第５７卷第３期２００８年３月
１０００．３２９０／２００８／５７（０３）／１３１６．０５
物理学报
Ｖ０１．５７，Ｎｏ．３，Ｍａｒｃｈ，２００８
ＡＣＴＡＰＨＹＳＩＣＡＳＩＮＩＣＡ
⑥２００８Ｃｈｉｎ．Ｐｈｙｓ．Ｓｏｃ．
ＫｄＶ孤子的含时微扰理论＊
潘留仙１’２’
俞慧友１’颜家壬１’’
１）（湖南师范大学物理系，长沙４１００８１）
２）（湖南涉外经济学院电子与信息工程系，长沙４１０２０５）（２００７年４月４日收到；２００７年６月２１日收到修改稿）
研究了周期性含时微扰对ＫｄＶ（Ｋｏｒｔｅｗｅｇ
ｄｅ
Ｖｒｉｅｓ）孤子的影响．将微扰项展为时间变量的傅里叶级数，发现其
常数项是导致长期项的根源．在一阶近似下，消除长期项，求出了孤子参数（高度、宽度和速度）随时间的缓慢变化．傅氏级数中的其他项决定了微扰对孤子波形的一阶修正．
关键词：ＫｄＶ孤子。孤子微扰论
ＰＡＣＣ：０３４０，４７２０，４７２５
可积与非可积系统，具有较大的普遍性．在此基础
１．引言
上发展起来的含时微扰论仍将保留这一特点．按孤子微扰论直接法的处理程序，前两步（线性化与构造
孤子理论是非线性科学的重要组成部分，它在物理学的许多领域（如流体物理、等离子体物理、凝聚态物理、非线性光学等等）有着日益重要的应用．但在实际问题中，孤子方程往往不是以标准形式出现的，它一般还含有一些比较微小的附加项，这些附加项可以当作微扰来处理，因此孤子微扰论是孤子理论中最有实用价值的内容之一．现有的孤子微扰论大体上可以分为两类，即基于逆散射变换（ＩＳＴ）的微扰论ｎ叫’与直接微扰论‘卜旧Ｊ．然而不论哪种微扰论，总是假定微扰项为孤子解的某种泛函，也就是说在随孤子一起运动的参照系内，微扰项是不依赖于时间的，它们属于非含时微扰论．但在实际问题中，我们常常会遇到微扰依赖于时间特别是周期性依赖于时间的情况ｕ¨，因此发展一种系统的孤子含时微扰论是一件颇有实际意义的工作．
本文试图在文献［１２，１３］的基础上，以ＫｄＶ方程为例，发展一种直接的孤子含时微扰论，一方面是因为ＫｄＶ方程系列是物理学中有广泛应用的一类十分重要的非线性演化方程，一直受到人们的普遍关注（例如近年内又发现了它们一些新的孤子解或类孤子解ｎ４’”１）．另一方面是由于文献［１２，１３］的方法完全摆脱了对逆散射变换的依赖，能同时适用于
微扰展开基）与文献［１２］完全一样，为方便读者，我们将写出主要结果但不作证明．后两步（消除久期项以确定孤子参数随时间的演化以及求微扰对孤子波形的一阶修正）与文献［１２］有显著差别，是本文论述的重点．
２．一阶近似方程
考虑带含时微扰的ＫｄＶ方程
（１）“。＋６““，＋“一＝ｅＲ［“，ｔ］，
式中，下标代表对时，空坐标ｆ，石求导，￡为一表征
微扰强弱的小参数（０＜ｅ《１），与非含时微扰不同，这里的微扰项尺［Ｈ，ｔ］除了为ｕ，‘虬，‰，…的函数（即Ⅱ的泛函）外，还将依赖于时间ｔ．当不存在微扰时，标准的ＫｄＶ方程具有如下单孤子解：
／２，ｏ＝２ａ２ｓｅｃｈ２ａ（算一菇。一４ａ２ｔ）．
（２）
按文献［１２］的做法，引进多重尺度时间变量ｔ。＝￡“ｆ，ｎ＝０，１，２，…，则
ａ。＝ａ。。＋ｅａ。。＋ｅ２ａ。２＋…，
（３）
再对ｕ作渐近展开
ｕ＝ｕ‘ｏ’＋￡Ｍ‘１’＋ｅ２“‘２’＋…，
（４）
将（３），（４）式代入方程（１），比较￡的各次幂系数，得
