数学建模案例之
多变量无约束最优化
问题1[1]：一家彩电制造商计划推出两种产品：一种19英寸立体声彩色电视机，制造商
建议零售价（MSRP ）为339美元。另一种21英寸立体声彩色电视机，零售价399美元。公司付出的成本为19英寸彩电195美元/台，21英寸彩电225美元/台，还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售量会影响21英寸彩电的销售量，反之也是如此。据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。问题是：每种彩电应该各生产多少台？
清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？
1．问题分析、假设与符号说明
这里涉及较多的变量：
s ：19英寸彩电的售出数量（台）； t ：21英寸彩电的售出数量（台）； p ：19英寸彩电的售出价格（美元/台）； q ：21英寸彩电的售出价格（美元/台）； C ：生产彩电的成本（美元）； R ：彩电销售的收入（美元）； P ：彩电销售的利润（美元） 这里涉及的常量有：
两种彩电的初始定价分别为：339美元和399美元，成本分别为：195美元和225美元；每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01美元（称为价格弹性系数）；两种彩电之间的销售相互影响系数分别为0.04美元和0.03美元；固定成本400000美元。
变量之间的相互关系确定：
假设1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。
假设2：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。 因此，19英寸彩电的销售价格为：
p=339 - a×s - 0.03×t ，此处a=0.01
21英寸彩电的销售价格为：
q=399 - 0.01×t - 0.04×s
因此，总的销售收入为：
R=p×s + q×t
生产成本为：
C=400000 + 195×s + 225×t
净利润为：
P = R - C
因此，原问题转化为求s ≥0和t ≥0，使得P 取得最大值。
2．建立数学模型
根据前面的分析，原问题的数学模型如下：
m ax P (s , t ) s . t .
P (s , t ) =(339-as -0.003t ) s +
(399-0.004s -0.01t ) t - (400000+195s +225t )
s ≥0, t ≥0
3．模型求解
3.1 求解方法
（1）求出驻点（s 0，t 0），即解方程组
1）
（
⎧∂P (s , t )
=0⎪⎪∂s
⎨
⎪∂P (s , t ) =0⎪∂t ⎩
（2）判断是否在驻点处取得极值，方法如下：
1）先计算
D 1=
∂P (s , t ) ∂s
2
2
2
,
(s 0, t 0)
2
∂P (s , t ) ∂s
D 2=
2
2
∂P (s , t )
(s 0, t 0)
2
∂s ∂t ∂P (s , t )
(s 0, t 0)
∂P (s , t ) ∂t ∂s
(s 0, t 0)
∂t
2
(s 0, t 0)
2）若D 1>0, D 2>0，则（s 0，t 0）是极小值点；
若D 10，则（s 0，t 0）是极大值点； 若D 2
若D 2=0，则不能肯定（s 0，t 0）是不是极值点，必须考察更高阶的偏导数。
3.2 计算结果
（1）利用Matlab 计算出驻点为：（4735.04，7042.7）, 其中a=0.01； （2）利用Matlab 计算出 D 1=-0.020，因此P(s,t)在（4735，7043）处取得极大值：553641美元。
（3）辅助数据：p=270.52；q=309.63；C=2907950；利润率=0.190389。
3.3 结果解释
简单地讲，这家公司可以通过生产4735台19英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年获得的净利润是553641美元。
19英寸彩电的平均售价为270.52美元/台；21英寸彩电的平均售价为309.63美元/台；生产的总成本为 2907950美元；相应的利润率为19.0389%。
根据以上结果显示了是有利可图的，因此建议这家公司的推出新产品计划应该实
行。
图形显示见下图。
图1 彩电问题
4．灵敏性分析
在报告结论之前，应该对关于彩电市场和生产过程所作的假设进行灵敏性分析，以保证结果具有稳定性。我们主要关心的是决策变量s 、t 的值，因为公司据此来确定生产量。在前面的计算中，我们假设a=0.01美元/台，下面考虑当19英寸的彩电的价格弹性系数a 发生微小的变化时，公司的生产量以及利润将如何变化。
4.1 产量对a 的灵敏性分析
P (s , t ) =(339-as -0.003t ) s +(399-0.004s -0.01t ) t -(400000+195s +225t ) （2）
它的驻点为：
1662000⎧
