秒，这列火车每秒钟行米。
6、一列长为240米的火车，以每秒钟30米的速度过一个隧道。从车头进洞到车尾出洞共用了1分钟，这个隧道的长度是 米。
7、小红为测量疾驰而过的火车的长度和速度，她用秒表记下了火车从她面前通过要15秒；又记下从车头过第一根电线杆，到车尾过第二根电线杆所用的时间是20秒，并量出两个电线杆之间的距离是100米，火车的速度是每秒钟米，长度是米。
8、一列火车长900米，它从路边的一棵大树旁通过用了3分钟；它以同样的速度通过一座大桥，从车头上桥到车尾离桥共用了5分钟，这座大桥长米。
9、小明在铁路边的公路上散步，他散步的速度是每秒2米，这时从他后面开过来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用了21秒，已知火车全长336米，求火车每秒行 米。
10、铁路旁边有一条公路，公路上一辆拖拉机正以每小时20千米的速度行驶。这时一列火车以每小时56千米的速度从后面开过来，火车从车头到车尾经过拖拉机身旁用了23秒，求火车的全长是 米。
二、解答题。
11、一个车队以4米/秒的速度通过一座长200米的大桥，共用115秒。已知每辆车长5米，两车间隔10米，问这个车队共有多少辆车？
12、小刚在铁路旁边的公路上散步，他散步的速度是每秒2米。一列迎面开来的火车从他身边经过共用8秒；另一列从后面开来的火车从他身边经过共用10秒。经测量，两列火车的车身长和行驶速度都相等，问火车的速度和车身长各是多少
16