＊国家自然科学基金（批准号：１０３７５０４３）及湖南省博士后科研专项计划资助的课题ｔ通信作者．Ｅ—ｍａｉｌ：ｊｉａｒｅｎｙａｎ＠ｈｕｒｍｕ．ｅｄｕ．ｃａ
３期潘留仙等：ＫｄＶ孤子的含时微扰理论
如下各级近似方程：
“≯＋６“佃’“？’＋Ⅱ竺＝０，（５）
ｕＰ＋６“佃’ｕ？’＋６ｕＰｕ“’＋ｕ曼
：剐ｕ佃’，ｔ］一“，，…，
（６）
零级近似方程（５）即标准的ＫｄＶ方程，它具有（２）式
所示的单孤子鼹，并可改写为
Ｕ‘ｏ’（菇，ｔｏ）＝２ａ２ｓｅｃｈ２彳，ｚ＝ａ（ｘ—ｅ），车。。＝４ａ２．
（７）
但由于微扰的影响，（７）式中的孤子参数ａ将不再
为常数，导也不再仅为ｔ。的函数（气＝４ａ２），它们都
将为慢变量ｔ。，ｔ：，…的待定函数，但在一阶近似下，它们仅依赖于ｔ。，而与高阶慢变量ｔ：，ｔ，，…无关．于是
“甲＝４ａａ。。庐一（ｚ）＋４ａ３￡。≠：（ｚ），
（８）
式中
≯ｌ（孑）＝（１一ｚｔａｎｈｚ）ｓｅｃｈ２ｚ，声２（：）＝ｔａｎｈｚｓｅｃｈ２ｚ．
（９）
将（８）式代入方程（６），并变换到随孤子一起运动的坐标系，就得到如下的一级近似方程与初条件：
ｕ：’＋ｎ３￡Ｈｎ’＝Ｒ［ｕ∞’，ｔｏ］一４ａａ。。庐ｔ（ｚ）
一４ａ３￡．≠：（２），ｕ‘１’（名，Ｏ）：０，
（１０）
式中，￡是如下定义的线性微分算子：
￡＝善＋（１２ｓｅｃｈ２彳一４）未一２４ｔａｎ慨ｅｃ心．
ｄＺ
ｕ；
（１１）
显然￡不是自共轭的，其共轭算子为
￡’＝善＋（１２ｓｅｃｈ２：一４）瓦ｄ．
（１２）
３．微扰展开基
文献［１２］给出了ＫｄＶ孤子的两组微扰展开基。
｛函｝＝｛声（孑，ｋ），一（ｚ）；＿『＝１，２，｝
与
｛缈｝＝｛妒（ｚ，ｋ），以（彳）；．『＝１，２｝，
其中
声（彳，后）２：７ｉｊｉ而［后（．ｊ｝２＋４）
＋４ｉ（ｋ２＋２）ｔａｎｈｚ一８ｋｔａｎｈ２ｚ
一８ｉｔａｎｈ３ｚ］，
（１３）
妒（彳，后）２：７主而［后２—４ｉ后ｔａｎｈ二一４ｔａｎｈ２名］，
声。（ｚ），声：（彳）已由（９）式给出；
（１４）
妒ｌ（：）＝ｓｅｃｈ２彳，驴２（工）＝ｔａｎｈｚ＋ｚｓｅｃｈ２ｚ．
（１５）
≯（ｚ，Ｊ｝），≯：（ｚ）与妒（ｚ，ｋ），妒。（ｚ）分别为￡与￡’的本征函数，它们满足如下本征值方程：
￡乒（ｚ，居）＝｜；Ｌ（矗）拳（石，南），Ａ（ｋ）＝一ｉｋ（ｋ２＋４）；三声：（ｚ）＝０，（１６）
￡＋妒（：，知）＝一Ａ（Ｊ｜｝）妒（ｚ，七），Ｌ’驴。（ｚ）＝０，
（１７）
但声。（三）与妒：（ｚ）不是本征函数，它们满足如下方程：
三≯。（－ｚ）；一８≯：（：），￡’妒：（ｚ）＝８驴。（＝），（１８）此外，文献［１２］证明了如下的完备性和正交性：
ＰＩ
庐（ｚ，ｋ）妒（ｚ７，ｋ）ｄｋ
＋∑屯（ｚ）心（：７）＝艿（ｚ—ｚ，），
（１９）
Ｉ≠（ｚ，ｋ）驴（ｚ，艮７）ｄｚ＝艿（ｋ—ｋ７），ｌ≯（ｚ，ｋ）讧（彳）ｄ：
＝ｌ
驴（ｚ，ｋ）允（ｚ）ｄｚ＝０，＿『＝１，２，
Ｉ咖（：）咖（ｚ）ｄｚ＝屯，＿『，ｚ＝１，２，
（２０）
式中Ｐ代表积分取主值（因ｋ＝０是（１９）式中被积
函数的一阶极点）．
４．孤子参数随时间的演化
将ｕｎ’（彳，ｔ。）按基｛中｝展开
Ｍ“’（ｚ，￡ｏ）＝ＰＩ
ｒ（ｆｏ，ｋ）声（彳，ｋ）ｄｋ
＋∑乃（ｔｏ）吃（ｚ）．
（２１）
将（２１）式代人一级近似方程（１０），得到各展开系数
所满足的常微分方程及初条件