s (a ) =⎪⎪40000a -49
（3） ⎨
581700⎪t (a ) =8700-
⎪40000a -49⎩
由（2）可得，19英寸彩电的价格弹性系数a 的增加，会导致19英寸彩电的最优生产量s(a)的下降，而21英寸彩电的最优生产量t(a)会增加，见图2。
图2 s和t 关于a 的变化的灵敏性曲线
我们计算得到灵敏性的具体数值（其中a=0.01,s=s(a),t=t(a)）：
S (s , a ) =
ds a dt a
⋅≈-1.14, S (t , a ) =⋅≈0.268 da s da t
因此，如果19英寸彩电的价格弹性系数增加10%，则应该将19英寸彩电的生产量减少11%，21英寸彩电的生产量增加2.7%。
4.2 利润对a 的灵敏性分析
为了得到利润P(s,t)对于a 的灵敏性，将（3）带入（2）, 可得P(a):
P (a ) =
[1**********]a+51568000
40000a-49
灵敏性计算结果为（其中a=0.01,P=P(a)）：
S (P , a ) =
dP da
⨯a P
≈-0.405
因此，19英寸彩电的价格弹性系数增加10%，会使利润下降约4%，见图3。
图3 利润P 关于a 的灵敏性曲线
5．参考资料
[1] Mark M.Meerschaert. 数学建模方法与分析，北京：机械工业出版社， 2005
6．附 录
1．模型求解结果
syms s t;
P=(339-0.01*s-0.003*t)*s+(399-0.004*s-0.01*t)*t-(400000+195*s+225*t);
Ps=diff(P,s); Pt=diff(P,t); A=solve(Ps,Pt); s0=double(A.s); t0=double(A.t); Pss=diff(Ps,s); Pst=diff(Ps,t); Pts=diff(Pt,s); Ptt=diff(Pt,t);
Jd=[Pss Pst;Pts Ptt];
D1=subs(subs(Pss,s,s0),t,t0); D2=double(det(Jd));
Pmax=subs(subs(P,s,s0),t,t0); %
% 绘制利润函数的图形 %
h1=figure
[X,Y]=meshgrid(0:10:10000,0:10:10000);
Z=(339-0.01*X-0.003*Y).*X+(399-0.004*X-0.01*Y).*Y-(400000+195*X+225*Y);
mesh(X,Y,Z)
XLabel('19英寸彩电数量（台）') YLabel('21英寸彩电数量（台）') ZLabel('利润(元)') box on grid on %
% 绘制等值线 %
h2=figure
contour(X,Y,Z)
XLabel('19英寸彩电数量（台）') YLabel('21英寸彩电数量（台）') 2. 灵敏性程序
%
% 第3讲案例1:灵敏性分析 % %
syms a s t ;
P=(339-a*s-0.003*t)*s+(399-0.004*s-0.01*t)*t-(400000+195*s+225*t); dPs=diff(P,s); dPt=diff(P,t);
A=solve(dPs,dPt,s,t); %求驻点 sa=A.s ta=A.t
Pa=subs(subs(P,s,sa),t,ta); dsa=diff(sa,a); dta=diff(ta,a); dPa=diff(Pa,a); %
% 灵敏性值 %
Ssa=subs(dsa,a,0.01)*0.01/subs(sa,a,0.01) Sta=subs(dta,a,0.01)*0.01/subs(ta,a,0.01) SPa=subs(dPa,a,0.01)*0.01/subs(Pa,a,0.01) %
% 绘制 s,t 对 a 的灵敏性曲线
% 拷贝sa,st 到函数fplot 中 % h1=figure grid on hold on
fplot('1662000/(-49+40000*a)',[0.005 0.02],'ro-' );
fplot('48000*(-21+7250*a)/(-49+40000*a)',[0.005 0.02],'b*-'); legend('sa ：19吋彩电产量变化' , 'ta ：21吋彩电产量变化' ,1) XLabel(' 参数 a 的变化：[0.005 0.02](单位：元/台)' ) YLabel(' 产量sa,ta(单位：台) ')
title(' 产量 s 和 t 关于参数 a 的灵敏性曲线' ) hold off %grid off %
% 计算并绘制利润率对参数 a 的灵敏性曲线 % 拷贝Pa 到函数fplot 中 % h2=figure grid on
fplot('16000*(892250*a+3223)/(-49+40000*a)',[0.005 0.02],'r-' ) XLabel(' 参数 a 的变化：[0.005 0.02](单位：元/台)' ) YLabel(' 利润Pa(单位：元) ')
title(' 利润 Pa 关于参数 a 的灵敏性曲线' )