于（ｔ。，ｋ）＋Ａ（ｋ）ａ３Ｔ（ｔ。，ｋ）
＝Ｉ
Ｒ［１‘∞’（ｚ），￡。］妒（ｚ，ｋ）ｄｚ，ｒ（ｏ，后）＝０，
（２２）
于。（ｔｏ）
＝一４口口ｌＩ＋Ｊ一。Ｒ［ｕ∞’（：），ｌ。］≯－（ｚ，）ｄｚ，
１３１８
物
理丁，（ｏ）＝ｏ，（２３）
于２（ｔｏ）一８Ⅱ３Ｔ，（ｔｏ）
＝一４ａ３＠ｌ＋Ｉ
Ｒ［ｕ‘ｏ’（：），￡ｏ］妒２（ｚ）ｄｚ，
疋（０）＝０，
（２４）
式中展开系数上方的小圆点代表该系数对ｔ。求导．对于非含时微扰，方程（２３）与（２４）的右端不含ｔ。，显然ｒ。（ｔ。）与咒（ｔ。）将随时间ｔ。的增长而无限增大，这就是长期项，消去它们就得到孤子参数ａ和｝对时间慢变量ｔ．的依赖：
ａｔＩ＝石１
Ｌ剐ｔｔ（０）（三）］驴－（ｚ）ｄｚ，
￡。：寿ｊ一。尺［ｕｆｏ’（三）］妒ｚ（彳）批
（２５）
对于含时微扰，（２３）与（２４）式的右端是依赖于ｔ。的，这时关键问题是如何找到长期项．在实际问题中，含时微扰项Ｒ［“∞’（ｚ），ｔ。］大多是ｔ。的周期函
数，这时砒ｕ∞’（彳），ｔ。］可展为ｔ。的傅里叶级数
Ｒ［Ｕ∞’（石），ｔ。］：凰［Ｕ‘０’（Ｚ）］
＋∑［Ｒ。［ｕ∞’（ｚ）］ｅ～吣＋ｃ．ｃ．］，
ｎ＝１
（２６）
式中Ｒ。［ｕ∞’（ｚ）］与Ｒ。［ｕ∞’（ｚ）］均为ｕ‘ｏ’，“罗，ｕ婴
…的函数（即ｕ‘ｏ’的泛函），ｃ．ｃ．代表它前一项的共轭复数．将（２６）式代入（２３）式，得
于。（￡。）＝一４ａａ。。＋Ｉ
Ｒｏ［ｕ伯’（ｚ）１妒。（石）ｄｚ
∑【峨一。妒’ｎ＝
石妒・二＿一一
＋ｃ．ｃ．】．
（２７）
对ｔ。积分一次，得
矗（ｔ。）＝【一４０－。。．＋．ｒ：。风［ｕ（∞（：）］驴。（ｚ）ｄ彳】ｔ。
＋耄【Ｔ－忑㈠（ｅ‰＿１）小山（ｏ）（圳㈣ｄ名
＋ｃ．ｃ．】．
（２８）
显然，（２８）式右端第一项随时间线性地无限增长，此
即长期项．消除它即得
ａｑ＝去Ｌ蹦ｕ㈤㈤Ｍ㈤∽（２９）
于是
ｒ。（ｔｏ）＝耋【上ｉｍｏ（ｅｌ钆１）小山㈨㈤Ｍ㈤ｄｚ
学
报
５７卷
＋ｃ．ｃ．】．
（３０）
同样，将（２６）与（３０）式代人（２４）式，得
于：（ｔｏ）＝一４ａ３￡，＋Ｉ
Ｒｏ［“∞’（ｚ）］驴２（ｚ）ｄｚ
＋封ｅ‘‰Ｌ趴Ｍ㈣㈤Ｍ㈤ｄｚ
…ｃ．】ｍ３蚤【上ｉｎｔｏ（ｅｍｌｏ－１）
×Ｉ
Ｒ。［Ｈ∞’（名）１妒。（ｚ）ｄｚ
＋ｃ．ｃ．】．
（３１）
对积分一次，并注意到零初条件，得
ｒ２（ｔ。）＝【一４ａ３ｅ。。＋．『：。Ｒ。［／ｔ（０）（ｚ）］驴：（：）ｄｚ】ｃ。
比３ｚ。耋【志小山㈤㈤Ｍ㈤ｄｚ
…ｃ．】－８。３蚤【去（ｅＩ～＿１）
×Ｉ
ＲＪｕ∞’（ｚ）１驴。（ｚ）ｄｚ
…ｃ．】＋妻【去（ｅｌ～＿１）
×Ｉ
Ｒ』“∞’（石）］妒：（ｚ）ｄｚ
＋ｃ．ｃ．】．
（３２）
显然（３２）式右端第１，２项为长期项，消除它，得
￡。＝击ＬＲ。［Ｍ∞’（三）］≯ｚ（枷ｚ
一２耋【爿』∥ｏ）（圳州州ｚ
＋ｃ．ｃ．】，
（３３）
（２９）和（３３）式给出了两孤子参数ａ与手对时间慢变量ｔ。的依赖关系．消去长期项以后，（３２）式化为
Ｔ２（ｔ。）＝∑【去（ｅｍ。一１）
×ｎ＝ｌＩ
Ｒ。［ｕ佃’（互）］驴２（ｚ）ｄｚ
…ｃ．】地３耋【去（ｅｊ峨川
×Ｉ
Ｒ。［ｕ佃’（ｚ）］妒。（ｚ）ｄｚ
＋ｃ．ｃ．Ｉ，
（３４）
３期潘留仙等：ＫｄＶ孤子的含时微扰理论
作变换Ａ＝ａ２，并回到原先的自变量ｔ，（３８）式化为
５．微扰对孤子波形的一阶修正
不难解出
将（２６）式代入（２２）式，得
于（ｔ。，ｋ）＋Ａ（ｋ）ａ３Ｔ（ｔｏ，ｋ）
Ａ。＋３ｅ列＝吭．
（３９）
口＝Ａｕ２＝【务＋（一２隽）ｅ－３０．ｔ】“２巾ｏ，
式中ａ。为初始时刻（微扰刚加上时）ａ的取值．同样，将（３７）式代入（３３）式，得
＝Ｉ
Ｒ』“佃’（彳）］妒（ｚ，ｋ）ｄｚ
＋耋ｐＬ引“㈨㈤］北㈤ｄｚ
＋ｃ．ｃ．】．
解方程（３５），得
（３５）
￡．＝五１
３‘ＬＲ。［“阳’（孑）］驴：（ｚ）ｄ彳
－。Ｒ。［ｕ（。’（ｚ）］妒。（ｚ）ｄ彳＋ｃ．ｃ．】
（４１）
一２
丁（ｔ。，．ｊ｝）：希．ｆ：。Ｒ。［ｕ（。’（彳）］妒（二，尼）ｄ彳
＝０．
＋耋【端
Ｊ一∞
（４１）与（４０）式分别表示，外场不影响孤子的运动速度，但影响孤子的高度和宽度（它们决定于同一参数ｎ）．（４０）式还显示：当时间足够长时，口一（厶／３ｙ）”２，这时孤子的高度和宽度分别达到稳定值
×ｆ。．．Ｒｎ［ｕ（。’（二）］驴（ｚ，ｋ）ｄ彳＋ｃ．ｃ．１．
（３６）
％１３ｙ与（３），／ｆｏ）ｍ．
６．结
论
最后将（３０），（３４）与（３６）式代入（２１）式，即可得到微扰对孤子波形的一阶修正．
作为一个例子，我们来考察线性阻尼与周期性外场对ＫｄＶ孤子的影响．为简单起见，我们假定外场为恒定场与单一频率场的叠加
Ｒ［ｕ，ｔ］＝一７ｕ＋厶＋２ｆ，ｃｏｓ（ｃＪｔ
＝一７ｕ＋（＾ｅ５“＋ｃ．ｃ．），
综上所述，在处理周期性含时的孤子微扰问题时，线性化，构造微扰展开基等程序和非含时微扰的做法完全一样，但在确定孤子参数如何随时间变化时，可将微扰项展为时间变量的傅里叶级数，这时不
（３７）
难看出常数项是导致长期项的根源．消除长期项即可求出孤子参数对时间的依赖．傅氏级数的其他项只对波形修正作贡献．这一结论应具有普遍性，所以本文的方法可直接推广于处理其他孤子的含时微
式中ｙ，ｆｏ与＾均为常数．将（３７）式代Ａ（２９）式，即得
ａｔｌ＝爿■∥０）（圳州枷ｚ
＝一虿３札＋瓦ｆｏ．
（３８）
扰问题．
［Ｉ］［２］［３］
Ｋａｕｐ
Ｄ
Ｊ
１９７６
ＳＬＡＭＪ．Ａｐｐｌ．Ｍａｔｈ．３１
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ＦｌｅｓｃｈＲ
Ｒ
Ｊ，Ｔｒｕｌｌｉｎｇｅｒ
Ｌ１９９０１９９０
ＳＥ１９８７Ｊ，Ｍａｔｈ
２３２３２７２３１０６３
Ｐｈｙｓ．２８１６１９
ＫａｒｐｍａｎＶ
Ｉ，ＭａｓｌｏｖＥＭ
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Ｄ
１９７６砌ｐ．
斌、潘素起２００１物理学报５０４０２］
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ＣＭ，Ｘｉａｚ
Ｒｅｖ．上．哦．３６
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Ｐｈｙｓ．Ｓｉｎ．５４２４６３（ｉｎ
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Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ａ１６７７７Ｃｈｉｎｅｓｅ）［韦才敏、夏尊铨、田乃硕２００５物理学报５４２４６３］
ＪＰ，ＭｃＬａｕｇｈｌｉｎＤＷ
Ｊ．Ｍａｔｈ．Ｐｈｙｓ．１８
２００８
１３２０
物
理
学报５７卷
Ｔｉｍｅ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙｏｆＫｄＶｓｏｌｉｔｏｎ＊
ＰａｎＬｉｕ．Ｘｉａｎｌ）２）
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２）（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
ｉｎＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓａｎｄ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＣｈａｎｇｓｈａＵｎｉｖｅｒｓ缸ｙ
ｌ码ｆｏ，－ｍａｔｉｏｎ，Ｈｕｎｏｎ
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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＫｄＶｓｏｌｉｔｏｎ，ｓｏｌｉｔｏｎＰＡＣＣ：０３４０，４７２０，４７２５
ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ
＊Ｐｒｏｊｅｃｔｓｕｐｐｏｒｔｅｄ
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ｂｙｔｈｅＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａ（ＧｒａｎｔＮｏ．１０３７５０４３）ａｎｄ
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ｂｙ
ＨｕｎａｎＰｏｓｔｄｏｃｔｏｒａｌ
ＳｃｉｅｎｔｉｆｉｃＰｒｏ酽ａｔｌｌ
Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｔａｕｔｈｏｒ．Ｅ－ｍａｉｌ：ｊｉａｒｅｎｙａｎ＠ｈｕｎｎｕ．ｅｄｕ．ｃＩＩ
KdV孤子的含时微扰理论
作者：作者单位：
潘留仙， 俞慧友， 颜家壬， Pan Liu-Xian， Yu Hui-You， Yan Jia-Ren
潘留仙,Pan Liu-Xian(湖南师范大学物理系,长沙,410081;湖南涉外经济学院电子与信息工程系,长沙,410205)， 俞慧友,颜家壬,Yu Hui-You,Yan Jia-Ren(湖南师范大学物理系,长沙,410081)
物理学报
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10. 李飞. 张冬霞. 彭雄波. Li Fei. Zhang Dongxia. Peng Xiongbo 双正弦激励参数调制杜芬系统的混沌动力学[期刊论文]-湖南工业大学学报2010,24(3)
引证文献(1条)
1. 莫嘉琪. 姚静荪 扰动KdV方程孤子的同伦映射解[期刊论文]-物理学报 2008(12)
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